Vektor

I matematik er en vektor et objekt, der generaliserer flere forestillinger, der kommer fra geometri (par af punkter, oversættelser osv.), Fra algebra ("løsning" af et ligningssystem med flere ukendte) eller fra fysik. ( Kræfter , hastigheder , accelerationer , etc. ).

Begrebet vektor er strengt aksiomatiseret og er grundlaget for grenen af matematik kaldet lineær algebra . I denne forstand er en vektor et element i et vektorrum , dvs. det er muligt at udføre operationerne for addition og multiplikation med en skalar (med et tal), og disse operationer har gode egenskaber. For eksempel kan et par , en triplet af reelle tal , ses som en vektor (tilføjelsen og produktet med et reelt tal udføres komponent for komponent).

Ved euklidisk geometri , to punkter A og B er givet vektoren repræsenterer oversættelse , som i punkt A associeret punkt B . Par med forskellige punkter kan derfor svare til den samme vektor. Tilføjelse (se Chasles-forhold ) og multiplikation defineres geometrisk. $\ overrightarrow {AB}$

Vektorerne er ofte repræsenteret som enkle tupler eller, grafisk, i det særlige tilfælde af 1, 2 eller 3-dimensionelle mellemrum ved hjælp af pile: denne repræsentation kommer fra kombinationen af forestillingerne om par punkter i den euklidiske geometri (som gør det muligt at definere afstande, men også retning og retning) og de beregningsmuligheder, der tilbydes af algebra ; dette gør det muligt at give mening til vektorer, der er defineret i dimension to (planet), tre (det sædvanlige euklidiske rum), men mere generelt i rum af enhver dimension .

I fysik anvendes vektorer i vid udstrækning, de gør det muligt at modellere størrelser som en kraft , en hastighed , en acceleration , en bevægelsesmængde eller visse felter ( elektriske , magnetiske , tyngdekraft ...). En vektormængde er i modsætning til en skalarmængde : den skalære mængde har kun en værdi, men ingen retning eller betydning.

Disse forestillinger om felter, og operatørerne, der gør det muligt at beregne dem, førte til i multilinær algebra at definere begrebet vektorfelt , det vil sige en funktion fra into n til ℝ n . Således er det f.eks. At bestemme de kurver, som vektorerne i feltet er tangente til, at løse en differentialligning .

Mere generelt er vektorer særlige tilfælde af tensorer (de identificeres med tensorer af rækkefølge 1). Tensorerne i rækkefølge 2 er repræsenteret af matricer , og matricerne på et lineært kort, der transformerer vektorerne til lineær form, udgør en bestemt form for vektorer, også kaldet bivektorer .

Geometrisk tilgang

Den euklidiske geometri er planetens eller rumets geometri baseret på aksiomerne i Euklid . Begreberne punkt , lige linje , længde introduceres ved hjælp af aksiomer. Vektoren er derefter et geometrisk objekt konstrueret ud fra de foregående.

En intuitiv visualisering af en vektor svarer til en forskydning af et punkt eller at bruge det nøjagtige matematiske udtryk, en oversættelse . Således har en vektor en længde, afstanden mellem start- og slutpunktet, en retning (hvis forskydningen ikke er nul, er det linjen, der indeholder start- og slutpunktet) og en retning fra afgang til ankomst.

Definition

En vektor er repræsenteret af et orienteret segment (en pil) med et startpunkt og et slutpunkt som ender. Placeringen i planet eller rummet betyder ikke noget, to forskydninger af to forskellige oprindelsespunkter kan svare til den samme vektor, kun dens længde, dens retning og dens retningstælling. Det er derfor muligt at glide det frit i planet, parallelt med sig selv. Hvis A og B er to forskellige punkter, har vektoren tre karakteristiske elementer: $\ overrightarrow {AB}$

dets retning (højre (AB));
dens retning (der er to mulige kørselsretninger fra linjen (AB): fra A til B eller fra B til A );
dens norm (eller dens længde, længden af segmentet [AB]).

Vær dog forsigtig med ikke at forvirre mening og retning. Faktisk i det daglige sprog, når du er på vej mellem Paris og Versailles, og du siger, at du skal i retning af Versailles, kommer du tættere på sidstnævnte by. Men i matematisk sprog føres retningen af vejen (retning Paris-Versailles) uden at vide, om man går fra Versailles til Paris eller fra Paris til Versailles. For at vide, hvilken by du er på vej mod, bliver du også nødt til at give mening: retning Paris-Versailles for eksempel for at indikere, at du skal fra Paris til Versailles.

En formel definition bruger først begrebet bipoint . Det er defineret som et par punkter. Ordren betyder noget: det første punkt kaldes oprindelsen . To bipunkter ( A , B ) og ( C , D ) siges at være ligevægtige, når segmenterne [AD] og [BC] har det samme medium. Equipollence-forholdet udgør en ækvivalensrelation på bipunkterne. En ækvivalensklasse indeholder alle bipoint, hvis andet medlem er billedet af det første punkt ved forskydning.

Ækvivalensklassen for et bipoint ( A , B ) kaldes en vektor og betegnes . Bipoint ( A , B ) er en repræsentant. Omvendt indrømmer enhver vektor flere repræsentative bipoint, hvoraf ingen er privilegerede. Hvis der vælges en oprindelse, er der et enkelt bipoint, der repræsenterer en given vektor. $\ overrightarrow {AB}$

Mens vektorerne kan flyttes i flyet, er punkterne ikke. Disse forbliver faste. Fordelen ved at have en repræsentant for en vektor er, at der blandt de ligestillede bipoint kun opnås en, hvis oprindelse eller ende er fast en gang for alle.

Således er to bipoint ( A , B ) og ( C , D ) ligevægtige, hvis og kun hvis de repræsenterer den samme vektor, og vi derefter kan skrive ligestillingen

\ overrightarrow {AB} = \ overrightarrow {CD}.

Alle bipoint, der består af gentagelsen af det samme punkt: ( A , A ), er lig med hinanden, de er repræsentanter for en vektor, der er kvalificeret som nul . Det er noteret

\ overrightarrow {AA} = \ overrightarrow {0}

Denne unikke vektor har den særlige egenskab at have sin oprindelse og sin ende sammenfaldende. Denne vektor vil derefter være den eneste, der repræsenteres som et punkt. En vektor repræsenterer en forskydning. Men i en nulvektor, hvor enden og oprindelsen er den samme, er der ingen forskydning. Dette betyder derfor, at fraværet af forskydning betragtes som forskydning.

Teorier, der præsenterer vektorer som en ækvivalensklasse af bipoint, betegner dem generelt med et brev, der er overvundet af en pil.

Længde og vinkel

Længden af et bipoint (A, B) defineres som længden af det underliggende segment. To equipollent bipoint har samme længde. Alle repræsentanter for en vektor har derfor den samme længde, som kaldes vektorens norm (eller modul ) og betegnes generelt (vi bruger også undertiden simpelthen det eller de bogstaver, der betegner vektoren uden pilen, for eksempel u eller AB ). En enhedsvektor er en vektor af norm 1. Nulvektoren er nul standard . $\ vec {u}$ $\ vec {u}$ ${\ displaystyle || {\ vec {u}} ||}$ ${\ displaystyle || {\ vec {0}} || = 0}$

Den vinkel dannet af to vektorer og betegnes . Det er defineret som vinklen lavet af to repræsentanter af samme oprindelse. Så hvis ( A , B ) er en repræsentant for og ( A , C ) en repræsentant for , så $\ vec {u}$ ${\ vec {vb}}$ ${\ displaystyle ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}})}$ $\ vec {u}$ ${\ vec {vb}}$

(\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}) = \ widehat {BAC}

I det orienterede plan er det muligt at definere begrebet orienteret vinkel på to vektorer. Dette er ikke tilfældet i rummet.

Operationer

Geometriske konstruktioner tillader definitionen af addition og multiplikation med en skalar . Navnet på operationer er konsekvensen af ligheden med taloperationer ( kommutativitet , associativitet og distribution , tilstedeværelse af et neutralt og absorberende element ). Af denne grund er ikke kun navnene på operationerne, men notationerne ens.

Hvis og er to vektorer, lad være et par ( A , B ) af punkter, der repræsenterer, og C det punkt, således at parret ( B , C ) repræsenterer vektoren . Derefter er en repræsentant for vektoren parret ( A , C ). Hvis er nulvektoren, så er punkterne B og C de samme, summen er derefter lig med, og nulvektoren er faktisk det neutrale element for tilføjelsen af vektorerne. Lad α være et tal, hvis er nulvektoren, så er også nulvektoren, ellers findes der en unik linje, der indeholder A og B , og et entydigt punkt C, således at afstanden mellem A og C er lig med og retningen af ( A , B ) hvis α er positiv, relativt til betydningen af , og omvendt ellers. $\ vec {u}$ ${\ vec {vb}}$ $\ vec {u}$ ${\ vec {vb}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} + {\ vec {v}}}$ ${\ vec {vb}}$ $\ vec {u}$ $\ vec {u}$ ${\ displaystyle \ alpha {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle | \ alpha | \; \ cdot || {\ vec {u}} ||}$ $\ vec {u}$

Når de først er udstyret med en vektorstruktur, demonstreres demonstrationer af euklidisk geometri ofte. Et eksempel er givet af Thales 'sætning .

Formalisering

Vi finder ikke vektorer i Euclids elementer , men forestillingerne om punkt eller parallelogram af den ovenfor skitserede tilgang er til stede der. Men aksiomatiseringen af elementerne er ikke helt tilfredsstillende, skønt det længe har været en model i sagen: visse aksiomer forbliver implicitte. David Hilbert viste, hvordan man strengt aksiomatiserer planet eller affiner plads på en geometrisk måde (se artiklerne affine plan af Desargues og axioms af Hilbert ). Ved at bruge parallelisme er det derefter muligt at definere oversættelser og homøthet og ved hjælp af disse transformationer, vektorerne og skalarerne. Denne tilgang er meget generelt: det gør det muligt at behandle med nyttige sager, hvor skalarer ikke nødvendigvis reals , men for eksempel komplekser eller elementerne i et begrænset sæt af numre . Det generaliserer også i enhver dimension, i det mindste endelig.

Imidlertid har udviklingen af matematik betydeligt udvidet anvendelsesområderne for vektorer, og en mere algebraisk tilgang er meget udbredt. Den er baseret på to sæt: det ene indeholder skalarer, det andet vektorerne. Det andet kaldes vektorrum . Disse to sæt er forsynet med operationer, og aksiomer verificeres for hver af operationerne. Denne forskellige konstruktion for at formalisere det samme vektorbegreb er den, der behandles i artiklen, der er afsat til vektorrum . Det er skitseret nedenfor.

Algebraisk tilgang

Koordinater og søjlevektorer

I et plan har to vektorer og ikke nul og i forskellige retninger en vigtig egenskab. Enhver vektor er summen af et multiplum af og et multiplum af . Dette betyder, at der findes et unikt par tal, $($ $u$ $1$ $,$ $u$ $2$ $)$ , således at ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$

{\ displaystyle {\ vec {u}} = u_ {1} {\ vec {a}} + u_ {2} {\ vec {b}}}

${\ vec {u}}$ er derefter kvalificeret som en lineær kombination af og . Som helst vektor af flyet udtrykkes på en unik måde som en lineær kombination af og den familie kaldes grundlag af flyet og $u$ $1$ , $u$ $2$ kaldes komponenter af vektoren i dette grundlag. Denne definition svarer til definitionen på et affinitetsplan forsynet med et referencemærke . En sådan ejendom er stadig sand i rummet. Imidlertid er to vektorer ikke tilstrækkelige længere, enhver base indeholder nøjagtigt tre ikke-nul-vektorer, hvis retninger ikke er i samme plan (dvs. der er ikke noget plan, der indeholder de tre retninger). Hvis de tre komponenter i en vektor er i rummet $u$ $1$ , $u$ $2$ og $u$ $3$ , er det almindeligt at bemærke: ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle ({\ vec {a}}, {\ vec {b}})}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec {u}}$

{\ vec {u}} = {\ begin {pmatrix} u_ {1} \\ u_ {2} \\ u_ {3} \ end {pmatrix}}

for at indikere komponenterne i vektoren. Arrayet kaldes en søjlevektor og svarer til et bestemt tilfælde af en matrix . Algebraiske operationer på vektorer er enkle med en sådan repræsentation. Tilføjelse af to vektorer er som at tilføje hver af komponenterne og multiplicere med en skalar er som at multiplicere hver komponent med skalaren.

I et vektorplan identificeres en vektor med et par skalarer og i rummet med en triplet. Hvis de valgte tal er reelle, identificeres et plan (henholdsvis et mellemrum) med ℝ 2 (henholdsvis med ℝ 3 ). Her angiver ℝ sættet med reelle tal.

Kontur af en algebraisk konstruktion

Den tidligere logik, der er anvendt til en dimension lig med to eller tre, er generaliseret. Det er således muligt at overveje strukturen ℝ n eller mere generelt K n med K et sæt skalarer med gode egenskaber (nøjagtigt er K et kommutativt felt ). En sådan struktur har en tilføjelse og en multiplikation med en skalar defineret som i det foregående afsnit.

Det er muligt yderligere at generalisere definitionen af en vektor. Hvis et sæt E har addition og skalar multiplikation på et kommutativt felt, og hvis dets operationer tilfredsstiller visse egenskaber, kaldet aksiomer og beskrevet i den detaljerede artikel, kaldes E vektorrum og et element af E- vektor.

Meget mange eksempler på matematisk interessante sæt har en sådan struktur. Dette er for eksempel tilfældet med rum af polynomer , af funktioner, der verificerer bestemte egenskaber for regelmæssighed, af matricer osv. Alle disse sæt kan derefter studeres med værktøjene til vektorberegning og lineær algebra .

Begrebet dimension giver det første klassificeringsresultat vedrørende vektorrum. I et vektorrum med begrænset dimension n er det muligt ved hjælp af valget af en base at reducere til beregning på søjlevektorer af størrelse n . Der er også uendelige dimensionelle vektorrum. Sættet af funktioner fra ℝ til ℝ er således et vektorrum over feltet med reelle tal med uendelig dimension. Set fra denne vinkel er en sådan funktion en vektor.

Algebraisk konstruktion og geometri

Hvis de to konstruktioner, algebraisk og geometrisk, er ækvivalente for planstrukturen og det sædvanlige rum, giver geometri desuden begreberne afstand og vinkel.

Begrebet skalarprodukt gør det muligt at udfylde dette hul. Et prikprodukt forbinder et reelt tal med to vektorer. Hvis de to vektorer er identiske, er den virkelige positiv. Der er et prikprodukt således, at normen for vektoren er lig kvadratroden af prikkeproduktet af vektoren med sig selv. Euklidisk geometri fremtræder derefter som studiet af et affinrum, der omfatter et vektorrum med dimension to eller tre på feltet med reelle tal forsynet med et skalarprodukt: Euklidisk affinplan eller euklidisk affinrum.

Når først udstyret med et skalarprodukt, bliver det muligt at definere på vektorrummet klassiske transformationer af euklidisk geometri såsom symmetri , rotation eller ortogonal projektion . Transformationen forbundet med vektorrum efterlader altid nulvektoren invariant. Rotationerne gør det muligt at definere begrebet vinkel for vektorerne. Vinklen er lig med, hvis og kun hvis der er en rotation, der sender videre og videre . Denne definition, der gælder for en algebraisk formalisering af begrebet vektorrum, svarer til den geometriske konstruktion. En sådan tilgang forenkler ofte bevisene meget, et eksempel er den Pythagoras sætning . $\ scriptstyle (\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}})$ $\ scriptstyle (\ widehat {{\ vec {u '}}, {\ vec {v'}}})$ $\ scriptstyle {\ vec {u}}$ $\ scriptstyle {\ vec {u '}}$ $\ scriptstyle {\ vec {vb}}$ $\ scriptstyle {\ vec {v '}}$

Den algebraiske tilgang gør det muligt at definere alle forestillingerne om euklidisk geometri, den generaliserer denne geometri til enhver dimension, hvis tallene er reelle. I tilfælde af komplekse tal findes der en analog konstruktion, kaldet Hermitian space .

Tensoriel tilgang

Det skalære produkt i et ikke-ortonormalt system afslører to typer projektion (parallelt med akserne eller vinkelret) og derfor to typer koordinater:

Kovariante komponenter i en vektor

Ved at udføre det skalære produkt af en vektor ved hjælp af basisvektoren opnår vi den covariante komponent i denne vektor $x = x ^ {{i}} e _ {{i}}$ $e _ {{j}}$

{\ displaystyle x.e_ {j} = (x ^ {i} e_ {i}). e_ {j} = x ^ {i} (e_ {i} .e_ {j}) = x ^ {i}. g_ {ij} = x_ {j}}

med den metriske tensor lig med det skalære produkt fra basisvektorerne (gyldigt når basen er ortonormal). $g _ {{ij}} = e _ {{i}}. e _ {{j}}$ $\ delta_ {ij}$

Kontravariant komponenter i en vektor

De kontravariant komponenter er komponenterne i vektoren sådan, at $x = x ^ {{i}} e _ {{i}}$

Vi betegner de kontravariant komponenter ved et højere indeks, de covariante komponenter med et lavere indeks.

Ved at multiplicere de kontravariant komponenter med den metriske tensor opnår vi de covariante komponenter

x ^ {{i}} g _ {{ij}} = x _ {{j}}

I et ortonormalt system er de covariante og kontravariant komponenter identiske

Geometrisk for ethvert system, ved at projicere en vektor parallelt med akserne, opnår vi to punkter M ' og M' ', hvis koordinater i forhold til basisvektorerne definerer vektorens kontravariantkoordinater . $\ overline {OM}$ $\ overline {OM} = x ^ {{1}} e _ {{1}} + x ^ {{2}} e _ {{2}}$

Ved at projicere den samme vektor vinkelret får vi to punkter m ' og m' ', hvis koordinater i forhold til basisvektorerne definerer vektorens kovariantkoordinater $\ overline {OM}$

Anvendelse af vektorer

Eksemplerne i denne artikel er relativt enkle og didaktiske. Andre, mere generelle tilfælde er præsenteret i artiklerne spektral sætning og lineær algebra .

Matematik

En stor del af matematikken bruger vektorer i algebra, geometri eller analyse.

Et arketypisk eksempel i algebra er at løse et system med lineære ligninger . Et eksempel på tre ligninger med tre ukendte svarer til søgningen efter vektorer i dimension tre, fortilfælde af en lineær anvendelse af en given vektor. Det euklidiske plan ℝ 2 kan også identificeres med det komplekse plan ℂ. Det kanoniske grundlag er sammensat af to enhedsvektorer : enhedens virkelighed og den imaginære enhed .

Vektorer tilbyder et effektivt værktøj til løsning af mange geometriske problemer. De bruges til bestemmelse af egenskaber ved parallelisme eller ortogonalitet af linjer, plan eller segmenter. Via brugen af barycentriske koordinater danner vektorerne et passende værktøj til at karakterisere centrum af en geometrisk figur og tillade en enkel demonstration af Leibniz ' sætning, Cevas sætning, så mange resultater på trekanternes geometri. Det skalære produkt, der især udtrykkes på et ortonormalt grundlag , giver mange muligheder. Det giver f.eks. Mulighed for at måle afstanden fra et punkt til en linje eller til et plan. En sådan base gør det muligt at udtrykke geometriske transformationer så enkelt som den ortogonale projektion på et plan eller en linje.

Analysen skal ikke overgås. Vektorrummet ℝ 2 , kopi af det euklidiske plan er den naturlige ramme for repræsentation af grafen for en funktion . Vektorerne gør det f.eks. Muligt at bestemme linjen vinkelret på en kurve for at bestemme foci for en konisk sektion . Den grafiske repræsentation tilbyder en løsning til at bestemme en tilnærmelse af en rod af en ligning i tilfældet, hvor en beslutning ved en algebraisk metode ikke er kendt.

Fysisk

Den fysik er oprindelsen af udtrykket vektor, det altid anvender i udstrakt konceptet. Den historiske årsag stammer fra det faktum, at rummet, der omgiver os , i den klassiske fysik er godt modelleret som affin rum (euklidisk geometri) af dimension tre med tiden (absolut) som parameter for evolution. I fysik kan en tilføjelse af vektorer kun være meningsfuld, hvis deres respektive koordinater har den samme dimension .

Positionen for et punkt er beskrevet af koordinater i et koordinatsystem, men dets hastighed og acceleration er vektorer. For at etablere punktmekanik , det vil sige studiet af bevægelserne i et materielt punkt, er vektorer essentielle. Positionen for et punkt er modelleret af dets tre koordinater (som er reelle tal), som hver er en funktion af tiden; man kan også beskrive det ved, at vektorpositionen går fra referencemærkets oprindelse til punktet: komponenterne i vektoren kan derefter identificeres ved koordinaterne for punktet. Den hastighed vektor er lig med den afledte af position vektoren (dvs.: komponenterne i hastighedsvektor er derivaterne af de af positionen vektoren), og det er stadig en vektor. Det er det samme for accelerationen , der svarer til det andet derivat.

I en galilensk referenceramme er accelerationen af et punkt proportional med den kraft, der påføres det. En kraft svarer til en vektor. En planets bane er kendt af den kraft, der påføres den i hvert øjeblik. Denne kraft er en konsekvens af tyngdekraften , hovedsagelig på grund af solen. Dette fænomen er beskrevet af dataene fra tyngdefeltet . Dette felt forbinder en vektor, der er proportional med tyngdekraften på hvert punkt i rummet.

Denne modellering er sværere at tilpasse til særlig relativitet på grund af det faktum, at ændringerne af referencerammer ikke afhænger lineært af hastigheden, og det vedrører ikke generel relativitet, som ikke bruger euklidisk rum (undtagen tilnærmelser). I kvantefysik kan koordinaterne kun være de for en partikel ved at tage højde for usikkerhedsprincippet , og kræfterne skyldes udveksling af partikler.

Historie

Begrebet vektor er frugten af en lang historie, der begyndte for mere end to tusind år siden. To ideefamilier, der oprindeligt var forskellige, er oprindelsen til formaliseringen. En af dem er geometri , der beskæftiger sig med længder , vinkler og målinger af områder og volumener . Den anden svarer til algebra , der beskæftiger sig med tal , tilføjelse eller multiplikation og mere generelt sæt forsynet med operationer. Et gammelt algebra-problem kommer for eksempel fra egypterne til os og udtrykkes som følger: ”Vi skal dele 100 brød mellem ti mænd bestående af en navigatør, en formand og en vagt, hvor alle tre får en dobbelt andel. Hvad skal vi give til hver? " Disse to ideefamilier udviklede sig uafhængigt og til sidst konvergerede på begrebet vektor.

Oprindelsen til de to begreber

Den græske civilisation udvikler geometrien til et nyt niveau på dette tidspunkt. En af juvelerne er traktaten hedder det Elementer af Euclid , stammer fra det III th århundrede f.Kr.. AD . Den indeholder formaliseringen, meget streng for tiden, af en geometri, der stadig nu kaldes euklidisk . Vi finder der definitionerne af en lige linje , et plan eller vores fysiske rum i dimension tre, der tillader modellering af volumener. Egenskaberne for afstande , vinkler, målinger af overflader og voluminer undersøges. De grundlæggende sætninger, som dem, der kaldes Thales eller Pythagoras , gøres eksplicit og demonstreres.

Den Kina udvikler første algebraiske ideer bag vektorer . En gammel tekst, sandsynligvis stammer fra det jeg st århundrede f.Kr.. AD : de ni kapitler om matematisk kunst afsætter sin ottende del til den. Det kaldes Fang cheng eller Rectangular Arrangement og behandler et problem, der nu kaldes et system med lineære ligninger . Denne kultur stopper ikke der, Qin Jiushao ( 1202 - 1261 ) generaliserer denne undersøgelse til andre tal end heltal eller rationelle tal. Han bruger kongruenser og indvier en tilgang bestående af at definere vektorer på sæt af eksotiske tal. Det kan således løse problemer relateret til kalenderen og planeterne med meget høj præcision. Den anvendte metode vil blive kendt på det XIX th århundrede i Vesten, under navnet Gauss elimination . Dette resultat er tilstrækkeligt forbløffende for Ulrich Libbrecht (in) til at specificere, at: "Vi bør ikke undervurdere Qins revolutionære gennembrud, eftersom den kinesiske restsætning af Sun Zi , man går uden mellemled til en mere algoritme. Hævdede, at Gauss 'metode sig selv, og der er ikke den mindste indikation af en gradvis udvikling. "

Det geometriske aspekt går ikke tabt på kinesiske matematikere. Det sidste kapitel, Gou gu har et ækvivalent med sætningen Thales og Pythagoras.

Konvergens af algebra og geometri

Eksistensen af en sammenhæng mellem det, der nu kaldes algebra og geometri, er gammel. De babylonierne allerede vidste det algebraiske egenskab af diagonalen i et kvadrat med side af længde én , nemlig at dens kvadrat er lig med to . De vidste også, hvordan man beregner denne værdi med bemærkelsesværdig præcision. Dette link er også kendt for grækerne og kineserne.

Det var dog først ved den islamiske civilisation at observere betydelige fremskridt. Deres matematikere kendte grækernes arbejde, især de af eukliderne . De anvendte notationer antyder, at de også havde adgang til de første kinesiske matematikers arbejde. Den afgørende fremgang består i at forbinde koordinater med det geometriske plan . Omar Khayyam ( 1048 - 1131 ) søger løsninger på et rent algebraisk problem: at finde rødderne til en tredje grad polynom . Et koordinatsystem giver ham mulighed for at visualisere disse rødder som abscissas af skæringspunkterne mellem en parabel og en hyperbola .

Koordinatsystemet bruges i Europa. Ønsket om at mestre perspektiv skubbede italienske malere til at studere matematik. Filippo Brunelleschi ( 1377 - 1446 ) opdager perspektivlovene som følge af en central projektion . Disse resultater er formaliseret af Leon Battista Alberti ( 1404 - 1472 ) . Perspektivteoretikere har mange talenter. Så Piero ( mod 1412 - 1492 ) , forfatter til en afhandling om emnet, er en maler og matematiker. Giorgio Vasari ( 1511 - 1574 ) angiver om sine talenter som landmåler: "Han var ringere end nogen af sin tid og måske af alle tider".

Bidrag fra fysik

Fysik er den næste drivkraft bag konvergensen mellem geometri og algebra. I 1604 , Galileo Galilei ( 1564 - 1642 ) etablerede faldloven. Illustrationer af hans noter viser brugen af en markør. Optik er den gren, der fører til de mest betydningsfulde fremskridt. Pierre de Fermat ( 1601 - 1665 ) , der kendte Galileos skrifter, og René Descartes ( 1596 - 1650 ) skriver breve om dioptric (den måde lys reflekterer fra et spejl) og refraktion (afbøjning af en lysstråle, når den ændrer sig medium, for eksempel når de passerer fra luft til vand). De kommer til den konklusion, at et benchmark er en systematisk metode, der gør det muligt at forstå alle problemerne med euklidisk geometri. Disse resultater er registreret i en afhandling af Descartes. Han skrev i indledningen: "Hvordan aritmetisk beregning vedrører geometrioperationer". For Descartes betyder "aritmetisk beregning" nogenlunde det, der nu kaldes "algebra". Denne tilgang er især frugtbar for studiet af en spirende gren af matematik: analytisk geometri . Et eksempel er givet ved undersøgelsen af cycloiden . Denne kurve beskriver banen for et punkt på overfladen af et hjul, der bevæger sig uden at glide på vandret underlag.

Isaac Newton ( 1643 - 1727 ) udviklede analytisk geometri og brugte den i astronomi . Denne applikation er oprindelsen til brugen af udtrykket vektor. I 1704 angiver en engelsk teknisk ordbog:

”En linje trukket fra en planet, der bevæger sig rundt i et centrum eller fokus på en ellipse, til dette centrum eller dette fokus kaldes Vector af nogle forfattere af New Astronomy, fordi denne linje ser ud til at bære planeten rundt i centrum. "

Dette udtryk vises på fransk under pennen af Pierre-Simon de Laplace ( 1749 - 1827 ) i udtrykket strålevektor , igen i en astronomisk sammenhæng. Det kommer fra den latinske vektor, som i sig selv kommer fra verbet vehere, der betyder at transportere. For romerne, ordet vektor henvist til både passagerer og føreren af en båd eller vogn. De franske ord køretøj, bil, men også invective kommer fra den samme latinske rod. Dens oprindelse er ældre, den kommer fra indoeuropæisk * VAG eller * VAGH og betyder vogn.

Således XVII th århundrede , den geometriske og algebraisk kontekst vektor er til stede. På den anden side foreslås ingen formalisering, og udtrykket, hvis det bruges, angiver stadig en skalar mængde .

Formaliseringer

Den første formalisering af vektorer er resultatet af arbejdet for flere matematikere i første halvdel af det XIX th århundrede . Bernard Bolzano udgiver en elementær bog, der indeholder en aksiomatisk konstruktion af geometri svarende til Euklides, baseret på punkter, linjer og planer. Han tilføjer de algebraiske operationer af addition og multiplikation. Den projektive geometri , arvingen af arbejdet med udsigt til malere fra den italienske renæssance, førte til, at Jean-Victor Poncelet og Michel Chasles forfinet Bolzanos arbejde. August Ferdinand Möbius bringer sin sten til bygningen ved at udvikle det barycentriske koordinatsystem . Endelig er formaliseringen, der stadig undervises i dag, baseret på forestillingerne om bipoint og ligevægt , Giusto Bellavitis 'arbejde .

En anden vej er udforsket, rent algebraisk. William Rowan Hamilton bemærker, at de komplekse tal repræsenterer et euklidisk plan. Han tilbragte ti år af sit liv på at lede efter en ækvivalent i dimension tre og endte med at finde kroppen af kvaternioner , dimension fire i 1843 . Det foreslår to nye definitioner for ordene "vektor" og "skalar". En vektor er for ham et element i en delmængde af kvadranterne, af dimension tre. Han skriver :

”En vektor er derfor […] en slags naturlig triplet (foreslået af geometri): og derfor vil vi se, at kvaternioner tilbyder en simpel symbolsk repræsentation af enhver vektor i trinform ( ix + jy + kz ); hvilket bringer design og udtryk for en sådan vektor tilbage til formen så tæt som muligt på den, der opnås med kartesiske og rektangulære koordinater. "

I 1878, i Elements of dynamics, tog William Kingdon Clifford forestillingen om kvaternioner op ved at forenkle den. Især introducerer det skalarproduktet og krydsproduktet fra to vektorer. Denne tilgang gjorde det muligt at bruge vektorerne på en mere beregningsmæssig måde.

Denne anden vej, som for første gang giver en betydning analog med de moderne formaliseringer af begrebet vektor, bliver derefter afklaret og beriget. Det består nu i at definere en vektor som et element i et vektorrum.

Generaliseringer

Matematik

De lineære transformationer af et vektorrum til et andet er funktioner, der respekterer den eksterne addition og multiplikation. De tilføjer og multiplicerer skalar og har derfor egenskaber, der gør dem til vektorer. Det er det samme for matricerne i fast format, selvom de ikke er af typen kolonne: disse matricer danner altid et vektorrum.

De to foregående eksempler svarer til tilfælde, hvor strukturen er beriget med en intern multiplikation. Det bærer navnet algebra , dets elementer kaldes ofte vektorer og undertiden punkter. Eksempler er givet ved sæt polynomer med reelle koefficienter eller en Lie algebra .

I andre tilfælde er strukturen fattig. Et modul er en analog struktur, således at andre skalarer end nul ikke altid er inverterbare. Udtrykket vektor bruges alligevel stadig.

Fysisk

De love, der fastlægger bevægelserne for et punkt, gælder også i tilfælde af et solidt , beregningerne bliver ikke desto mindre mere komplekse . Hvis vektorerne forbliver allestedsnærværende, er kraftens anvendelsessted vigtig. Afhængigt af dets position roterer det faste stof ud over forskydningen af dets tyngdepunkt . For at tage højde for dette fænomen foreslås nye definitioner. En sammenkædet vektor eller markør er et par, der består af en vektor og et punkt kaldet applikationspunktet . Drejningen af det faste stof er konsekvensen af en fysisk størrelse kaldet moment . Det afhænger ikke af vektorens position på en given linje. Af denne grund er en glidende vektor et par, der består af en vektor og en affiniel linje. I denne sammenhæng, og for at undgå enhver tvetydighed, kaldes en vektor i den klassiske betydning af udtrykket en fri vektor .

For at tage højde for både rotation og bevægelse af tyngdepunktet anvendes et mere komplekst matematisk væsen. Den bærer navnet torsor . Det svarer til en seksdimensionel vektor, tre komponenter beskriver forskydningen af tyngdepunktet og de andre tre rotationen af det faste stof. Torsorer har også en særlig lov om sammensætning. Fysik bruger andre generaliseringer, man kan citere tensoren eller pseudovektoren .

Computer videnskab



Vektor billede	Rasterbillede

Datalogi bruger udtrykket vektor, både af geometriske og algebraiske grunde. Kodningen af et billede på en computerskærm bruger et valg af to teknikker: matrix og vektor . Den første bruger grafiske elementer defineret punkt for punkt. Hver pixel er knyttet til den tilsvarende mængde primære farver . Mens denne metode er økonomisk med hensyn til computerkraft, har forstørrelsen af billedet en konsekvens af en trappeeffekt .

En vektortegning er en repræsentation, der består af geometriske objekter (linjer, punkter, polygoner, kurver osv.) Med attributter af form, position, farve osv. I modsætning til den tidligere teknik er dette en dyrere metode med hensyn til computerkraft, men hvor trappeeffekten ikke findes.

Den repræsentation af data i datalogi , for hukommelse eller regnefunktioner, er baseret på byte arrays . Hvis en byte identificeres med en skalar, hvilket kan forstås, fordi to byte tilføjes og formere sig, svarer en sådan matrix til en familie af vektorkomponenter. Af denne grund kaldes en sådan matrix en vektor. I forlængelse heraf betegner udtrykket vektor også arrays, hvis komponenter er andre end tal, for eksempel markører eller andre computerstrukturer.

Noter og referencer

Lige linjer og planer i lektionsrummet Terminale af A. Turbergue.
Emil Artin , geometrisk algebra , Calmann-Lévy , kap. II.
I stedet for navnet "komponenter" bruger nogle også " koordinater ", men dette sidste udtryk forhindrer differentieringen mellem det unikke ved lokalisering af punkter , der er "faste" i en referenceramme , og aspektet "glidende" af vektor komponenter på grund af arten af ækvivalensklassen og mangfoldigheden af repræsentanter for hver vektor. Jf. Stella Baruk , ordbog over elementær matematik [ detaljer i udgaver ].
Jean og Pierre-Emmanuel Hladik Hladik, tensor calculus in physics , 3 e ed., Dunod, Paris, 1999, s. 16-17 .
Disse forskellige eksempler er i det væsentlige hentet fra gymnasiets matematikprogrammer BO nr . 4 2001 specialmatematik side 69 for terminalen og BO nr . 2 2001 specialmatematik side 34 for det andet.
Dette problem kommer fra Rhind Papyrus undersøgt af Sylvia Couchoud i hendes bog egyptiske matematik. Forskning i matematisk viden om farao-Egypten , Le Léopard d'Or-udgaver, 2004 ( ISBN 978-2-863-77118-1 )
(i) Joseph Needham , videnskab og civilisation i Kina: bind 3, matematik og himlenes og jordens videnskab , Cambridge University Press, 1959 ( ISBN 0521058015 ) .
(en) Jean-Claude Martzloff , "Chinese Mathematical Astronomy" i H. Selin og U. D'Ambrosio , Mathematics Across Cultures , Dordrecht, 2000, s. 373-407 , DOI : 10.1007 / 978-94-011-4301-1_18 .
(i) U. Libbrecht, kinesisk matematik i det trettende århundrede: Shu-shu Chiu-Chang af Ch'in Chiu-shao , Cambridge, Mass. MIT Press , 1973.
Oplysninger om de ni kapitler samt en version af denne tekst findes i Karine Chemla og Guo Shuchun , The Nine Chapters: The Mathematical Classic of Ancient China and its Commentaries [ detaljer i udgaven ] (denne bog indeholder en fransk oversættelse med detaljerede tilføjelser og en kommenteret udgave af den kinesiske tekst til bogen og dens kommentarer).
(i) R. Calinger, en kontekstuel History of Mathematics , Prentice Hall, New Jersey, 1999 ( ISBN 0-02318-2857 ) .
Al-Hajjaj ibn Yusuf ibn Matar oversætter Elementer til IX th århundrede (se (i) JL Berggren , episoder i Matematik af Medieval Islam , Springer, 2003 ( 1 st ed. 1986), pp. 70-71 og 100 ).
(in) K. Shemla "Ligheder mellem kinesiske og arabiske matematiske skrifter (I) rodekstrakt," Arabiske videnskaber og filosofi (in) , bind. 4, nr . 2, 1994 s. 207-266 .
(in) AR Amir-Moez, "A Paper of Omar Khayyám" Scripta Mathematica , bind. 26, 1963, s. 323-337 .
Giulio Carlo Argan og Rudolf Wittkower , Arkitektur og perspektiv på Brunelleschi og Alberti , Verdier , 2004 ( ISBN 2-86432-4210 ) .
(La) Leon Battista Alberti, De pictura , 1435.
Piero della Francesca, Fra perspektiv til maleri , toscansk oversættelse af De Prospectiva pingendi , introduktioner og noter. Med et forord af Hubert Damisch og et efterord af Daniel Arasse , Paris, In Medias Res, 1998.
(it) Giorgio Vasari, Le Vite de più eccellenti pittori, scultori e architettori (Livene af de bedste malere, billedhuggere og arkitekter) , 1550.
(it) Galileo Galilei, Discorsi e dimonstrazioni mathematiche intorno à due nuove scienze (en) , Elzevir , Leyden , 1638.
René Descartes, La Dioptrique , Holland, 1637 læst .
René Descartes, La Géométrie , Hollande, 1637, læs s. 1 .
(La) Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , S. Pepys, London, 1687.
(i) J. Simpson og E. Weiner, The Oxford English Dictionary : 20 Volume Set , Clarendon Press, Oxford, 1989 ( ISBN 0-300-08919-8 ) .
(i) John Harris , Lexicon Technicum (i) , London, 1704.
Pierre-Simon de Laplace, traktaten om himmelmekanik , Gauthier-Villars , 1799 og 1825 læses .
TLFI , etymologi af "vektor" .
(De) Bernard Bolzano, Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie , 1804 .
Jean-Victor Poncelet, afhandling om figurers projicerende egenskaber , 1822 , reed. Jacques Gabay, Paris, 1995.
Michel Chasles, historisk oversigt over oprindelsen og udviklingen af metoder i geometri , Hayez, Bruxelles, 1837 .
(Fra) August Ferdinand Möbius, Der barycentrische Calcül: ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie , Leipzig, 1827 .
(It) Giusto Bellavitis, "Saggio di applicazione di un nuovo metodo di geometria analitica", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto , bind. 5, 1835 , s. 244-259 .
(i) Thomas L. Hankins (de) , Sir William Rowan Hamilton , Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1980.
Gratis oversættelse af William Rowan Hamilton, Forelæsninger om Quaternions , 1853, Forelæsning 1, art. 17, s. 17 .
Webstedet Matematik for fysik og kemi produceret af Université en ligne giver et overblik over definitionerne i afsnittet.
Torsor - Et minimalt kursus Generaliseringer af begrebet vektor for fysik, af Yannick Remion, IUT Léonard-de-Vinci de Reims, 1995.
Forståelse af det digitale billede: vektor og bitmap ... på Cuk-webstedet, 2004.
Memory Vektorer har trukket (i) H. Abelson, GJ Sussman og J. Sussman Struktur og Fortolkning af computerprogrammer , 2 th udg., MIT Press , 1996 ( ISBN 0262011530 ) (bogen er tilgængelig på nettet . Det beskæftiger sig med teoretiske aspekter af programmering og vektorstrukturer til lagring af information).

Se også

eksterne links

(fr) Første kendte anvendelser af matematiske termer af J. Miller
(en) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "Abstrakte lineære rum" , i MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of St. Andrews ( læs online ).

Bibliografi

Historie

(en) Michael J. Crowe , A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System , Dover Publications Inc.,28. marts 2003( ISBN 978-0-486-67910-5 )
(en) Jean-Luc Dorier , " En generel oversigt over oprindelsen af vektorrumteori " , Historia mathematica , bind. 22, nr . 3,1995, s. 227–261 ( ISSN 0315-0860 , DOI 10.1006 / hmat.1995.1024 , læst online , adgang til 3. februar 2021 )
(en) JV Field, The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance , Oxford University Press , 1997 ( ISBN 0198523947 )Denne tekst viser, hvordan renæssancekunstnere producerede matematik, der ikke kun revolutionerede deres håndværk, men også bidrog til ren matematik .

Popularitetsbøger

F. Casiro, A. Deledicq, Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 ( ISBN 2-87694-040-X ) Denne tekst er et didaktisk arbejde med de grundlæggende geometri med nogle elementer, der vedrører historien.
R. Pouzergues, Les Hexamys , IREM de Nice, IremOuvrage, 1993 Opkaldsnummer: IM8974 Læs Denne lille bog på 89 sider præsenterer projektiv geometri. Den er tilgængelig på nettet.
D. Lehmann og Rudolf Bkouche , Initiation à la géometry , PUF, 1988, ( ISBN 2130401600 ) Denne geometri bog begynder simpelthen. Det dækker derefter brugen af mere sofistikerede værktøjer såsom kvadratiske former. Den indeholder et historisk tillæg.

Tekniske arbejder

Y. Sortais, Trekantens geometri. Løst øvelser , Hermann, 1997, ( ISBN 270561429X ) Denne bog er hovedsageligt beregnet til studerende fra andet til sidste år samt deres lærer. Det tilbyder øvelser om Thales 'sætning , ortogonal projektion , homotety , symmetri og rotation , barycentric calculus , det skalære produkt eller begrebet vinkel .
Y. Ladegaillerie, Geometri til CAPES i matematik , Ellipses Marketing, 2002 ( ISBN 2729811486 ) Denne bog behandler elementær geometri i CAPES-programmet. Den indeholder over 600 geometriske figurer og dækker euklidisk affin geometri samt elementær lineær algebra.
J. Perez, Fysisk Mekanik , Masson, 2007 ( ISBN 2225553416 ) Denne bog er et fysikskursus med brug af licensen, den dækker forestillingerne om torsor, bundet vektor, glidende og fri.
MB Karbo, Grafikken og Internettet , Kompetencemikrofon, nr . 26, 2002 ( ISBN 2912954959 ) Denne bog behandler både praktiske aspekter såsom styrken og svagheden ved forskellige teknikker, forskellige software og formater tilgængelige på markederne og teoretiske aspekter.