Modalogik

I matematisk logik er en logik Modal en form for formel logik, der udvider den foreslåede logik , logikken i den første orden eller højere ordenslogik med modaliteter . En modalitet specificerer sandhedens kvaliteter . For eksempel kan et forslag som "det regner" forud for en modalitet:

• Det er nødvendigt, at det regner;
• I morgen regner det;
• Christopher Columbus synes, det regner;
• Det er vist, at det regner;
• Det er obligatorisk, at det regner.

Der er en række modale logikker såsom tidsmæssig logik , epistemisk logik (videnlogik). I datalogi bruges modalogik til dets ekspressivitet og algoritmiske aspekter. F.eks. Bruges timinglogik til at specificere programmer og derefter kontrollere dem .

Aletisk modalogik

I aletisk modalogik (eller aristotelisk eller klassisk) identificerer vi fire modaliteter:

• nødvendigt (hvilket ikke kan være sandt), bemærkes ;◻{\ displaystyle \ Box}
• kontingent (hvilket kan være forkert), bemærkes ;¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box}
• mulig (hvilket kan være sandt), bemærkes ;◊{\ displaystyle \ Diamond}
• umuligt (hvilket ikke kan være forkert), bemærkes.¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}

Disse 4 modaliteter er forbundet, bare en er nok til at definere de andre tre.

Den intuitive fortolkning (ikke delt af hele det filosofiske-logiske samfund) er som følger:

• Nødvendigt ≡ umuligt ikke;
• Kvote ≡ ikke nødvendigt ≡ ikke mulig;
• Mulig ≡ ikke umulig.
• Umuligt = ikke muligt.

Vi skelner derfor to unary dobbeltstik fra hinanden:

• Det nødvendige  ;◻{\ displaystyle \ Box}
• Det mulige .◊{\ displaystyle \ Diamond}

◻{\ displaystyle \ Box}p betyder, at p nødvendigvis er sandt, mens p betyder, at p muligvis er sandt, det vil sige kompatibel med nuværende viden. ◊{\ displaystyle \ Diamond}

Eksempler:

• ¬◻{\ displaystyle \ neg \ Box} arbejde: det er ikke nødvendigt, at eleverne arbejder;
• ¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond} arbejde: det er ikke muligt for eleverne at arbejde;
• ◻¬{\ displaystyle \ Box \ neg} trav: det er nødvendigt, at eleverne ikke arbejder;
• ◊¬{\ displaystyle \ Diamond \ neg} trav: det er muligt, at de studerende ikke arbejder.

I aletisk modalogik (eller aristotelisk eller klassisk) kan vi udtrykke de fire operatorer ved kun at bruge en (her nødvendighed) og negationen. Så:

• Umuligt er  ;◻¬{\ displaystyle \ square \ neg}
• Mulig er .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ square \ neg}

En nødvendig proposition kan ikke være falsk uden at antyde en modsigelse , en contrario af en kontingent proposition, som kan være falsk uden at antyde en modsigelse.

Forskellige modalogik

Andre typer modalogik anvendes også, hvis tilstande er:

• epistemi (relateret til viden):
  • kendt af agenten , bemærketjeg{\ displaystyle i}VSjeg{\ displaystyle C_ {i}}
  • tvivlsom
  • udelukket
  • plausibelt
  • fælles viden om gruppen af agenter, bemærketG{\ displaystyle G}VSKG{\ displaystyle CK_ {G}}
  • delt viden om gruppen af agenter, bemærket (alle ved)G{\ displaystyle G}EKG{\ displaystyle EK_ {G}}
• deontics (moralsk):
  • obligatorisk , bemærkede O
  • forbudt , bemærkede jeg
  • tilladelse , bemærkede P
  • valgfri , betegnet F
• tidsmæssig  :
  • altid , bemærket eller G◻{\ displaystyle \ Box}
  • en dag , bemærket , eller nogle gange F◊{\ displaystyle \ Diamond}
  • aldrig bemærket¬◊{\ displaystyle \ neg \ Diamond}
  • i morgen , bemærkede X
  • indtil , binær operatør betegnet med U
  • altid i fortiden , bemærkede H
  • en dag gik , bemærkede P
• doxastic (om tro):
  • rå , bemærkede B
  • fælles tro hos gruppen af agenter, bemærketG{\ displaystyle G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• kontrafaktiske forhold  :
  • Hvis A var sandt , hvor vi ved, at A ikke er sandt.
• dynamik (virkning af handlinger, bemærket a , på forslag):
  • Der eksisterer en udførelse af en sådan, at efter a , p er sandt , bemærkes⟨på⟩s{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • p er sandt efter enhver udførelse af a , bemærket .[på]s{\ displaystyle [a] p}

Axiomer af modalogik

Hver modalogik er forsynet med en række aksiomer, der definerer funktionaliteten af ​​modaliteterne.

Vi kan således konstruere forskellige systemer i henhold til de tilladte aksiomer.

• K-systemet designet af Kripke og kaldet det normale eller Kripke-system. Han indrømmer følgende to aksiomer:
  • (K) (Kripkes distributionsaksiom);◻(PÅ→B)→(◻PÅ→◻B){\ displaystyle \ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)}
  • (RN) (eller (N) eller (NEC) ) Hvis er en sætning, så også (nødvendighedsinferensregel).PÅ{\ displaystyle A}◻PÅ{\ displaystyle \ Ramme A}

• D-systemet, designet ved at tilføje aksiomet (D) til K-systemet:
  • (D ) (i aristotelisk logik udtrykker dette, at nødvendighed indebærer mulighed ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Box P \ rightarrow \ Diamond P}

• T-systemet designet af Robert Feys i 1937 ved at tilføje aksiomet (T) til K-systemet:
  • (T) (eller (M) ): (i aristotelisk logik udtrykker dette, at faktum indebærer muligheden ).P→◊P{\ displaystyle P \ rightarrow \ Diamond P}

• S4- og S5-systemerne defineret af Clarence Irving Lewis .
  • For at konstruere S4 tilføjer vi til systemet T aksiomet (4)  :
    • (4) .◻s→◻◻s{\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}
  • For at konstruere S5 føjer vi til systemet T aksiomet (5)  :
    • (5) (eller (E) ) .◊s→◻◊s{\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

• B-systemet (designet af Oskar Becker i 1930 ved at tilføje aksiomet (B) til T-systemet.
  • (B)  : .s→◻◊s{\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}

Vi siger, at det ene system er svagere end det andet, når alt, hvad der demonstreres i det første system, demonstreres i det andet, men ikke omvendt.

Dette prioriterer systemerne K, T, S4 og S5 fra svageste til stærkeste. Ligeledes er K svagere end D og T svagere end B.

Serien af ​​systemer K til S5 danner et indlejret hierarki, der udgør kernen i normal modal logik. Axiom (D) anvendes derimod hovedsageligt i deontisk, doxastisk og epistemisk logik.

Modale logikmodeller

Kripkes modeller eller modeller af mulige verdener giver semantik til modalogik. En Kripke-model er dataene:

• af et ikke-tomt sæt mulige verdener  ;W{\ displaystyle W}
• et binært forhold mellem de mulige verdener kaldet relation af tilgængelighed;R{\ displaystyle R}
• af en værdiansættelse, der giver en sandhedsværdi til hver foreslået variabel i hver mulig verden.V{\ displaystyle V}

Semantikken for en modaloperatør defineres ud fra en tilgængelighedsrelation som følger: formlen er sand i en verden w hvis, og kun hvis formlen er sand i alle verdener, der er tilgængelige fra w af relationen . ◻PÅ{\ displaystyle \ firkant A}PÅ{\ displaystyle A}R{\ displaystyle R}

Klassificering af modale logiske systemer

Modale logiske systemer er organiseret efter reglerne for slutning og de aksiomer, der karakteriserer dem.

Klassiske modalogik

Klassiske modale logiske systemer er dem, der accepterer følgende slutningsregel:

(RE)PÅ↔B◻PÅ↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}}

Det er sædvanligt, at et sådant system får et kanonisk navn af typen , hvor det er navnene på systemets aksiomer. Eξ1ξ2⋯ξikke{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξjeg{\ displaystyle \ xi _ {i}}

Monotone modalogik

Monotone modale logiske systemer er dem, der accepterer RM-inferensreglen:

(RM)PÅ→B◻PÅ→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \ til B} {\ Box A \ til \ Box B}}}

Sættet med monotone systemer er inkluderet i sættet med konventionelle systemer.

Regelmæssig modalogik

Regelmæssige modale logiske systemer er dem, der accepterer RR-inferensreglen:

(RR)(PÅ∧B)→VS(◻PÅ∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ wedge B) \ to C} {(\ Box A \ wedge \ Box B) \ to \ Box C}}}

Sættet med almindelige systemer er inkluderet i sættet med monotone systemer.

Normal modalogik

Normale modale logiske systemer er dem, der accepterer RK-inferensreglen:

(RK)(PÅ1∧⋯PÅikke)→B(◻PÅ1∧⋯◻PÅikke)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ to B} {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Boks B}}}

Sættet med normale systemer er inkluderet i sættet med almindelige systemer.

En ækvivalent og mere almindelig definition af normale systemer er som følger: et modalt logiksystem siges at være normalt, hvis det har aksiomet (K) og accepterer nødvendighedsreglen (RN) som slutningsreglen:

(K)◻(PÅ→B)→(◻PÅ→◻B){\ displaystyle (K) \ Box (A \ til B) \ til (\ Box A \ til \ Box B)}

(RIKKE)PÅ◻PÅ{\ displaystyle (RN) {\ frac {A} {\ Box A}}}

De normale systemer er de mest anvendte, fordi de er dem, der svarer til Kripkes semantik . Det er dog muligt at finde semantik til ikke-normal klassisk logik, men de har generelt dårligere egenskaber.

Link til andre logik

Den intuitionistiske logik kan bygges på logikken aletisk som en modal logik. Modalogik er et fragment af førsteordenslogik.

Noter og referencer

1. Jacques Paul Dubucs "ukonventionel logik", i Encyclopaedia Universalis , bind 13, Paris, 1990, s. 977-992.

Se også

Relaterede artikler

• Kvota
• Dilemma
• Modal fiktionalisme
• Sahlqvist formel
• Logik af bevisbarhed
• Deontisk logik
• Flerværdige logik
• Ontologisk bevis for Gödel
• Kripke semantik
• Löbs sætning
• Dezert-Smarandache teori

eksterne links

• (en) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (red.), 2007.
• (en) S4 prover ved tableau metode , S4 prover
• (da) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Bibliografi

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke og Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
• (en) Brian F. Chellas, Modalogik , en introduktion , Cambridge University Press,1980[ udgave af udgaven ]
• L. Fontaine, Modalogics og antropologi. Fra reglerne til ordet blandt Yucuna-indianerne fra den colombianske Amazonas . L'Homme , n.184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, bind 3: metoder til kunstig intelligens, Paris, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Meget komplet oversigt på fransk af de vigtigste modalogik).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">