Beriget kategori

En kategori beriget på en monoid kategori eller -kategori er en udvidelse af det matematiske begreb kategori , hvor morfismer i stedet for at danne en klasse eller et sæt uden struktur er elementer i . ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Motivering

Begrebet beriget kategori starter med iagttagelsen, at morfismer i mange situationer har en naturlig struktur af vektor eller topologisk rum . Kategorien skal være monoid for at kunne definere morfismernes sammensætning, kaldet i dette tilfælde hom-objekter i stedet for hom-sets. ${\ mathcal {M}}$

Definition

En kategori beriget med , hvor der er en monoid kategori , er dataene for følgende elementer: $\ matematisk C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathcal {M}}$

Et sæt objekter ; ${\ displaystyle \ mathrm {Obj} ({\ mathcal {C}})}$
For ethvert par objekter x , y , et objekt med kaldet hom-objekt og bemærket ; ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (x, y)$
For enhver triplet af objekter af , en morfisme i , sagt om sammensætning: $\ matematisk C$ ${\ mathcal {M}}$ ${\ mathrm {hom}} (b, c) \ otimes {\ mathrm {hom}} (a, b) \ to {\ mathrm {hom}} (a, c)$
For ethvert objekt a de , en såkaldt identitetsmorfisme, hvor $1$ er enheden af tensorproduktet i $\ matematisk C$ ${\ mathsf {id_ {a}}}: 1 \ til {\ mathrm {hom}} (a, a)$ ${\ mathcal {M}}$
Kommutative diagrammer svarende til sammensætningens associativitet og identitetsmorfismernes gode opførsel i denne sammensætning.

Eksempler

En kategori beriget med sætkategorien sæt er intet andet end en lokalt lille kategori (i den sædvanlige forstand) ;
En kategori beriget på Top- kategorien af topologiske rum er en topologisk kategori (en) ;
En kategori beriget på kategorien for enkle sæt er en kategori, der er simpelt beriget (i) :
En kategori beriget med kategorien Cat er en streng 2-kategori .

Referencer

(en) Max Kelly , Basic Concepts of Enriched Category Theory , vol. 64, Cambridge University Press, koll. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1982
(en) Saunders Mac Lane , kategorier for den arbejdende matematiker [ detalje af udgaven ]