De Lotka-Volterra konkurrencemæssige ligninger er en simpel fænomenologiske model af dynamikken i konkurrerende populationer . Deres udtryk svarer til Lotka-Volterra-rovdyrsligningerne for rovdyr.
Lad være to konkurrerende populationer N 1 og N 2 efter en logistisk dynamik med en vækstrate r 1 (henholdsvis r 2 ) og en bæreevne K 1 (henholdsvis K 2 ). Lotka-Volterra konkurrence ligningerne tilføjer et udtryk, der modellerer interaktionen mellem de to arter:
Her repræsenterer α 12 virkningen af art 2 på populationen af art 1, og omvendt repræsenterer α 21 effekten af art 1 på art 2. Værdierne α 12 og α 21 er ikke nødvendigvis ens, og hver art kan desuden have en tydelig vækstrate og bæreevne.
I tilfælde af den strenge konkurrencemodel er interaktionerne skadelige, så værdierne af α er alle positive. Hvis α 12 og α 21 ikke har det samme tegn, tror en af de to populationer på bekostning af den anden (som kan fortolkes som predation eller parasitisme), hvis de to udtryk er negative, har begge populationer en positiv effekt på den anden (som kan fortolkes som gensidig, men sjældent bruges i praksis, fordi den kan lade befolkningen vokse på ubestemt tid). En komplet klassificering af dynamikken i dette system er tilgængelig.
Denne model kan generaliseres til et vilkårligt antal konkurrerende arter:
Hvor R er antallet af konkurrerende arter (eller specifik rigdom ). I dette tilfælde er det praktisk at repræsentere væksthastighedsbetingelserne r i form af en vektor og interaktionsbetingelserne a ij i form af en matrix (kaldet en interaktionsmatrix). Vi bemærker udseendet af det intraspecifikke konkurrencebegreb a ii , hvis værdi generelt er fastgjort til 1 af hensyn til overensstemmelse med den logistiske vækstmodel .
To- artsmodelens asymptotiske opførsel kan let udforskes ved at foretage en isoklinanalyse : en grafisk analyse af positionen for nul-isokliner (kurver, langs hvilke en arts vækst er nul) i faseområdet, som her er planet ( N 1 , N 2 ).
Hver art i har to isokliner, ligninger af ligningen :
Tegn på den effektive væksthastighed for art i ændrer sig på hver side af isoklinen (positiv nedenfor, negativ ovenfor), så populationen af en ikke-uddød art har tendens til sin ikke-trivielle isoklin.
Vi bemærker straks, at hvis en af de to arter er uddød ( ), befinder vi os nøjagtigt i tilfældet med den logistiske vækstmodel . Dette er også tilfældet, hvis de andre arter har et fast ( konstant) populationsniveau, men bæreevnen er dengang .
For indledende forhold, hvor begge arter er til stede, afhængigt af den relative position af de to ikke-trivielle isokliner, observeres fire typer adfærd:
De ligevægte i systemet er de punkter, hvor de to derivater ophæver hinanden samtidigt (disse er skæringspunkterne mellem isoclines af de to arter). Der er mindst tre: (0,0) svarende til udryddelsen af de to arter (krydset mellem de trivielle isokliner) såvel som (K 1 , 0) og (0, K 2 ) svarende til den konkurrencemæssige udelukkelse af begge arter . Der er en fjerde, hvis de to ikke-trivielle isoclines skærer for positive værdier af (N 1 , N 2 ) (i tilfælde 3 eller 4).
Den stabilitet af ligevægte kan studeres gennem tegnet af egenværdierne af Jacobi matrix af systemet på disse punkter. Dette vil formalisere vilkårene for den stabile sameksistens af begge arter og danner et fundament for teorien om sameksistens ( in ).
For enkelheds skyld bruger vi det tilfælde, hvor (r 1 > 0 og r 2 > 0, K 1 = K 2 = 1).
Den stabile sameksistens mellem de to arter er kun mulig, hvis de to konkurrencemæssige udelukkelsesligevægter samtidig er ustabile. Det vil sige, hvis en 12 <1 og en 21 <1. Den økologiske fortolkning af denne tilstand er behovet for den interspecifikke konkurrence (hvis intensitet er repræsenteret af parametrene a 21 og 12 ) eller mere lavere end intraspecifik konkurrence (hvis intensitet er 1 her, men at man kan parametrere med en 11 = K 2 / K 1 og a 22 = K 1 / K 2 som i). Intensiteten af konkurrence mellem arter afhænger af de respektive økologiske nicher af de to arter.
Lotka-Volterras konkurrencemodel er fænomenologisk i den forstand, at den beskriver et fænomen uden at specificere den mekanisme, der forårsager det. Således har den fordelen ved at kunne bruges som en tilnærmelse til mange mere komplekse systemer, men dens forudsigelige effekt er ret lav. Selvom det ikke er designet til en bestemt mekanisme, er det ikke desto mindre muligt at foreslå flere mekanistiske fortolkninger.