Den logik , den græske λογική / logiké , er et begreb, der stammer fra λόγος / logoer - hvilket betyder både " årsag ", " sprog " og " ræsonnement " - er, i en første tilgang, studiet af formelle regler, der skal være opfyldt nogen korrekt argument . Udtrykket ville have været brugt for første gang af Xenocrates .
Gammel logik bryder først ned i dialektik og retorik .
Siden antikken har det været en af de store discipliner af filosofi , sammen med etik ( moralsk filosofi ) og fysik ( science af naturen ).
I middelalderen blev det ikke eksplicit opført blandt de syv liberale kunstarter :
Arbejdet fra George Boole , Jevons tillod siden XIX E århundrede den blændende udvikling af en matematisk tilgang til logik. Dens konvergens betjenes med computeren siden slutningen af det XX th århundrede gav ham en fornyet vitalitet.
Det er fra den XX th århundrede mange applikationer i teknik , i sproget , i kognitiv psykologi , i analytisk filosofi eller kommunikation .
Logik er studiet af inferens .
Logik er oprindelig søgen efter generelle og formelle regler, der gør det muligt at skelne mellem en begrundelse, der er afgørende, fra den, der ikke er. Det finder sine første betænkeligheder i matematik og især i geometri, men det er hovedsageligt under fremdrift af Megarics og derefter af Aristoteles, at det tager fart.
Logik blev brugt meget tidligt mod sig selv, det vil sige mod selve diskursforholdene: sofisten Gorgias bruger den i sin afhandling om ikke-væren for at bevise, at der ikke er nogen mulig ontologi : "det er ikke det, er genstand for vores tanker " : den materielle sandhed i logikken ødelægges således. Sprog erhverver således sin egen lov, logikken, uafhængig af virkeligheden. Men sofisterne blev udelukket fra filosofiens historie ( sofist tog en pejorativ betydning), så logikken i den forståelse, vi havde af den for eksempel i middelalderen , forblev underlagt tanken om at være .
I det XVII th århundrede , den filosof Gottfried Wilhelm Leibniz udfører grundforskning i logik, der revolutionere dybt aristoteliske logik. Han kræver konstant fra traditionen med syllogismer af Aristoteles og forsøger at integrere sit eget system. Han er den første til at forestille sig og udvikle en formel logik .
Immanuel Kant definerer på sin side logik som "en videnskab, der angiver detaljeret og strengt demonstrerer de formelle regler for al tankegang" . De seks værker af Aristoteles grupperet under titlen Organon , inklusive kategorierne og studiet af syllogismen , blev længe betragtet som referencen om dette emne.
I 1847 udkom bogen af George Boole med titlen Mathematical Analysis of Logic , then An Investigation Into the Laws of Thought, hvorpå grundlægges de matematiske teorier om logik og sandsynligheder . Boole udvikler en ny form for logik der, både symbolsk og matematisk. Dens mål er at oversætte ideer og begreber til udtryk og ligninger , anvende bestemte beregninger på dem og at oversætte resultatet til logiske udtryk og dermed markere begyndelsen på moderne logik baseret på en algebraisk og semantisk tilgang , som vi senere kaldte boolsk algebra til ære.
Meget generelt er der fire tilgange til logik:
Den Organon er det vigtigste logik arbejde Aristoteles , herunder især Prior Analytics ; det udgør det første eksplicitte arbejde med formel logik , især med introduktionen af syllogistik .
Aristoteles 'værker betragtes i Europa og Mellemøsten i klassisk middelalder som selve billedet af et fuldt udviklet system . Imidlertid var Aristoteles ikke den eneste eller den første: Stoicerne foreslog et system af propositionelogik, som blev undersøgt af middelalderlige logikere. Derudover blev problemet med flere generaliteter anerkendt i middelalderen .
Regnestykket for propositioner er et formelt system , hvor formlerne repræsenterer propositioner, der kan dannes ved at kombinere atompropositioner og bruge logiske konnektorer , og hvor et system med formelle bevisregler etablerer visse " sætninger ".
En predikatregning er et formelt system , som enten kan være førsteordens logik eller logikken i anden orden eller højere ordens logik er den uendelige logik . Det udtrykker ved kvantificering en stor prøve af naturlige sproglige propositioner . For eksempel barber paradoks af Bertrand Russell , "der er en mand, der barberer alle mænd, der ikke barbere" kan formaliseres ved formel : ved hjælp af prædikat at indikere, at er en mand, det binære forhold at indikere, at der er barberet af og andre symboler til at udtrykke kvantisering , sammenhæng , implikation , negation og ækvivalens .
I det naturlige sprog er en modalitet en bøjning eller en tilføjelse til at ændre semantikken i en proposition .
For eksempel kan udsagnet "Vi går til spilene" ændres til at læse "Vi skal gå til spilene" eller "Vi kan gå til spilene" eller "Vi vil gå til spilene" eller "Vi skal gå til spil ”.
Mere abstrakt påvirker modalitet rammen, inden for hvilken en påstand er opfyldt.
I formel logik er en modalogik en logik, der udvides med tilføjelsen af operatører , som anvendes på forslagene for at ændre deres betydning.
Den filosofiske logik beskæftiger sig med formelle beskrivelser af det naturlige sprog . Disse filosoffer mener, at essensen af hverdagens ræsonnement kan transkriberes til logik, hvis en eller flere metoder lykkes med at oversætte almindeligt sprog til denne logik. Filosofisk logik er i det væsentlige en udvidelse af traditionel logik, der går forud for matematisk logik og er bekymret for forbindelsen mellem naturligt sprog og logik.
Derfor har filosofiske logikere bidraget meget til den ikke-standardiserede udviklingslogik (for eksempel fri logik , den tidsmæssige logik ) og de forskellige logiske udvidelser (fx modalogik ) og semantik i denne logik (fx supervaluationisme (en) af Kripke i logikens semantik).
Et logisk sprog defineres ved en syntaks , det vil sige et system med symboler og regler for at kombinere dem i form af formler . Derudover er en semantik forbundet med sproget. Det gør det muligt at fortolke det, det vil sige at knytte en mening til disse formler såvel som til symbolerne. Et system for fradrag gør det muligt at resonnere ved at konstruere demonstrationer.
Logikken inkluderer konventionelt:
Til hvilken føjes:
Den syntaks af logikken i udsagn er baseret på proposition variabler også kaldet atomer , som vi betegner med små bogstaver (p, q, r, s, etc.) Disse symboler repræsenterer udsagn, som vi ikke videregiver dom over - med hensyn til deres sandhed: de kan enten være sande eller falske, men vi kan heller ikke ønske at sige noget om deres status. Disse variabler kombineres ved hjælp af logiske stik, som f.eks .:
Disse variabler danner derefter komplekse formler.
Syntaksen for andenordenslogik , i modsætning til førsteordenslogik , overvejer:
I det følgende vil vi med V betegne sæt variabler (x, y, z ...), F sæt af funktionssymboler (f, g ...) og P sæt af prædikatsymboler (P, Q .. .). Vi har også et såkaldt m arity map . Formlenes betydning er emnet for semantik og adskiller sig efter det betragtede sprog.
I traditionel logik (også kaldet klassisk logik eller logik for "udelukket tredjepart") er en formel enten sand eller falsk. Mere formelt er sæt af sandhedsværdier et sæt B af to booleanere : sandt og falsk. Forbindelsernes betydning defineres ved hjælp af funktioner fra booleanske til booleanske. Disse funktioner kan repræsenteres i form af en sandhedstabel .
Betydningen af en formel afhænger derfor af sandhedsværdien af dens variabler. Vi taler om fortolkning eller opgave. Imidlertid er det vanskeligt, i betydningen algoritmisk kompleksitet , at bruge semantik til at afgøre, om en formel er tilfredsstillende (eller ej) eller endda gyldig (eller ej). Til det ville det være nødvendigt at være i stand til at tælle alle de fortolkninger, der er eksponentielle i antal.
Et alternativ til semantik er at undersøge velformede bevis og overveje deres konklusioner. Dette gøres i et fradragssystem . Et deduktionssystem er et par (A, R), hvor A er et sæt formler kaldet aksiomer og R et sæt slutningsregler , dvs. af forholdet mellem sæt af formler (forudsætningerne) og formler (konklusionen).
Vi kalder afledning fra et givet sæt hypoteser en ikke-formelig sekvens af formler, der er: enten aksiomer eller formler udledt fra de foregående formler i sekvensen. Et bevis på en formel ϕ fra et sæt formler Γ er en afledning fra Γ hvis sidste formel er ϕ.
Vi introducerer i det væsentlige to kvantificeringsmidler i moderne logik:
Takket være negation spiller eksistentielle og universelle kvantificeringsapparater to roller, og derfor kan vi i klassisk logik basere beregningen af prædikater på en enkelt kvantificering.
Et binært predikat, kaldet lighed , siger, at to udtryk er ens, når de repræsenterer det samme objekt. Det styres af aksiomer eller ordninger for specifikke aksiomer. Blandt de binære predikater er det imidlertid et meget bestemt predikat, hvis sædvanlige fortolkning ikke kun er begrænset af dets egenskaber angivet af aksiomerne: især er der normalt kun et muligt ligestillingspredikat pr. Model, det der svarer til det forventede fortolkning (identitet). Dens tilføjelse til teorien bevarer nogle gode egenskaber, såsom det klassiske sætning for prædikatberegningens fuldstændighed . Vi betragter derfor meget ofte, at lighed er en del af den grundlæggende logik, og vi studerer derefter beregningen af egalitære prædikater .
I en teori, der indeholder lighed, introduceres ofte en kvantificeringsenhed, der kan defineres ud fra de foregående kvantificatorer og lighed:
Andre kvantificeringsmidler kan indføres i beregningen af egalitære prædikater (der er højst et objekt, der verificerer en sådan egenskab, der findes to objekter ...), men nyttige kvantificeringsmidler i matematik, såsom "der er en uendelighed ..." eller "Der findes et endeligt antal ..." kan ikke repræsenteres der og kræver andre aksiomer (som dem i sætteori ).
Det var først i begyndelsen af det XX th århundrede til princippet om bivalens er klart udfordret på mange forskellige måder:
Om filosofi:
Om matematisk logik:
Se også: