I klassisk geometri er et plan en ubegrænset flad overflade forsynet med forestillinger om justering , vinkel og afstand , og hvor punkter , linjer , cirkler og andre sædvanlige planfigurer kan indskrives . Det tjener således som en ramme for plangeometri og især for trigonometri, når den er forsynet med en orientering , og gør det muligt at repræsentere sættet med komplekse tal .
Et plan kan også opfattes som en del af et tredimensionelt euklidisk rum , hvor det gør det muligt at definere plane sektioner af et fast stof eller en anden overflade. Mere generelt vises et plan i vektorgeometri og affin geometri som et 2- dimensionelt underrum bortset fra forestillingerne om vinkel og afstand. Ved at definere disse strukturer på en anden krop end de reelle tal , kommer begrebet kort ned til at påvirke struktur, der tilfredsstiller sætningen Desargues .
I projektiv geometri afsluttes flyet med en lige linje ved uendelig for at opnå et projektivt plan , ligesom Fano-planet . Denne struktur definerer en ikke-euklidisk geometri som i det hyperbolske plan .
I klassisk geometri er definitionen af et plan aksiomatisk og sigter mod at idealisere de fysiske repræsentationer af plane overflader (tabel, tabel, ark ...). Vi finder en aksiomatisk definition af planet i Euclid omkring 300 f.Kr., der definerer en overflade som "den, der kun har længde og bredde" og derefter specificerer i sin definition 7:
Et fladt område er et, der også placeres mellem dets lige linjer.
Flere århundreder senere forsøger Denis Henrion i sin oversættelse og kommentarer til elementerne at forklare betydningen af "også placeret mellem dets lige linjer", hvilket indikerer, at det er en overflade, hvor alle delene af midten hverken er hævet eller sænket. at ekstremerne, at det er den korteste overflade blandt dem, der har de samme ekstremer, at de midterste dele skygger de ekstreme dele. Han forklarer, at hvis vi ved et hvilket som helst punkt på en overflade kan dreje en linje, mens vi forbliver i overfladen, så er denne overflade plan.
Den samme idé afspejles i definitionen af Adrien-Marie Legendre i hans Elements of Geometry (1790):
En overflade er den, der har længde og bredde uden højde eller tykkelse. Flyet er en overflade, hvor man tager to punkter efter ønske og forbinder disse to punkter med en lige linje, og denne linje er helt i overfladen.
eller i denne definition fra The Little Encyclopedia of Mathematics (1980):
Sættet med linjer, der kommer fra et punkt A og skærer en linje d, der ikke passerer gennem A eller er parallel med d, danner et plan.
I XVII th århundrede , den analytisk geometri af Descartes og Fermat beskrevet alle punkter af planen ved hjælp af par af koordinater . I nutidigt matematisk sprog er flyet derefter i sammenhæng med helheden , så afstanden mellem to punkter svarer til den euklidiske norm, der illustrerer den pythagoriske sætning .
Ligeledes er et plan ved at repræsentere rummet som et sæt tredobler af reelle tal det sæt af løsninger af en kartesisk ligning af formen , hvor koefficienterne ikke alle er nul. Flyene fremtræder således som de plane overflader af en lineær form i rummet.
Udviklingen af lineær algebra i XIX th århundrede indeholder en definition af planen med begrebet vektorrum og dimension af et legeme :
Et plan (vektor eller affine) er et vektor (eller affine ) rum i dimension 2.
Dette er for eksempel tilfældet med sættet med komplekse tal , sættet med affine funktioner , sættet af sekvenser, der tilfredsstiller et lineært gentagelsesforhold af rækkefølge 2 i formen (som Fibonacci-sekvensen ) eller sættet af løsninger af en lineær differentialligning af orden 2 af formularen over et givet interval.
Denne præsentation indebærer eksistensen af et punkt O og to vektorer og sådan, at punkterne i planet er punkterne M, der tilfredsstiller en vektorligning af formen , hvor a og b begge beskriver skalarens felt. Vi siger derefter, at tripletten er et kartesisk koordinatsystem for flyet, og vi vil bruge denne præsentation i resten af artiklen.
Planet for klassisk geometri realiseres i et affinalt rum på feltet med reelle tal . Men mange geometriske konstruktioner holder betydning på andre kroppe, især på endelige kroppe .
Ved slutningen af det XIX th århundrede , efter opdagelsen af ikke-euklidiske geometrier , er en bevægelse på vej til axiomatizing yderligere geometri søger at tømme den for dens ontologiske indhold. David Hilbert definerer i sin Grundlagen der Geometrie ( basis for geometri ) punkter, linjer og rummets plan ved de forhold, der forener dem ( aksidens aksiomer ):
Mindst et punkt er placeret på ethvert plan. Lad 3 punkter ikke være justeret, der er et og kun et plan, der indeholder disse tre punkter. Hvis to (forskellige) punkter på en linje er placeret i et plan, er hele linjen placeret i planet. Hvis to fly har ét punkt til fælles, så har de et andet punkt til fælles. Der er mindst 4 punkter, der ikke er placeret i samme plan.
En reduktion af Hilberts aksiomer gør det muligt at finde plangeometri uden for konteksten for geometri i rummet :
Gennem to forskellige punkter passerer en og kun en lige linje. Enhver lige linje passerer gennem mindst to punkter. Der er mindst tre ikke-justerede punkter. Gennem et punkt uden for en linje d , kun én disjunkte linje af d passerer .
Den således definerede incidensstruktur opfyldes af alle de affine rum i dimension 2 uanset den underliggende krop, men også af andre strukturer såsom Moultons plan .
Hilbert identificerer, at Desargues 'sætning om klassisk geometri er udledt fra andre aksiomer, men ikke fra indfaldet i planet, hvorimod det kun er formuleret med hensyn til forekomst. Ved at introducere det som et ekstra aksiom, karakteriserer det faktisk alle de affine rum i dimension 2. Og ved at erstatte det med Pappus 'sætning opnår vi en karakterisering af alle de affine rum på kommutative felter .
I et affinalt rum med dimension 3 er der kun to relative positioner af to plan:
Denne adskillelse er ejendommelig med tredimensionelt rum. I større dimension kan to plan have et enkelt skæringspunkt eller være adskilt uden at være parallelle.
Retningen er let at sammenligne fra kartesiske ligninger:
Givet to planer, der er forbundet henholdsvis med ligningerne, og de to planer er parallelle, hvis og kun hvis vektorerne og er kollinære.
Disse vektorer er henholdsvis normale vektorer til planerne på en ortogonal basis eller koder på den dobbelte basis af de lineære former, hvis plan er plane overflader .
Højre og planEt rumplan kan en linje i dette rum være:
Inkluderingen i et affin rum med større dimension tilvejebringer ingen anden relativ position for en linje og et plan.
EjendommeDe tag sætningen bestemmer, at hvis en linje af et plan er parallel med en linje af et andet plan sekant til den første, så disse linier er parallelle til skæringspunktet mellem de to planer.
Tre fly, der krydser to og to, har skæringslinjer, som nødvendigvis alle er parallelle eller samtidige.
I det euklidiske tredimensionelle rum gør det skalære produkt det muligt at definere vinklen mellem to ikke-nul- vektorer . Givet to ikke-kollinære vektorer i et plan viser krydsproduktet eksistensen af en vektor, der er ortogonal til og (og derfor til enhver anden vektor, der forbinder to punkter i planet), der er kvalificeret som en vektor, der er normal til planet. Denne vektor er unik op til multiplikation med en skalar.
To krydsende plan afgrænser dihedra, hvis vinkel varierer mellem nulvinklen og den flade vinkel, og som svarer til vinklen mellem deres normale vektorer. Hvis disse normale vektorer i sig selv er ortogonale, siges det at planerne er vinkelrette. De siges ikke at være ortogonale, fordi der er ikke-nul-vektorer repræsenteret både i den ene og i den anden (for eksempel vektorer, der styrer deres skæringspunkt i tilfælde af to sekantplaner).
Afstanden mellem to plan eller mellem et plan og en linje er den mindste afstand mellem et punkt på det ene og et punkt på det andet. Dette minimum er 0, hvis de to sæt har et ikke-frit skæringspunkt og ellers nås langs segmenter, der er vinkelrette på de to sæt.
Planen understøtter visuel repræsentation og giver mulighed for at forstå en sammenhæng mellem to numeriske variabler .
Hvis hver værdi af de første variable svarer til kun én værdi (højst) af den anden, er relationen siges at være funktionelle , og grafen af relationen er en kurve repræsentativ for funktionen .
Når de to variabler er beskrevet af en statistisk prøve , er forholdet repræsenteret af et spredningsdiagram .
Når de to variabler i sig selv er funktioner i en tredje variabel, især en tidsmæssig variabel, illustreres deres forhold ved en bane, muligvis opnået ved en differentialligning. Især undersøgelsen af sammenhængen mellem udviklingen af en mængde og dens tidsafledte giver anledning til repræsentationen af et faseportræt .
En symmetri (ortogonal) med hensyn til et plan P er en geometrisk transformation, som på ethvert punkt M i planet forbinder det unikke punkt M ', således at segmentet [ M M' ] er retvinklet til planet i dets midte .
Forbindelsen med to symmetrier i forhold til to sekantplaner er en rotation omkring deres skæringslinje med en vinkel to gange dihedralvinklen.
Forbindelsen med to symmetrier i forhold til to parallelle plan er en oversættelse af en vektor, der er normal til de to plan og af norm dobbelt så lang afstand mellem planene.
En sådan symmetri er karakteristisk for bilaterale dyrearter .
Et fremspring (affine) på et plan parallelt med en lige linje af sekant til planet, er en geometrisk transformation, der forbinder med hvert punkt M enkelt skæringspunktet mellem planet og parallelt med d gennem M . Hvis linjen er vinkelret på planet, så taler vi om vinkelret projektion .
En sådan projektion idealiserer fænomenet skygge på en plan støtte i tilfælde af belysning ved uendelig (hvilket er en god tilnærmelse til solens belysning). Den raffinerede projektion på et plan styrer også repræsentationen i kavaler perspektiv . Det bruges også i større dimensioner til at visualisere en datasky, især ved hjælp af hovedkomponentanalyse .
En plan sektion af en rumfigur er simpelthen skæringspunktet mellem figuren og et plan. Denne forestilling gør det muligt at visualisere matematiske eller konkrete strukturer som i arkitektur , fysik, kemi og biologi, især ved brug af en tredimensionel scanner .
Hilberts incidensaksiomer fremhæver forskellige karakteriseringer af et plan i et affinalt rum. Der er kun en plan:
Den første karakterisering gør det muligt blot at få hver af de følgende og omvendt.
Fra tre ikke-justerede punkter A , B , C kan vi definere et koordinatsystem . Omvendt kan ethvert referencemærke skrives i denne form.
Givet et koordinatsystem af planet, opnår vi en parametrisk repræsentation af formen . I dimension 3, hvis vi betegner , og , opnår vi de parametriske ligninger med . Omvendt gør enhver affin parametrisk repræsentation det muligt at finde koordinaterne for udgangspunktet (ved at annullere parametrene) og de to retningsvektorer (faktorer for parametrene i hver af de tre ligninger).
Endelig fra en reference plan i rummet og en generisk punkt , forening af punktet til planet er kendetegnet ved annullering af blandede produkt af vektorer , , som måler standard samme plan.
, med og ligeledesDisse 4 bemærkede faktorer definerer derefter den kartesiske ligning .
Omvendt, fra en cartesisk ligning skrevet med ikke alle nul, kan vi vælge et indlysende løsningspunkt (for eksempel ved at vælge en koordinat, der er knyttet til en ikke-nul-koefficient, ved at annullere de to andre koordinater og ved at løse ligningen for den første grad resterende), så bestemmer vi et grundlag for vektors underrum af ligning i .
Følgende karakteriseringer er baseret på forestillingerne om afstand og vinkel (især ortogonalitet ), der kommer fra den euklidiske rumstruktur i klassisk geometri.
Givet et punkt A og en ikke-nul vektor , er der et unikt plan, der passerer gennem A og vinkelret på , kaldet den normale vektor .
Denne karakterisering af et plan opnås meget let fra et koordinatsystem af planet ved hjælp af krydsproduktet .
Omvendt, givet et punkt og en normal vektor , finder vi let en kartesisk ligning .
Andre karakteriseringer kommer ned til valget af et punkt og en normal vektor:
Givet to forskellige punkter A og B i rummet eksisterer der et unikt plan, der er stedet for de lige store punkter i A og B og kaldes mediatorplanet for segmentet [ A B ] .
Givet to usammenhængende og ikke-parallelle linjer, findes der et enkelt plan, der er i samme afstand fra alle punkterne i de to linjer.
Givet et punkt A og to plan P og P ', som ikke er parallelle i rummet, eksisterer der et enkelt plan, der passerer gennem A og vinkelret på P og P' .
Et plan er et 2-dimensionelt underrum af et vektorrum over et kommutativt felt . Vi taler også i dette tilfælde om et vektorplan.
Et plan genereres altid af to vektorer og ikke kollinært. På denne måde er en vektor af planet, hvis og kun hvis det er en lineær kombination af og med koefficienter i . Hvis den har en begrænset dimension , kan man også definere et plan ved uafhængige lineære former, der annullerer på alle planens vektorer. Det er især interessant at have denne sidste karakterisering til rådighed, hvis man f.eks. Ønsker at bestemme skæringspunkterne for planet og et andet objekt, for eksempel en kurve eller en overflade.
I det tilfælde, hvor rummet har dimension 3, er kun en lineær form tilstrækkelig til at definere et plan. At kende to vektorer, og som genererer det, af koordinater
det er nyttigt at vide, hvordan man laver en lineær form, der giver ligningen af planet. Det blandede produkt af , og er nul, hvis og kun hvis hører til planet dannet ved og . Dette blandede produkt er skrevet
Den ønskede lineære form blev således opnået.
Omvendt, hvis vi har en lineær form, der definerer et plan, kan vi let finde to vektorer, der genererer dette plan fra den lineære form. Der er nødvendigvis en ikke-nul-koefficient blandt og . Lad os sige, at denne koefficient er . Vi kan derefter omskrive ligningen af planet i formen
Derefter ved at erstatte parret med de uafhængige par, og vi får to vektorer
som nødvendigvis er uafhængige, da deres respektive fremspring på planet med hensyn til aksen er uafhængige vektorer.
Antag, at der i et rum med dimension er to vektorer og uafhængige. Hvordan finder man uafhængige lineære former, der giver ligningerne af planet? Det svarer til at lede efter en base af løsninger til det lineære system
For at gøre dette vælger vi to indekser og sådan, at parene og er lineært uafhængige. Geometrisk svarer dette til at vælge et koordinatplan, således at de respektive fremspring på og på dette plan, parallelt med underområderne, er uafhængige. En sådan plan eksisterer stadig fordi og er uafhængig. Når dette er gjort, omskriver vi det tidligere system i form
Løsningen af dette lineære system opnås ved de klassiske metoder. For at opnå et grundlag for opløsningsrummet er det tilstrækkeligt at erstatte elementernes rækkefølge med elementerne på det kanoniske grundlag i vektorrummet , dvs.
.Omvendt, givet uafhængige lineære former , finder vi to uafhængige vektorer i planet defineret som det sæt punkter, hvor disse lineære former annullerer hinanden ved at finde et grundlag for systemet med løsninger . I praksis er den bedste måde at fortsæt er at sætte systemets matrix i forskudt form ved hjælp af mulige permutationer på søjlerne. Som det er af rang , vil denne algoritme give variabler sammenlignet med hvilken man vil løse, og to uafhængige variabler at sætte i det andet medlem. Opløsningen er derefter hurtig. Det er absolut nødvendigt at undgå Cramer's formler for at detektere indekserne for de variabler, som vi løser: det ville være nødvendigt at beregne determinanter for et samlet antal operationer i størrelsesordenen , hvis vi beregner determinanterne af Gauss-Jordan algoritme , hvorimod passage i trinform gør det muligt at afslutte for et antal operationer i størrelsesordenen .