Fødsel |
28. april 1906 Brünn ( Østrig-Ungarn ) |
---|---|
Død |
14. januar 1978 Princeton ( USA ) |
Nationalitet |
Østrigsk amerikaner |
Områder | matematisk logik , matematik |
Institutioner | Institut for avanceret undersøgelse (Princeton) |
Eksamensbevis | Universitetet i Wien |
Berømt for |
Gödel's fuldstændighedssætning Gödel's ufuldstændighedssætninger Kontinuumhypotese Gödel's ontologiske bevis |
Priser |
Albert Einstein-prisen (1951) National Medal of Science (1974) |
Underskrift
Kurt Gödel , født den28. april 1906til Brünn og døde den14. januar 1978i Princeton (New Jersey) , er en østrigsk logiker og matematiker naturaliseret amerikaner .
Hans bedst kendte resultat, Gödels ufuldstændige sætning , hævder, at enhver logisk system kraftig nok til at beskrive den aritmetiske af heltal indrømmer udsagn om heltal , der ikke kan være ugyldig eller bekræftet fra aksiomer i teorien . Disse forslag betegnes som ubeslutsomme .
Gödel demonstrerede også fuldstændigheden af beregningen af første ordens prædikater . Han demonstrerede også den relative konsistens af kontinuumhypotesen , idet han viste, at den ikke kan tilbagevises fra de accepterede aksiomer i sætteori , forudsat at disse aksiomer er konsistente. Han er også oprindelsen til teorien om rekursive funktioner .
Han offentliggjorde sine vigtigste resultater i 1931 i en alder af 25 år, mens han stadig arbejdede for universitetet i Wien (Østrig). Efter at være blevet privat-docent i denne institution blev han udvist fra den efter Anschluss ; han derefter udvandrede med sin kone til USA . Efter at have lidt af psykiske lidelser i flere år lykkedes det alligevel at blive naturaliseret takket være støtte fra sine venner Oskar Morgenstern og Albert Einstein og sluttede sig permanent til Princeton University efter krigen. Imidlertid blev hans problemer til en vanvittig forfølgelse i midten af 1970'erne og fremskyndede dens afslutning.
Kurt Gödel er den yngste søn af Rudolf Gödel, direktør og medejer af en stor tekstil virksomhed i Brno , nuværende Tjekkiet , og Marianne Handschuh. Rudolf Gödel har to sønner: den ældste, også kaldet Rudolf, og Kurt. Hverken den ene eller den anden følger i hans fodspor på vejen til industri eller handel. Rudolf Jr. bliver en berømt læge i Wien, hvor han vil lede en berømt klinik.
Inden for denne tysktalende familie stiller lille Kurt spørgsmål med en sådan insistering på alt, hvad han ser, at han har tilnavnet Der Herr Warum ( Mister Why ). I en alder af seks år blev han ramt af et gigtfeberangreb, som efterlod ham i sengen i flere dage, men hvorfra han opnåede fuld bedring, i det mindste fysisk. I en alder af tolv, under opløsningen af Østrig-Ungarn den28. oktober 1918, bliver han de facto tjekkoslovakisk . I Brno var han en strålende studerende i folkeskolen og derefter gymnasiet, som han afsluttede med hædersbevisning i 1923. Det var i en alder af femten år, at han tog den faste beslutning om at afsætte sig til fysik .
Selvom Gödel først udmærkede sig i sprog (i sin ungdom talte han og skrev perfekt fransk og engelsk), i en alder af atten sluttede han sig til sin bror ved universitetet i Wien for at begynde der. Studier i fysik, som han opgav ganske hurtigt. På det tidspunkt underviste Philipp Furtwängler , en tysk matematiker med speciale i højere aritmetik, i Wien, og hans kurser er berømte for deres ekspertise og klarhed. Den unge Gödel forblev så præget af Furtwänglers lektioner, at han opgav sine studier i fysik for at vie sig til matematik. Vi ved meget lidt om Gödels privatliv under hans studier i Wien. Han skulle gifte sig med en kvinde, der var ti år ældre, men hans forældre gør indsigelse, og Kurt afviser ægteskabet. Tilsyneladende brugte han det meste af sin tid på at studere. Det var imidlertid ved universitetet i Wien, at han mødte den, der senere blev hans kone, Adele Porkert.
Det var på dette tidspunkt, at han holdt sig til matematisk realisme. Han læser Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft ( Første metafysiske principper i videnskaben om naturen ) af Kant . I 1926 blev han inviteret af Moritz Schlick , hans tidligere professor i videnskabsfilosofi ved universitetet, til at deltage i de ugentlige møder i Wien-cirklen, som Hans Hahn (fremtidig afhandlingsdirektør for Gödel), Rudolf Carnap , Ludwig Wittgenstein var medlemmer af. . Under disse møder blev emner i matematik drøftet og især de løsninger, der blev foreslået af Russell , Brouwer og Hilbert til problemet med fundamentskrisen . Det er utvivlsomt i denne sammenhæng, at Gödel for første gang erhvervede sin dybdegående kendskab til det formalistiske program . Han deltog stødt i møder indtil 1928, kun som en revisor. Efter at have deltaget i Wien-cirklen besluttede Gödel i 1928 at dedikere sig endeligt til matematisk logik (en interesse, som han udviklede efter et seminar af Schlick). Han deltager i en konference af David Hilbert i Bologna om fuldstændighed og sammenhæng i matematiske systemer.
I løbet af året 1929 afsluttede han sin doktorafhandling om et problem relateret til Hilberts program og afleverede det, The6. februar 1930ved universitetet i Wien. Han præsenterede det i artikelform samme år. Dette arbejde, der udgør hans første videnskabelige publikation, vises i nummer 37 (1930) af tidsskriftet Monatshefte für Mathematik und Physik under titlen "Kompletheden af aksiomerne i første orden logisk beregning". Også i 1929 blev Gödel en østrigsk statsborger. Derefter, i 1932, dimitterede han fra universitetet i Wien.
Offentliggørelsen af hans første ufuldstændighedssætning i 1931 gjorde Gödel til en international berømthed i matematikens verden. Hans navn begyndte at blive nævnt i alle fora og konferencer, og hans demonstration blev - og er stadig den dag i dag - en klassiker af matematisk ræsonnement . Han kunne ikke straks drage fordel af sin fortjente berømmelse, fordi, når hans artikel var færdig, oplevede han alvorlige nervesygdomme i flere måneder, en ubestridelig konsekvens af det stress, der blev frembragt ved præsentationen af hans sætning .
Hvad angår den anden ufuldstændighedssætning, indeholder artiklen fra 1931 kun den brede oversigt over forløbet af sin demonstration, og Gödel foreslår at demonstrere den i en anden del af artiklen. Hans nervesygdomme forhindrer ham imidlertid i at skrive det i de følgende måneder, og når det endelig er leveret, indser han, at bevisene for hans to sætninger - inklusive det andet ganske enkelt nævnte - er så godt accepteret, at enhver yderligere afklaring ville være unødvendig.
Efter at have overvundet hans nervesygdomme blev han i 1933 Privatdozent (lektor) ved universitetet i Wien.
Samme år blev han inviteret til foredrag på det årlige møde i American Mathematical Society . Under denne første rejse mødte han Albert Einstein, der var emigreret til USA i 1932. Der blev dannet et venskab mellem dem, der varede indtil Einsteins død i 1955. I løbet af de følgende to år, 1934 og 1935, rejser han igen til USA, hvor han to gange er inviteret af Institute for Advanced Studies i Princeton . Han holdt adskillige forelæsninger og forelæsninger der om sine to ufuldstændighedssætninger såvel som om andre temaer - som han havde tacklet under efterfølgende forskning - herunder beregningsevne og rekursive funktioner ; især holder han et foredrag om generelle rekursive funktioner og om sandhedskonceptet. Under sine rejser i USA afslører Gödel sine metoder, sine ideer, de problemer, han tænker på, og dette stimulerer den amerikanske skole for matematisk logik såvel som matematisk logik generelt.
Men den 22. juni 1936, finder sted attentatet af Johann Nelböck, en ung mentalt forstyrret studerende , på Moritz Schlick ; denne forbrydelse rammer især Gödel, der gennemgår sin første depression . Han vendte tilbage til Princeton samme år. Rejser og hans arbejde udmattede ham, så meget at han tilbragte det meste af det næste år med at behandle en ny depression. Han vendte tilbage til undervisningen i 1937, en periode, hvor han arbejdede med at demonstrere den relative sammenhæng og uafhængighed af kontinuumhypotesen . Han kæmper for at demonstrere uafhængighed (hvilket ikke vil blive gjort før 1963 af Paul Cohen ), men han lykkes med at fastslå, at kontinuumhypotesen ikke kan tilbagevises fra sætteoriens aksiomer .
Efter Anschluss i 1938 faldt Østrig under kontrol af Nazityskland . Sidstnævnte har afskaffet titlen Privatdozent og Gödel mister sit job. Dette forhindrede hende ikke fra at gifte sig på universitetet i Wien , den20. september 1938, med Adele Porkert, en skilt danser, der var seks år ældre, som han havde mødt i 1927. Hans forbindelser til jødiske professorer, såsom hans specialeunderviser Hans Hahn , skabte ham problemer. I 1938 og 1939 gik han igen til Institut for Avancerede Studier, og under disse ture, ud over at holde kurser og foredrag, oprettede han institutionelle kontakter med henblik på at forberede sig på sin fremtidige optagelse som lærer, hvis han har at forlade Østrig. Tilbage i Wien blev han efter sin anden rejse angrebet af en gruppe højreekstreme studerende. Hans tilstedeværelse som uafhængig intellektuel væren er en forlegenhed for nazisterne iOktober 1939, det er registreret på en "sort liste". Denne registrering formaliserer hans status som ledig, og under det nazistiske styre rekrutteres de ledige næsten systematisk af hæren. Kort efter modtog han faktisk sin ordre om stiftelse. I stedet for at slutte sig til hans regiment flygtede Kurt Gödel Østrig sammen med Adele Porkert iJanuar 1940og rejser til USA ad en af de længste ruter, der er, dvs. gennem Rusland , Sibirien , Japan og Stillehavet . De ankommer til San Francisco den4. martsderefter, efter at have taget det transsibiriske og krydset Stillehavet inkognito af frygt for at blive arresteret.
Takket være hans kontakter fik Gödel straks en stilling som gæsteprofessor ved Institute for Advanced Studies , Princeton. I 1946 blev han permanent integreret der, og i slutningen af 1947 måtte han gennemgå en undersøgelse med henblik på hans naturalisering med sine venner Oskar Morgenstern og Albert Einstein som vidner . For en person med sine akkreditiver er dette en formalitet, men Gödel forbereder sig med ekstrem grundighed, og mens han studerer den amerikanske forfatning , mener han, at han har opdaget en logisk fejl, der ville gøre det muligt at lovligt omdanne det politiske regime i landet under et diktatorisk regime . Han deler sin opdagelse med sine to venner, som er meget bekymrede for, at Gödel vil diskutere emnet med den dommer, der er ansvarlig for interviewet inden naturalisering. Begge er overbeviste om at have været i stand til at afskrække Gödel, men i nogle få sætninger kommer emnet tilbage: Dommeren spørger først om det politiske regime, der er i kraft i Østrig, Gödel svarer, at det, tidligere et demokrati, er omdannet til et diktatur; dommeren gentager, at sådan en ting ikke kunne ske i Amerika, men Gödel argumenterer ellers og siger, at han kan bevise det. Dommeren, der kender Einstein, beslutter at afslutte interviewet uden hans forklaring, som aldrig vil blive afsløret.
Hans mentale lidelser forværredes og blev i midten af 1970'erne til et forfølgelsesudslæt. Han bekymrer sig mere og mere om sit helbred, er overbevist om eksistensen af et plot for at forgifte ham . Han nægter også at spise, medmindre Adele smager maden først. I slutningen af 1977 måtte Adèle indlægges i seks måneder på grund af forskellige sundhedsmæssige problemer, og Gödel, der var alene med sin frygt og besættelse, holdt næsten op med at spise og faldt gradvist i kakeksi . Han skulle interneres på Princeton Hospital, hvor han døde den14. januar 1978 ; derefter vejede han 29,5 kg .
Et genert og indadvendt barn, han forbliver altid meget knyttet til sin mor - udstyret med en stor kunstnerisk følsomhed - og føler sig noget tabt, når hun ikke er hjemme. Hans genert og indadvendte karakter vil følge ham gennem hele sit liv. Han er ikke en sjov, får ikke nogen til at grine med sine vittigheder, men han har heller ikke brug for dem. Det gigtfeberangreb, der ramte ham i en alder af seks år, er ifølge hans læge bror ansvarlig for hans dybe hypokondrier , et af de vigtigste kendetegn ved hans personlighed. Som voksen er Gödel stærkt pessimistisk over menneskehedens skæbne, en fælles holdning i de tidlige år af den nukleare alder.
Fra og med 1950 udgav Gödel lidt, men stoppede aldrig med at tænke og skrive, og efterlod et imponerende antal upublicerede manuskripter ved sin død, der hovedsagelig var dedikeret til filosofi og teologi , med blandt andet forskning i eksistensen af Gud, transmigration af sjæle eller analysen af Leibniz filosofiske værker . Blandt disse upublicerede skrifter er teksten til " Gibbs-foredraget ", som Gödel blev inviteret til at diktere på det årlige møde i American Mathematical Society , der blev afholdt den26. december 1951i Providence , USA. I de følgende år helligede han sig til at forbedre sit manuskript med det formål at udgive det, men det lykkedes ham aldrig at give det en form, der syntes acceptabel for ham. Endelig blev den udgivet i 1994 i et bind med titlen Kurt Gödel: upublicerede essays . Konkret hævder han under denne konference, at hans sætninger viser, at matematisk platonisme udgør den korrekte position i matematikens filosofi.
70-årige Gödel, som er dybt mystisk, cirkulerer blandt sine venner et dokument, der foreslår et ontologisk bevis for Guds eksistens, inspireret af argumentet fra Anselm fra Canterbury og værkerne fra Leibniz og kendt i dag under navnet " ontologisk bevis på Gödel ". Han var også meget interesseret i visioner fra store mystikere som Saint Catherine Emmerich eller Gregory Palamas .
Gödel stiller foruden sin tro på Gud spørgsmålstegn ved eksistensen af engle og djævelen. Laurent Lemire skriver: "Kurt Gödel, (...) forfatter af ufuldstændighedssætningen, tror på engle og djævelen i et matematisk univers, et" ideelt "univers, i modsætning til det virkelige mærkbare univers, hvor" Englene " og "dæmoner", når vi lever i det virkelige univers. Overbevist om, at vi vil forgifte ham, dør han, forsætligt sultende ” . Dette stammer fra hans overvejelser om intuition og ufuldstændighed , da intuition til tider har produceret matematiske afhandlinger, der hverken kunne demonstreres eller matematisk ugyldiggøres, mener han, at enten hjernen er en Turing-maskine , og derfor er der ubeslutsomme problemer for mennesket, hvilket betyder, at "de matematiske egenskaber, der undslipper os, har en autonom eksistens", det vil sige hjernen overgår Turing-maskinerne, og derfor er det menneskelige sind "en virkelighed uafhængig af den følsomme verden". Vanskeligheden ved denne tilgang er kommunikationen mellem hjernen, materiel og endelig, med dette ideelle univers : den forestiller sig eksistensen af et "intuitionsorgan", der har adgang til dette ideelle univers, på trods af vanskelighederne ved denne spekulation.
En konsekvens af hans vision om en begrænset reel verden, der er ønsket af Gud , er, at forskning , metafysik eller filosofi er i modstrid med denne vilje til at begrænse forståelsen af verden. Dette punkt føder hans frygt, og han går endda så langt som at estimere de store tænkere i fare. Gödel foretrækker at være diskret om denne opfattelse af verdenen, som kun er beskrevet i hans personlige bemærkninger: "Jeg offentliggør kun de dele af min filosofi, der er mindst åbne for kontroverser" .
Han beviser i sin afhandling, præsenteret den 6. februar 1930fuldstændigheden af klassisk førsteordenslogik , dvs. enhver gyldig formel er påviselig, et resultat, der blev offentliggjort af Vienna Academy of Sciences . Den demonstrerede sætning, der i dag er kendt som Gödel's Fuldstændighedssætning , fortolkes på det tidspunkt som en anelse om, at Hilberts program er gennemførligt.
Når det logiske grundlag er etableret til udførelse af verificerbare beviser ved hjælp af en algoritme , er alt tilbage at opdage aksiomerne til at bevise alle aritmetiske sandheder.
Desværre for Hilberts program er dette mål uopnåeligt. Teoremet om denne umulighed er kendt som den første ufuldstændighedssætning , åbent eksponeret for første gang på Königsberg-kongressen den7. september 1930. Artiklen, der indeholder udviklingen af demonstrationen, sendes til tidsskriftet Monatshefte für Mathematik und Physik i november og vises i udgaven N o 38 i 1931. Det viser, at for ethvert aksiomatisk system, der er stærkt nok til at beskrive de naturlige tal, kan vi sige end :
Artiklen indeholder ikke et detaljeret bevis for denne anden sætning, men skitserer den.
Princippet om ufuldstændighedssætningen er simpelt. Gödel konstruerede i det væsentlige "en formel, der siger, at den ikke kan påvises" i et givet formelt system. Hvis denne formel var påviselig, ville det betyde, at vi kunne demonstrere "at det ikke er påviseligt", deraf modsætningen. Så denne formel er ikke påviselig. Dette er, hvad det siger, derfor er det gyldigt. Der er derfor en gyldig formel, der ikke kan demonstreres.
For at afklare disse fakta havde Gödel behov for at løse mange tekniske problemer, såsom "kodning af bevis" og "selve begrebet bevisbarhed" inden for heltal. Han havde også brug for en proces til at beskrive en formel, der angiver sin egen ikke-påviselige: den "diagonale" proces. Disse formelle detaljer forklarer, hvorfor hans 1931-udgivelse var så lang og besværlig at læse, og hvorfor hans samtidige med den bemærkelsesværdige undtagelse af John von Neumann og Alfred Tarski ikke forstod hans resultat.
I Princeton vendte han sig endnu mere til filosofi og fysik. Mellem 1943 og 1946 studerede han Leibnizs arbejde på en "ret systematisk måde" . Han studerer også i mindre grad Kant og Husserls .
Fra samtaler mellem Gödel og Einstein opstod de artikler, som Gödel skrev om relativitetsteorien. Den første, der er skrevet på engelsk, har titlen Et eksempel på en ny type kosmologiske løsninger på gravitationsfeltets ligninger fra Einstein , offentliggøres i tidsskriftet Reviews of Modern Physics i 1949. I denne artikel foreslår han en løsning på ligningerne af d 'Einstein, som består af beskrivelsen af et roterende, homogent, lukket og stabilt univers - dvs. som ikke udvides - med lukkede tidslinjer. De "roterende universer" ville have muliggjort tidsrejser og få Einstein til at tvivle på sin egen teori. I dag betragtes denne type løsning som en matematisk nysgerrighed uden særlig fysisk interesse, men hvis fortjeneste er at have stimuleret søgen efter andre nøjagtige løsninger på Einsteins ligninger.
En anden artikel om relativitet, der blev offentliggjort i 1949, har titlen En bemærkning om forholdet mellem relativitetsteorien og idealistisk filosofi undersøger visse filosofiske konsekvenser, der kan hentes fra relativitetsteorien i forhold til tidens natur, "denne mystiske og tilsyneladende selvmodsigende væsen, der desuden synes at udgøre grundlaget for vores eksistens og verdens ” (uddrag fra den samme artikel). I 1952 offentliggjorde han sit tredje og sidste arbejde om relativitet, med titlen Rotating Universes in the General Theory of Relativity , hvor Gödel udsætter nye løsninger på Einsteins nydannede ligninger af roterende universer, skønt disse ikke alle har lukkede tidslinjer.
Det sidste videnskabelige arbejde med matematisk logik underskrevet af Gödel vises i form af et arbejde udgivet i 1940 af Princeton University Press, og som ikke er direkte skrevet af Gödel, da det er udgaven af noter fra et kursus dikteret mellem 1938 og 1939 ved Institut for avancerede studier. Arbejdet på omkring halvfjerds sider har titlen Konsistensen af det valgte aksiom og den generelle kontinuumhypotese med aksiomerne i sætteorien og præsenterer den delvise løsning af det første problem stillet af David Hilbert , kendt som kontinuitetshypotesen . Han introducerer i dette arbejde forestillingen om et konstruerbart univers, en model af sætteori, hvor de eneste eksisterende sæt er dem, der kan bygges ud fra mere elementære sæt. Gödel beviser, at både valgaksiomet og den generelle kontinuumhypotese er sande i et konstruerbart univers og derfor skal være konsistente. Han har også intuitionen om forestillingen om NP-komplet problem .
I Marts 1951, Modtager Gödel sammen med fysikeren Julian Schwinger den første Einstein-pris, udnævnes derefter til æresdoktor ved flere universiteter, hvoraf Yale og Harvard og tildeles National Science of Science i 1974. I 1985 udpeges en asteroide (3366) Gödel til ære af Kurt Gödel.
: dokument brugt som kilde til denne artikel.