En bølges hastighed

En bølge er en forstyrrelse, der bevæger sig i et medium. Det er muligt at knytte to kurvehastigheder med det , nemlig fase hastighed og den gruppe hastighed som nogle gange ikke er ens:

I et homogent medium, formering i en given retning af en monokromatisk (eller sinusformet) bølge resulterer i en simpel oversættelse af sinusoiden ved en hastighed kaldet fase hastighed eller celeritet . I et ikke- spredende medium afhænger denne hastighed ikke af frekvensen. Ved at overlejre monokromatiske bølger med forskellige frekvenser (eller pulsationer) opnår vi mere komplekse bølger (se spektralanalyse ). Når fasehastigheden er uafhængig af frekvensen, gennemgår den resulterende bølge også en global oversættelse af sin profil, dette uden deformation.
I et dispersivt medium, eller når formeringsretningerne er forskellige (i dimension større end 1), spredes de respektive komponenter. I dette tilfælde er det ofte muligt at identificere bølgepakker (eller grupper af bølger), der bevæger sig med en gruppehastighed, der er forskellig fra komponentens fasehastigheder.

Fasehastighed

Den fase hastighed en bølge er den hastighed, hvormed den fase af bølgen bevæger sig gennem rummet. Ved at vælge et bestemt punkt af bølgen (f.eks. Toppen) bevæger dette immaterielle punkt sig i rummet med fasehastighed. Det udtrykkes som en funktion af pulsationen af bølgen ω og antallet af bølger $k$ :

v _ {\ phi} = \ frac {\ omega} {\ mathrm {Re} (k)}

Notationen repræsenterer den reelle del af komplekset $k$ . Den imaginære del af $k$ har kun en effekt af dæmpning af amplituden, det er nødvendigt kun at tage højde for den reelle del af bølgemodulet. Antag nu $k$ ægte. Ud fra en monokromatisk bølge defineret i rum og tid ved , lad os overveje en bølgeoverflade, der består af alle de punkter, der har den samme værdi af og følgelig den samme værdi af fasen : det er faseplanen . Hvis faseplanet er placeret i tid og i tid , så: $\ mathrm {Re} (k)$ $\ psi (x, t) = \ psi _ {{0}} \ cos (\ omega t-kx + \ phi _ {{0}}) \,$ $\ psi \,$ $\ phi \,$ $\ phi \,$ $x \,$ $t \,$ $x + dx \,$ $t + dt \,$

\ phi = \ omega t-kx + \ phi _ {{0}} \,.

\ phi = \ omega (t + dt) -k (x + dx) + \ phi _ {{0}} \,.

Så ved forskel: dvs. $0 = \ omega dt-kdx \ ,,$

v _ {{\ phi}} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ omega} {k}}.

Tilfælde af elektromagnetiske bølger

I et vakuum er fasehastigheden for en elektromagnetisk bølge lig med en konstant, som er lysets hastighed . I et gennemsigtigt medium falder det med en faktor, der pr. Definition er lig medets brydningsindeks n : $vs.$

n = {\ frac {c} {v _ {{\ phi}}}} \,

Derudover, da dette medium generelt er spredt, afhænger indekset af bølgelængden , hvilket fører til indførelsen af begrebet gruppehastighed, som vil blive bemærket , dette når den observerede bølge er en superposition eller en lineær kombination af monokromatiske bølger med nærliggende frekvenser . Faktisk er superpositionen af komponenterne på et givet tidspunkt konstruktiv i visse punkter, men destruktiv i andre. $v_ {g} \,$

Gruppens hastighed

Ud fra ovenstående fasehastigheden af en monokromatisk bølge er lig med forholdet mellem dets pulsering til dets bølgetal ( bølge vektor norm ).

Lad os overveje det enkleste tilfælde af en bølge, der består af superpositionen af to bølger af nærliggende pulsationer og af enhedsamplitude (faserne, der griber lidt ind, ignoreres):

\ psi (x, t) = \ cos (\ omega _ {1} t-k_ {1} x) + \ cos (\ omega _ {2} t-k_ {2} x). \,

Ved hjælp af en klassisk relation i trigonometri, ifølge hvilken en sum af cosinus er lig med et produkt af cosinus ( Simpsons formler ), kommer det:

\ psi (x, t) = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} + k_ {1 }} {2}} x \ right) \, \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} - k_ {1}} {2}} x \ højre).

Således består den betragtede bølge af produktet med to udtryk:

Den første er en monokromatisk bølge, hvis fasehastighed svarer til et vægtet gennemsnit af fasehastighederne for de to komponenter ved hjælp af deres respektive bølgevektorer. $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {k_ {2} + k_ {1}}}$
Den anden er en anden monokromatisk bølge, hvis fasehastighed er . Derefter fungerer den som en amplitudemodulator for den første periode. $v _ {{\ phi}} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {k_ {2} -k_ {1}}}$

Et beat-fænomen forekommer således, hvorved en sinusformet med karakteristika tæt på de to komponenters amplitude moduleres af en sinusformet med lavere pulsering. For værdier tæt på de to pulsationer og de to bølgevektorer for komponenterne er gruppehastigheden omtrent lig med $v_ {g} = {\ frac {{\ mathrm d} \ omega} {{\ mathrm d} k}}.$

I det generelle tilfælde af superposition af mange monokromatiske bølger vedrører denne gruppehastighed en kuvert mere kompleks end en sinusformet. Det er muligt at generalisere den tidligere tilgang til bølgepakker i et rum med flere dimensioner.

Relationen, der udtrykker pulsationen som en funktion af bølgefiguren, er dispersionsrelationen . Når pulsationen er direkte proportional med modulet for bølgevektoren, og sidstnævnte er alle kollinære , er fasehastigheden uafhængig af pulsationen, og gruppehastigheden er lig med denne fælles fasehastighed. Ellers deformeres kurven på bølgen under formering.

Tilfælde af elektromagnetiske bølger

For en elektromagnetisk bølge er fasehastigheden og gruppehastigheden relateret til tilnærmelsen (gælder kun for lave frekvenser):

v_ {g} v _ {{\ phi}} = {\ frac {c ^ {2}} {n ^ {2}}}

hvor er lysets hastighed i vakuum og mediets brydningsindeks. $vs.$ $ikke$

Dispersionen, der er grundlaget for en gruppehastighed, der er forskellig fra fasehastigheden, er en vigtig effekt, der tages i betragtning ved transmission af information med optiske fibre .

Gruppehastighed præsenteres generelt som den hastighed, hvormed energi eller information bæres af en bølge. Denne beskrivelse er generelt gyldig, skønt det stadig er muligt at udføre eksperimenter, hvor hastigheden af laserimpulser, der sendes til specifikke materialer, er større end signaloverførselshastigheden.

Informationshastighed

Under visse omstændigheder kan fasehastigheden for en elektromagnetisk bølge være større end lysets hastighed i vakuum: dette er tilfældet, når mediets brydningsindeks for visse frekvenser er mindre end 1 (vi observerer dette fænomen for X- stråler). En sådan situation involverer imidlertid ikke overførsel af energi eller information med en hastighed, der er større end lysets hastighed.

Faktisk er informationshastigheden begrænset af den laveste af de to hastigheder, det vil sige , hvilket af det ovenfor angivne forhold indebærer: $v _ {{\ text {info}}} = \ min (v _ {{\ phi}}, v_ {g})$

v _ {{\ text {info}}} \ leq {\ frac {c} {n}}.

Antag at være overbevist om dette . I dette tilfælde forsvinder information, som ville blive båret af visse bølgekomponenter (ved hastighed ) i moduleringsprocessen, fordi sidstnævnte periodisk overskriver amplituden af disse komponenter. Således kan information kun formidles af bølgegruppen. Vi kan have en lignende begrundelse, hvornår . $v_ {g} <v _ {{\ phi}}$ $v _ {{\ phi}}$ $v_ {g}> v _ {{\ phi}}$

Historisk

Sondringen mellem gruppehastighed og fasehastighed blev først introduceret i 1880 af Georges Gouy .

Referencer

Émile Picard , " Hyldest til mindet om Georges Gouy ", Ugentlige rapporter om sessionerne i Academy of Sciences , t. 182, nr . 5,1 st februar 1926, s. 293 ( læs online )

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

Animation om Futura-Sciences