Højre ligning

I affin geometri gør en ligelinie i bred forstand det muligt at beskrive det sæt punkter, der hører til denne lige linje .

En linje i et affinplan af dimension 2 bestemmes af en kartesisk ligning ; en linje i et affinalt rum med dimension 3 bestemmes af et system med to kartesiske ligninger, der definerer to sekante plan, hvis linje er skæringspunktet; etc.

Definition

Ligningen for en ret linie D er en (eller flere) ligning (e) af den første grad til flere ukendte (de koordinater ), og hvis sæt af opløsninger danner den rigtige D .

I planen

I planet kan det sæt af punkter $M ( x , y ), der$ danner D, repræsenteres af en ligning af formen: $ax + ved + c = 0$ hvor $a$ , $b$ og $c$ er konstanter således, at $( a , b ) \neq (0, 0)$ . I det tilfælde, ${\ displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid ax + + + c = 0 \}.}$

I rummet

I et tredimensionelt rum i kartesiske koordinater kan vi beskrive sæt af punkterne $M ( x , y , z ), der$ danner linien D ved:

en parametrisk ligning;
et system med to ligninger af ikke- parallelle plan ;
et overflødigt system med tre ligninger svarende til to af dem.

Et parametrisk system

Hvis $A ( x A , y A , z A )$ er et punkt af linje D og en retningsvektor af D , kan denne linje beskrives ved hjælp af følgende parametriske ligning : ${\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = ved + x_ {A} \\ y = bt + y_ {A} \\ z = ct + z_ {A} \ end {matrix}} \ højre. \ quad t \ in \ mathbb {R}}$

Et system med to ligninger

Linie D kan også beskrives ved et system med to ligninger af formen: ${\ begin {cases} ax + med + cz + d = 0 \\ a'x + b'y + c'z + d '= 0 \ end {cases}}$ hvor $a , b , c , d , a ' , b' , c ' , d'$ er konstanter, så tredobler $( a , b , c )$ og $( a ' , b' , c ' )$ er ikke- kollinære , ellers sagde ikke- proportional (især skal ingen af de to tripletter være nul).

$ax + ved + cz + d = 0$ og er ligningerne af to ikke-parallelle plan. $a'x + b'y + c'z + d '= 0$

Et overflødigt system med tre ligninger

I det orienterede euklidiske rum i dimension 3 hører et punkt $M ( x , y , z )$ til linjen, der passerer gennem $A ( x A , y A , z A )$ og med retningsvektor (ikke nul), hvis og kun hvis krydsproduktet er nulvektoren (fordi og derefter er kollinær, ). Mere generelt , i et hvilket som helst affineret rum i dimension 3, bestemmes denne linje af systemet med tre ligninger ${\ vec {u}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ land {\ overrightarrow {AM}}}$ $\ overrightarrow {AM}$ $\ vec {u}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} = k {\ vec {u}}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = 0 \\ c (x-x_ {A}) - a (z-z_ {A} ) = 0 \\ a (y-y_ {A}) - b (x-x_ {A}) = 0, \ end {cases}}}

hvilket er overflødigt, fordi det svarer til to af dem. Faktisk, hvis for eksempel $a \neq 0 kan$ den første ligning udledes af de to andre:

{\ displaystyle \ left (z-z_ {A} = {\ frac {c} {a}} (x-x_ {A}) {\ text {et}} y-y_ {A} = {\ frac {b } {a}} (x-x_ {A}) \ højre) \ Rightarrow b (z-z_ {A}) - c (y-y_ {A}) = \ left (b {\ frac {c} {a }} - c {\ frac {b} {a}} \ right) (x-x_ {A}) = 0.}

Særlige tilfælde

I planet har en linje parallelt med x-aksen (vandret) en ligning af formen: ${\ displaystyle y = y_ {0}}$ for en bestemt virkelighed . $y_ {0}$

Ligeledes har en linje parallel med y-aksen (lodret) en ligning af formen: ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ for en bestemt virkelighed . $x_ {0}$

At finde en stregligning i planet

Ved at løse et ligningssystem

Lad være to ikke-sammenfaldende punkter i planet, $M ( u , v )$ og $M ' ( u' , v ' )$ .

Hvis linjen, der passerer gennem disse to punkter, ikke er lodret ( ), er dens ligning . $u \ not = u '$ $y = økse + b$

For at finde ligningen skal vi løse systemet: ${\ begin {cases} v = au + b \\ v '= au' + b \ end {cases}}$

Vi har (direktørkoefficient). $a = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}}$

For at finde konstanten $b$ (y-skæring) er det tilstrækkeligt at erstatte variablerne henholdsvis $x$ og $y$ med $u$ og $v$ (eller $u '$ og $v'$ ).

Det har vi da . ${\ displaystyle v = au + b \, \ Leftrightarrow \, b = v-au}$

Fra hvor vi ved at erstatte ligningen til højre: (faktorisering) ${\ displaystyle y = ax + v-au \ Leftrightarrow y = a (xu) + v}$

Ved at erstatte $a$ med dens værdi (direktørkoefficient) er ligningens linje endelig ${\ displaystyle \ left (MM '\ right): y = {\ cfrac {v'-v} {u'-u}} (xu) + v}$

(I det særlige tilfælde finder vi således den vandrette ligningslinje .) $v '= v$ $y = v$

Eller mere generelt kan vi kontrollere, at ligningslinjen med $ax + ved + c = 0$ ${\ begin {cases} a = v'-v \\ b = u-u '\\ c = - (bv + au) \ end {cases}}$ er en linje, der passerer gennem punkterne og uanset deres koordinater. $M \ venstre (u, v \ højre)$ $M '\ venstre (u', v '\ højre)$

Ved kollinearitet af to vektorer

I planet bestemmer to forskellige punkter $A$ og $B$ en lige linje . $\ venstre (AB \ højre)$

$M \ venstre (x, y \ højre)$ er et punkt på denne linje, hvis og kun hvis vektorerne og er kollinære (vi ville opnå den samme endelige ligning ved at vende rollerne A og B ). $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {AM}$

Vi får ligningen af linjen ved at skrive $\ venstre (x_ {B} -x_ {A} \ højre) \ venstre (y-y_ {A} \ højre) - \ venstre (y_ {B} -y_ {A} \ højre) \ venstre (x-x_ { A} \ højre) = 0.$

Endelig er ligningens linie : $\ venstre (AB \ højre)$ ${\ displaystyle \ left (y_ {B} -y_ {A} \ right) x + (x_ {A} -x_ {B}) y + x_ {B} y_ {A} -x_ {A} y_ {B} = 0.}$

Hvornår ender vi med den samme ligning ved at ræsonnere om retningskoefficienten og ved at skrive: $x_ {B} \ neq x_ {A}$ ${\ displaystyle y-y_ {A} = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} (x-x_ {A}).}$ svarende til: ${\ displaystyle y = {\ frac {y_ {B} -y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x + \ venstre (y_ {A} - {\ frac {y_ {B} - y_ {A}} {x_ {B} -x_ {A}}} x_ {A} \ højre).}$

Når , linjen er simpelthen ligning . $x_ {B} = x_ {A}$ $x = x_ {A}$

Eksempel:

I flyet, den linje, der går gennem punkterne og , har ligningen: $A (-1; 4)$ $B (1; 0)$ $y-4 = {\ frac {0-4} {1 - (- 1)}} (x - (- 1))$ enten efter forenkling: ${\ displaystyle 2x + y-2 = 0.}$

Ved ortogonalitet af to vektorer

Lad A være et punkt på det euklidiske plan og en ikke-nul-vektor. Linjen, der passerer gennem A og med den normale vektor, er sættet med punkterne M på planet, såsom: ${\ vec {n}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AM}} \ cdot {\ vec {n}} = 0.}$

Bemærkninger

En linje kan have et uendeligt antal ligninger, der repræsenterer det.
I flyet indrømmer lige en ligning (kaldet kartesisk) af formen . $ax + ved + c = 0$

Se også