Aplanetisme

Den aplanatism er en egenskab af optiske systemer dioptriske , catoptric og katadioptriske stand, til et emne ligger vinkelret på den optiske akse , til dannelse af et billede vinkelret på den optiske akse. Mere præcist er et optisk system aplanatisk for et par punkter og  : PÅ{\ displaystyle A}PÅ′{\ displaystyle A '}

• hvis stigmatiske for et par konjugerede punkter og placeret på den optiske aksePÅ{\ displaystyle A}PÅ′{\ displaystyle A '}
• og hvis billedet af et punkt placeret i nærheden af og i det samme plan vinkelret på den optiske akse, dannes i det samme plan vinkelret på den optiske akse som  ;B′{\ displaystyle B '}B{\ displaystyle B}PÅ{\ displaystyle A}PÅ′{\ displaystyle A '}
• og hvis det er stigmatiske for paret af konjugerede punkter og .B{\ displaystyle B}B′{\ displaystyle B '}

Aplanatismen kan udtrykkes matematisk ved Abbe sinus-tilstanden  : der skal fuldføre et optisk system stigmatisk for at være aplanatisk. ikke⋅PÅB¯⋅synd⁡a=ikke′⋅PÅ′B′¯⋅synd⁡a′{\ displaystyle n \ cdot {\ overline {AB}} \ cdot \ sin \ alpha = n '\ cdot {\ overline {A'B'}} \ cdot \ sin \ alpha '}

Historisk

Udtrykket blev lånt fra aplanatism engelsk aplanatisk og har været brugt i hvert fald siden 1794. "  aplanatisk  " og "aplanatism" stammer fra den antikke græske άπλάνητος brugt siden jeg st  århundrede og betyder "der ikke vandre" "Hvem gør ikke bedrage" .

Den første matematiske tilgang til akromater blev udført i 1760 af Samuel Klingenstierna  : på det tidspunkt blev de kaldt aplanetiske linser.

Ernst Abbe kalder ethvert objekt uden sfærisk aberration aplanatisk.

Matematisk udtryk for aplanetisme

ikke{\ displaystyle n}og er brydningsindekserne opstrøms og nedstrøms for det optiske system. ikke′{\ displaystyle n '}

Det optiske system antages at være stigmatisk for paret af konjugerede punkter og . Som et resultat er den optiske sti konstant uanset strålen, der passerer gennem det optiske system. PÅ{\ displaystyle A}PÅ′{\ displaystyle A '} LPÅPÅ′{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {AA '}}

Ligeledes er det optiske system stigmatisk for paret af konjugerede punkter, og således at den optiske sti også er konstant. Derfor er forskellen konstant. B{\ displaystyle B}B′{\ displaystyle B '} LBB′{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {BB '}}LPÅPÅ′-LBB′{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {AA '} - {\ mathcal {L}} _ {BB'}}

Overvejer nu punktet i nærheden af og placeret i et plan vinkelret på den optiske akse, der passerer igennem . De to punkter er meget tæt på hinanden, vi tillader os selv at skrive, at de to stråler (kommer fra og fra ) på punktet kommer fra det samme punkt . og er vinklerne orienteret mellem den optiske akse og de respektive indfaldende og nye stråler. Forskellen i optiske stier kan derefter skrives: B{\ displaystyle B}PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}PÅ{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}jeg{\ displaystyle I}jeg′{\ displaystyle I '}a{\ displaystyle \ alpha}a′{\ displaystyle \ alpha '}

LPÅPÅ′-LBB′≃ikke⋅(PÅjeg-Bjeg)+ikke′⋅(jeg′PÅ′-jeg′B′){\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {AA '} - {\ mathcal {L}} _ {BB'} \ simeq n \ cdot ({AI} - {BI}) + n '\ cdot ({I 'A'} - {I'B '})}

Ved at foretage tilnærmelsen og  : PÅjeg≃Hjeg{\ displaystyle AI \ simeq HI}jeg′H′≃jeg′PÅ′{\ displaystyle I'H '\ simeq I'A'}

LPÅPÅ′-LBB′≃ikke⋅HB¯-ikke′⋅H′B′¯=ikke⋅PÅB¯⋅synd⁡a-ikke′⋅PÅ′B′¯⋅synd⁡a′{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {AA '} - {\ mathcal {L}} _ {BB'} \ simeq n \ cdot {\ overline {HB}} - n '\ cdot {\ overline {H 'B'}} = n \ cdot {\ overline {AB}} \ cdot \ sin \ alpha -n '\ cdot {\ overline {A'B'}} \ cdot \ sin \ alpha '}

Ved at studere det konkrete tilfælde kan vi skrive det og udlede det forhold, der kaldes Abbes sinusbetingelse  : a=0{\ displaystyle \ alpha = 0}LPÅPÅ′-LBB′=0{\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {AA '} - {\ mathcal {L}} _ {BB'} = 0}

ikke⋅PÅB¯⋅synd⁡a=ikke′⋅PÅ′B′¯⋅synd⁡a′{\ displaystyle n \ cdot {\ overline {AB}} \ cdot \ sin \ alpha = n '\ cdot {\ overline {A'B'}} \ cdot \ sin \ alpha '}

Ved hjælp af den tværgående forstørrelse kan vi også skrive denne relation i form: γt=PÅ′B′¯PÅB¯{\ displaystyle \ gamma _ {t} = {\ frac {\ overline {A'B '}} {\ overline {AB}}}}

synd⁡asynd⁡a′=ikke′ikke⋅γt{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ alpha '}} = {\ frac {n'} {n}} \ cdot \ gamma _ {t}}

En anden betingelse kan udledes heraf, Herschell-tilstanden , som bemærkes , vedrører objekterne udvidet på den optiske akse i forbindelse med den langsgående forstørrelse  ; er en uendelig minimal afvigelse af objektet og en uendelig afvigelse af billedet på den optiske akse. ikke⋅dx⋅synd⁡(θ/2)2=ikke′⋅dx′⋅synd⁡(θ′/2)2{\ displaystyle n \ cdot \ mathrm {d} x \ cdot \ sin {(\ theta / 2)} ^ {2} = n '\ cdot \ mathrm {d} x' \ cdot \ sin {(\ theta ^ { '} / 2)} ^ {2}}dx{\ displaystyle \ mathrm {d} x}dx′{\ displaystyle \ mathrm {d} x '}

På den ene side fører forholdet mellem Abbes bihuler til . På den anden side fører forholdet mellem Hershell til . Disse to forhold er kun kompatible til . De eneste tilfælde er midten af ​​det sfæriske spejl og det plane spejl, så vi har uforenelighed med forholdene til Abbe og Herschell generelt. synd⁡(a/2)synd⁡(a′/2)cos⁡(a/2)cos⁡(a′/2)=konstant{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha / 2)} {\ sin (\ alpha ^ {'} / 2)}} {\ frac {\ cos (\ alpha / 2)} {\ cos (\ alpha ^ {'} / 2)}} = {\ tekst {konstant}}}synd⁡(a/2)synd⁡(a′/2)=konstant{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha / 2)} {\ sin (\ alpha ^ {'} / 2)}} = {\ text {constant}}}|a|=|a′|{\ displaystyle | \ alpha | = | \ alpha '|}

Aplanetisme nærmede sig

Inden for rammerne af Gauss ' tilnærmelse siges stigmatisme at være omtrentlig: som en første tilnærmelse har hvert punktobjekt i et centreret system et stigmatisk konjugat. Gauss 'tilnærmelse tillader os at betragte aplanetisme som omtrentlig på samme måde.

Vi taler ofte om aplanatiske systemer, så snart den sfæriske aberration og / eller koma er rettet.

Ejendomme og særlige tilfælde

• De Weierstrass punkter er strengt Stigmatiseredes og aplanatisk, egenskaber, der anvendes i mikroskopobjektglas f.eks.
• Den plane spejl er strengt Stigmatiseredes og aplanatisk.
• De sfæriske dioptrier er aplanatiske for billedpunktet, og objektet flettes sammen med krumningens centrum.
• På samme måde er et sfærisk spejl aplanatisk for dets centrum og overfladepunkterne.
• Hvad angår et parabolsk spejl, kan det være stigmatisk for dets fokus, men det er ikke aplanatisk.
• I et aplanatisk system, i radiometri , bevares den geometriske udstrækning af en indgående stråle.

Noter og referencer

1. Balland 2007 , s.  122-126
2. Etymological Dictionary of Anglicisms and Americanisms on Google Books
3. Grundlæggende om objektivdesign på Google Bøger
4. http://paristech.institutoptique.fr/site.php?id=181&fileid=340
5. Optik i instrumenter (EGEM-traktaten) i Google Books
6. Geometriske billeder: afvigelser i Google Bøger
7. Optik i instrumenter (EGEM-traktaten) i Google Books
8. Optik i instrumenter (EGEM-traktaten) i Google Books
9. Optik i instrumenter (EGEM-traktaten) i Google Books

Se også

Bibliografi

• Bernard Balland , Geometrisk optik: Imaging og instrumenter , Lausanne, Presses polytechniques universitaire romandes,2007, 860  s. ( ISBN  978-2-88074-689-6 , varsel BNF n o  FRBNF41132231 , online præsentation )