Koordinatsystem

I matematik gør et koordinatsystem det muligt at matche hvert punkt i et N- dimensionelt rum med en (og kun en) N-tuple af skalarer . I mange tilfælde er de betragtede skalarer reelle tal , men det er muligt at bruge komplekse tal eller elementer i ethvert kommutativt felt. Mere generelt kan koordinaterne komme fra en ring eller anden relateret algebraisk struktur .

Rum anses for at eksistere i sig selv uafhængigt af valget af et bestemt koordinatsystem.

Eksempler

Det mest almindelige tilfælde er begrebet koordinater i geometri , se artiklen Identifikation i planet og i rummet  : vi vælger et referencepunkt kaldet "oprindelse" og tre "akser" ("graduerede linealer") med forskellige retninger, der er ikke i det samme plan (i planet er to retninger tilstrækkelige). Koordinaterne for dette punkt kaldes "abscissa", "ordinat" og "dimension" og betegnes henholdsvis x , y og z . Se også artiklen Analytisk geometri .

I geografi er længde- og breddegrad forbundet med geografiske placeringer; det er et koordinatsystem. I dette tilfælde er parametriseringen ikke unik for nord- og sydpolen .

Et koordinatsystem for eksempel til beskrivelse af et punkt P i det euklidiske rum ved en n- tuple: Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

 P=(r1,...,rikke){\ displaystyle \ P = (r_ {1}, ..., r_ {n})}

 r1,...,rikke{\ displaystyle \ r_ {1}, ..., r_ {n}}er reelle tal kaldes koordinater for punktet P .

Hvis en delmængde S af en euklidisk rum påføres så fortsætter til en anden topologisk rum , definerer koordinaterne for billedet af S . Vi kan tale om parametrering af billedet, da denne proces tildeler tal til punkterne. Korrespondancen er kun unik, hvis ansøgningen er bindende .

Transformationer

En koordinatransformation er en konvertering fra et system til et andet for at beskrive det samme rum.

Visse valg af koordinatsystem kan føre til paradokser , for eksempel i nærheden af ​​et sort hul , som kan løses ved at ændre systemet. Dette er dog ikke muligt i en ægte matematisk singularitet .

Almindelige systemer

Nogle almindeligt anvendte koordinatsystemer:

• det kartesiske koordinatsystem, der anvendes i et vektorrum eller et affinalt rum med en begrænset dimension.
• for ethvert endeligt dimensionelt vektorrum og ethvert grundlag kan koefficienterne for vektorerne udtrykt i dette grundlag anvendes som koordinater. Ændring af base er en koordinattransformation, en lineær transformation, der kan defineres ved hjælp af en matrix .
• det krumlinjære koordinatsystem er en generalisering, der er baseret på kurver.
• polære koordinatsystem systemer  :
  • det cylindriske koordinatsystem repræsenterer et punkt i rummet ved en vinkel , en afstand til oprindelsen og en højde.
  • det sfæriske koordinatsystem repræsenterer et punkt i rummet ved to vinkler og en afstand fra oprindelsen. Det geografiske koordinatsystem er afledt af det.
• generelle koordinatsystemer anvendes i Lagrangian mekanik .

Systemer, der anvendes i astronomi

Den astronomi anvender flere koordinatsystemer at bemærke retningen af et himmellegeme:

• himmelske koordinatsystemer  :
  • vandret koordinatsystem , lokale koordinater knyttet til et givet punkt på Jorden  ;
  • timekoordinatsystem , defineret fra det jordbaserede ækvatoriale plan og retningen af ​​det lokale geografiske nord;
  • system med ækvatoriale koordinater , defineret fra det jordbaserede ækvatoriale plan, og punktet γ (retning svarende til passage af solens deklination fra en negativ værdi til en positiv værdi);
  • ekliptisk koordinatsystem , defineret ud fra Jordens revolutionsplan omkring Solen; dette system kan være geocentrisk eller heliocentrisk (dette sidste valg gør det muligt at bestemme koordinater, der ikke er underlagt presession );
  • galaktisk koordinatsystem , defineret fra et grundlæggende plan, valgt en gang for alle og placeret i nærheden af ​​symmetriplanet for vores galakse (indeholdt i disken, hvor solen er placeret); disse koordinater er ikke underlagt verdslig presession på grund af forskydningen af solsystemet (ca. 250  km / s ) inden for vores galakse;
• ekstragalaktiske koordinatsystemer:
  • supergalaktisk koordinatsystem , baseret på planet for den lokale superklynge af galakser

Andet

I generel relativitet vælges visse koordinatsystemer for at forenkle beregningerne.

• Et harmonisk koordinatsystem repræsenterer et koordinatsystem, der set som vektorfelter er nul laplacisk .
• Mere generelt er koordinatsystemet i det væsentlige vilkårlig i generel relativitet, ligningenes struktur afhænger ikke af valg af koordinater. Men når fasen med løsning af gravitationsfeltligningerne kommer, viser nogle koordinatsystemer sig at være mere bekvemme end andre eller tillader en simpel fysisk fortolkning af de opnåede resultater. Klasser af koordinatsystemer, der har sådan en sådan egenskab, kaldes en måler. Inden for teorien om kosmologiske forstyrrelser kan valget af en sådan måler give fordele.

Relaterede artikler

• Koordinatsystem (kortlægning)

Se også