Catalansk konstant
I matematik er den catalanske konstant , der bærer navnet på matematikeren Eugène Charles Catalan , det tal, der er defineret af:
K=β(2)=∑ikke=0∞(-1)ikke(2ikke+1)2≈0,915 965 594{\ displaystyle K = \ beta (2) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1) ^ {2}}} \ ca. 0 {,} 915 ~ 965 ~ 594}
hvor er Dirichlet beta-funktionen .
β{\ displaystyle \ beta}![\ beta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8)
Hans decimaler er angivet senere A006752 af OEIS .
Det vides ikke, om konstanten er rationel eller irrationel .
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Andre udtryk
Den catalanske konstant er også lig med:
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Integrerede udtryk
- jeg1=∫01arctan(u)udu{\ displaystyle I_ {1} = \ int _ {0} ^ {1} {\ arctan (u) \ over u} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {1} = \ int _ {0} ^ {1} {\ arctan (u) \ over u} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf711109ebcd390b7287869775298311da871a68)
- jeg2=12∫0π/2usynd(u)du{\ displaystyle I_ {2} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {u} {\ sin (u)}} \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {2} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {u} {\ sin (u)}} \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849a19334cde114e5b0a66c5e8f8da5fae85602c)
- jeg3=-∫01ln(u)1+u2du=∫1+∞ln(u)1+u2du{\ displaystyle I_ {3} = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln (u) \ over 1 + u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ ln (u) \ over 1 + u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {3} = - \ int _ {0} ^ {1} {\ ln (u) \ over 1 + u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ ln (u) \ over 1 + u ^ {2}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75cc41c184b52127da2c75affa09aca566b276ce)
- jeg4=-∫0π/4ln(tan(u))du=∫0π/4ln(koste(u))du=u↔2u14∫0π/2ln(1+cos(u)1-cos(u))du{\ displaystyle I_ {4} = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ ln (\ tan (u)) \, \ mathrm {d} u} = \ int _ {0} ^ { \ pi / 4} {\ ln (\ cot (u)) \, \ mathrm {d} u} {\ overset {u \ leftrightarrow 2u} {=}} {\ frac {1} {4}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ ln ({\ frac {1+ \ cos (u)} {1- \ cos (u)}}) \, \ mathrm {d} u}}
![{\ displaystyle I_ {4} = - \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ ln (\ tan (u)) \, \ mathrm {d} u} = \ int _ {0} ^ { \ pi / 4} {\ ln (\ cot (u)) \, \ mathrm {d} u} {\ overset {u \ leftrightarrow 2u} {=}} {\ frac {1} {4}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ ln ({\ frac {1+ \ cos (u)} {1- \ cos (u)}}) \, \ mathrm {d} u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e76c8b4827509be68625025fea310f9f5a25a20)
- jeg5=∫01∫01dxdy1+x2y2{\ displaystyle I_ {5} = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}}}
![{\ displaystyle I_ {5} = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16978d6771ee983050ea7e640bb84739f3eb26c)
- jeg6=∫01/2bueskinduu(1-u2)du{\ displaystyle I_ {6} = \ int _ {0} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} {\ arcsin u \ over {u (1-u ^ {2})}} \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {6} = \ int _ {0} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} {\ arcsin u \ over {u (1-u ^ {2})}} \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70ff312bd44902604c49978aa7a0c50cb6914ace)
- jeg7=∫0ln(1+2)arccos(shu)du=shu↔u∫01arccosu1+u2du{\ displaystyle I_ {7} = \ int _ {0} ^ {\ ln (1 + {\ sqrt {2}})} \ arccos {(\ operatorname {sh} u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ operatorname {sh} u \ leftrightarrow u} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arccos u} {\ sqrt {1 + u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {7} = \ int _ {0} ^ {\ ln (1 + {\ sqrt {2}})} \ arccos {(\ operatorname {sh} u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ operatorname {sh} u \ leftrightarrow u} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arccos u} {\ sqrt {1 + u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ede89a25ade89a6f2dd87d0e3c107dcc56de0c7b)
- jeg8=∫0π/2argsh(syndu)du=syndu↔u∫01argshu1-u2du{\ displaystyle I_ {8} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ operatorname {argsh} {(\ sin u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ sin u \ leftrightarrow u} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argsh} u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {8} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ operatorname {argsh} {(\ sin u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ sin u \ leftrightarrow u} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argsh} u} {\ sqrt {1-u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb763d4458f6064bf701c0a7d820ce5eb6776f3)
- jeg9=12∫0π/2argth(syndu)du=syndu↔u12∫01argthu1-u2du{\ displaystyle I_ {9} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ operatorname {argth} {(\ sin u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ sin u \ leftrightarrow u} {=}} {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {\ sqrt {1-u ^ {2} }}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {9} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ operatorname {argth} {(\ sin u)} \, \ mathrm {d} u {\ overset {\ sin u \ leftrightarrow u} {=}} {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {\ sqrt {1-u ^ {2} }}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/511327ead3d1aec75b1af0d4e67ee64276bdd63c)
- jeg10=∫0+∞arctan(e-u)du{\ displaystyle I_ {10} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ arctan (e ^ {- u}) \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {10} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ arctan (e ^ {- u}) \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259ffa69d7d06dc25d4d16118c1d1c75933fb0b3)
- jeg11=12∫0+∞uchudu{\ displaystyle I_ {11} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u} {\ operatorname {ch} u}} \, \ mathrm { af}
![{\ displaystyle I_ {11} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u} {\ operatorname {ch} u}} \, \ mathrm { af}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06979348fdcec7eee22ff6752a482a63670f763a)
-
jeg12=12∫01F(k)dk{\ displaystyle I_ {12} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {1} F (k) \, \ mathrm {d} k \ quad}
hvor er den komplette elliptiske integral af den første slagsF(k)=∫0π2dφ1-k2synd2φ{\ displaystyle \ quad F (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\, \ mathrm {d} \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}}![{\ displaystyle \ quad F (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\, \ mathrm {d} \ varphi} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a102934792d4de015e67a058fb0b411f08538a44)
-
jeg13=-12+∫01E(k)dk{\ displaystyle I_ {13} = - {1 \ over 2} + \ int _ {0} ^ {1} E (k) \, \ mathrm {d} k \ quad}
hvor er den komplette elliptiske integral af anden artE(k)=∫0π21-k2synd2φdφ{\ displaystyle \ quad E (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}} \ , \ mathrm {d} \ varphi}![{\ displaystyle \ quad E (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2} \ varphi}} \ , \ mathrm {d} \ varphi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbba2990fbf9c7b72f47d6a4e2f612be80b737fd)
- jeg14=14∫01∫01dxdy(x+y)(1-x)(1-y){\ displaystyle I_ {14} = {1 \ over 4} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y } {(x + y) {\ sqrt {(1-x) (1-y)}}}}
![{\ displaystyle I_ {14} = {1 \ over 4} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y } {(x + y) {\ sqrt {(1-x) (1-y)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d7149039b5f39a43ea2cbda8f69c2c3a018547)
- jeg15=∫1/21argthuu2u2-1du=u↔cosu∫0π/4tanuargth(cosu)cos2udu{\ displaystyle I_ {15} = \ int _ {1 / {\ sqrt {2}}} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {u {\ sqrt {2u ^ {2} -1 }}}} \, \ mathrm {d} u {\ overskud {u \ leftrightarrow \ cos u} {=}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ tan u \ operatorname { argth} (\ cos u)} {\ sqrt {\ cos 2u}}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {15} = \ int _ {1 / {\ sqrt {2}}} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {u {\ sqrt {2u ^ {2} -1 }}}} \, \ mathrm {d} u {\ overskud {u \ leftrightarrow \ cos u} {=}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ tan u \ operatorname { argth} (\ cos u)} {\ sqrt {\ cos 2u}}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/956af0fc3690bb5e092ec03dc74f122e8f665c0d)
- jeg16=∫01/2argthu(1-u2)1-2u2du=u↔syndu∫0π/4argth(syndu)cosucos2udu{\ displaystyle I_ {16} = \ int _ {0} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {{(1-u ^ {2})} { \ sqrt {1-2u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u {\ overskud {u \ leftrightarrow \ sin u} {=}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ operatorname {argth} (\ sin u)} {\ cos u {\ sqrt {\ cos 2u}}}} \, \ mathrm {d} u}
![{\ displaystyle I_ {16} = \ int _ {0} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {{(1-u ^ {2})} { \ sqrt {1-2u ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} u {\ overskud {u \ leftrightarrow \ sin u} {=}} \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ operatorname {argth} (\ sin u)} {\ cos u {\ sqrt {\ cos 2u}}}} \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06db28036e9c381c41bb94b588e7006bbe750939)
Demonstrationer af disse ligheder
Vi går fra til ved at udvikle os i hele serien;
jeg1{\ displaystyle I_ {1}}
K{\ displaystyle K}
arctan{\ displaystyle \ arctan}![{\ displaystyle \ arctan}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7b430086dd06a52623bbaa883d86baf9811554)
vi går fra til ved at stille ;
jeg1{\ displaystyle I_ {1}}
jeg2{\ displaystyle I_ {2}}
u=tanv2{\ displaystyle u = \ tan {v \ over 2}}![{\ displaystyle u = \ tan {v \ over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fab306498d2087bf63b91908a829ad16b67ee69)
vi går fra til ved at integrere med dele (differentiere og integrere ) og passagen mellem de to udtryk sker ved at skifte til ;
jeg1{\ displaystyle I_ {1}}
jeg3{\ displaystyle I_ {3}}
arctan{\ displaystyle \ arctan}
u↦1/u{\ displaystyle u \ mapsto 1 / u}
u{\ displaystyle u}
1/u{\ displaystyle 1 / u}![{\ displaystyle 1 / u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17afc6bd3fb0ce6d610204dee2a869a3ff007466)
vi går fra til ved at stille ;
jeg3{\ displaystyle I_ {3}}
jeg4{\ displaystyle I_ {4}}
u=tanv{\ displaystyle u = \ tan v}![{\ displaystyle u = \ tan v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b837d47bb6efb5e4fc6d314596ba187b413389)
vi går fra til ved at stille ;
jeg5{\ displaystyle I_ {5}}
jeg1{\ displaystyle I_ {1}}
x=uy{\ displaystyle x = {u \ over y}}![{\ displaystyle x = {u \ over y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f718f44129c1039c3a3408a7ddad53dd1251a8)
vi går fra til ved at stille ;
jeg6{\ displaystyle I_ {6}}
jeg2{\ displaystyle I_ {2}}
u=syndv2{\ displaystyle u = \ sin {v \ over 2}}![{\ displaystyle u = \ sin {v \ over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433ce74a616633ce63eebb0316bf2b3c2c60203)
vi går fra til ved at integrere med dele;
jeg7{\ displaystyle I_ {7}}
jeg8{\ displaystyle I_ {8}}![{\ displaystyle I_ {8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d364c2f1b16bff552410f9fc9e05a238600efde5)
demonstration af :
jeg8=jeg1{\ displaystyle I_ {8} = I_ {1}}![{\ displaystyle I_ {8} = I_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433a46d3742679991fbb9a46947358792e3740c)
argshx=∫0xdu1+u2=u=tx∫01xdt1+t2x2{\ displaystyle \ operatorname {argsh} x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ sqrt {1 + u ^ {2}}}} \, {\ overset {u = tx} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x \, \ mathrm {d} t} {\ sqrt {1 + t ^ {2} x ^ {2}} }} \,}
derfor jeg8=∫0π/2∫01syndu1+t2synd2udtdu=∫01∫0π/2syndudu1+t2synd2udt{\ displaystyle I_ {8} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ sin u} {\ sqrt {1 + t ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, \ mathrm {d} t \, \ mathrm {d} u = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin u \, \ mathrm {d} u} {\ sqrt {1 + t ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, \ mathrm {d} t}
guld derfor ;
∫0π/2syndu1+t2synd2udu=v=cosu∫01dv1+t2-t2v2=1tbueskindt1+t2=arctantt{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin u} {\ sqrt {1 + t ^ {2} \ sin ^ {2} u}}} \, \ mathrm { d} u {\ overset {v = \ cos u} {=}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ sqrt {1 + t ^ {2} - t ^ {2} v ^ {2}}}} = {1 \ over t} \ arcsin {t \ over {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} = {\ arctan {t} \ over t }}
jeg8=jeg1{\ displaystyle I_ {8} = I_ {1}}![{\ displaystyle I_ {8} = I_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433a46d3742679991fbb9a46947358792e3740c)
variant: lad os stille ; derefter som ovenfor, derfor ;
f(x)=∫0π/2argsh(xsyndu)du{\ displaystyle f (x) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ operatorname {argsh} {(x \ sin u)} \, \ mathrm {d} u}
f′(x)=∫0π/2syndu1+x2synd2udu=arctanxx{\ displaystyle f '(x) = \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {\ sin u} {\ sqrt {1 + x ^ {2} \ sin ^ {2} u}} } \, \ mathrm {d} u = {\ arctan x \ over x}}
jeg8=f(1)=∫01f′(x)dx=∫01arctan(x)xdx=jeg1{\ displaystyle I_ {8} = f (1) = \ int _ {0} ^ {1} f '(x) dx = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan (x)} {x}} \ mathrm {d} x = I_ {1}}![{\ displaystyle I_ {8} = f (1) = \ int _ {0} ^ {1} f '(x) dx = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan (x)} {x}} \ mathrm {d} x = I_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/819b65a953ef5515f9dda01b4ae15fc003e144f3)
demonstration af =jeg4{\ displaystyle I_ {4}}
jeg9{\ displaystyle I_ {9}}
∫0π/4ln(koste(u))du=12∫0π/2ln(koste(2u))du=12∫0π/2ln1+cosu1-cosudu=12∫0π/2argthcosudu=12∫0π/2argthsyndudu{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ ln (\ cot (u)) \, \ mathrm {d} u} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ { \ pi / 2} {\ ln (\ cot (2u)) \, \ mathrm {d} u} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ ln {\ sqrt {{1+ \ cos u} \ over {1- \ cos u}}} \, \ mathrm {d} u} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ operatorname {argth} \ cos u \, \ mathrm {d} u} = {1 \ over 2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ operatorname {argth} \ sin u \, \ mathrm { af}}
vi går fra til ved at stille ;
jeg10{\ displaystyle I_ {10}}
jeg2{\ displaystyle I_ {2}}
e-u=tanv2{\ displaystyle e ^ {- u} = \ tan {v \ over 2}}![{\ displaystyle e ^ {- u} = \ tan {v \ over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57d6518e5cab6b56ddaa46a16faa0202b23e0c9c)
vi går fra til ved at stille ;
jeg11{\ displaystyle I_ {11}}
jeg3{\ displaystyle I_ {3}}
u=lnv{\ displaystyle u = \ ln v}![{\ displaystyle u = \ ln v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8289a93e64fdc149cace72d1506d1ba0649d3b74)
vi går fra og til ved at vende tegnene på integration;
jeg12{\ displaystyle I_ {12}}
jeg13{\ displaystyle I_ {13}}
jeg2{\ displaystyle I_ {2}}![I_ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3506ae39df854f347365bae6f326ef4f565be5)
skift fra til :
jeg14{\ displaystyle I_ {14}}
jeg15{\ displaystyle I_ {15}}![{\ displaystyle I_ {15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb607389cfe2f64278eef78e2df95e9ee2649c2)
∫01dx(x+y)(1-x)(1-y)=[-2argth1-x1+y1-y2]01=2argth11+y1-y2{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x} {(x + y) {\ sqrt {(1-x) (1-y)}}}} = \ venstre [{\ frac {-2 \ operatorname {argth} {\ sqrt {1-x \ over {1 + y}}}} {\ sqrt {1-y ^ {2}}}} \ højre] _ {0 } ^ {1} = {\ frac {2 \ operatorname {argth} {\ sqrt {1 \ over {1 + y}}}} {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}}
derfor jeg14=14∫01∫01dxdy(x+y)(1-x)(1-y)=∫01argth11+y21-y2dy=u=1/1+y∫1/21argthuu2u2-1du=jeg15{\ displaystyle I_ {14} = {1 \ over 4} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x \ mathrm {d} y } {(x + y) {\ sqrt {(1-x) (1-y)}}}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} {\ sqrt {1 \ over {1 + y}}}} {2 {\ sqrt {1-y ^ {2}}}}} \ mathrm {d} y {\ overset {u = 1 / {\ sqrt {1 + y}} } {=}} \ int _ {1 / {\ sqrt {2}}} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {argth} u} {u {\ sqrt {2u ^ {2} -1}}} } \, \ mathrm {d} u = I_ {15}}
for og se Bradley-reference nedenfor, side 23 og 11.
jeg14{\ displaystyle I_ {14}}
jeg16{\ displaystyle I_ {16}}![{\ displaystyle I_ {16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8404c18e4d3ad5e01fb58fa4a0862d1b5ed4a47)
Seriel udvikling
Denne konstant kan også defineres ved hjælp af Clausen-funktionen :
K=Cl2(π2)=∑ikke=1∞synd(ikkeπ2)ikke2{\ displaystyle K = \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (n {\ frac {\ pi} {2}})} {n ^ {2}}}}
,
som giver os følgende formler:
-
-∫0π2ln(2syndu2)du{\ displaystyle - \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln {\ biggl (} 2 \ sin {u \ over 2} {\ biggr)} \, \ mathrm {d} u}
,
-
π2[1-ln(π2)+∑ikke=1∞ζ(2ikke)ikke(2ikke+1)(14)2ikke]{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} \ left [1- \ ln \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (2n)} {n (2n + 1)}} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {2n} \ right]}
,
-
π2[3-ln(15π32)-4ln(53)+∑ikke=1∞ζ(2ikke)-1ikke(2ikke+1)(14)2ikke]{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} \ venstre [3- \ ln \ venstre ({\ frac {15 \ pi} {32}} \ højre) -4 \ ln \ venstre ({\ frac { 5} {3}} \ right) + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {2n} \ right]}
.
Da billedet af 2 er ved funktionen beta, har vi derfor et link til polylogaritmen :
K{\ displaystyle K}
Li2(jeg)=-712π2+jegK{\ displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (i) = - {\ frac {7} {12}} \ pi ^ {2} + iK}
,
eller også:
K=ℑ(Li2(jeg)){\ displaystyle K = \ Im (\ operatorname {Li} _ {2} (i))}
.
brug
K vises i kombinatorik og i værdierne for funktionen polygamma anden rækkefølge, også kaldet trigammafunktion (in) :
ψ1(14)=π2+8K{\ displaystyle \ psi _ {1} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} + 8K}
,
ψ1(34)=π2-8K{\ displaystyle \ psi _ {1} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = \ pi ^ {2} -8K}
.
Simon Plouffe giver en uendelig familie af identiteter mellem trigammafunktionen og den catalanske konstant.
π2{\ displaystyle \ pi ^ {2}}![\ pi ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2197d9f1fe0e87e860af1b6db71b269e20683e)
K vises også i den hyperbolske sekantlov .
Serier konvergerer hurtigt
Følgende to formler konvergerer hurtigt til K og er derfor egnede til numerisk beregning:
K={\ displaystyle K = \,}
|
3∑ikke=0∞124ikke(-12(8ikke+2)2+122(8ikke+3)2-123(8ikke+5)2+123(8ikke+6)2-124(8ikke+7)2+12(8ikke+1)2)-{\ displaystyle 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {4n}}} \ left (- {\ frac {1} {2 (8n + 2) ^ { 2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {3} (8n + 5) ^ {2} }} + {\ frac {1} {2 ^ {3} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 7) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 (8n + 1) ^ {2}}} \ højre) -}
|
|
2∑ikke=0∞1212ikke(124(8ikke+2)2+126(8ikke+3)2-129(8ikke+5)2-1210(8ikke+6)2-1212(8ikke+7)2+123(8ikke+1)2){\ displaystyle 2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12n}}} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {4} (8n + 2 ) ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {6} (8n + 3) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {9} (8n + 5) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {10} (8n + 6) ^ {2}}} - {\ frac {1} {2 ^ {12} (8n + 7) ^ {2 }}} + {\ frac {1} {2 ^ {3} (8n + 1) ^ {2}}} \ højre)}
|
og
K=π8ln(3+2)+38∑ikke=0∞(ikke!)2(2ikke)!(2ikke+1)2{\ displaystyle K = {\ frac {\ pi} {8}} \ ln \ left ({\ sqrt {3}} + 2 \ right) + {\ frac {3} {8}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(n!) ^ {2}} {(2n)! (2n + 1) ^ {2}}}}
.
Teoretiske beregninger for en sådan serie er givet af Broadhurst.
Kendte decimaler
Antallet af kendte cifre i den catalanske konstant er steget dramatisk i løbet af de sidste årtier. Dette skyldes øget computerydelse og algoritmiske forbedringer.
Antallet af kendte cifre i den catalanske konstant
Dateret
|
Decimaler
|
Beregnet af
|
---|
2009 |
31.026.000.000 |
R. Shan og AJ Yee
|
Oktober 2006 |
5.000.000.000 |
Shigeru kondo |
2002 |
201.000.000 |
Xavier Gourdon og Pascal Sebah
|
2001 |
100.000 500 |
Xavier Gourdon og Pascal Sebah
|
4. januar 1998 |
12.500.000 |
Xavier Gourdon
|
1997 |
3.379.957 |
Patrick Demichel
|
1996 |
1,5 millioner |
Thomas Papanikolaou
|
29. september 1996 |
300.000 |
Thomas Papanikolaou
|
14. august 1996 |
100.000 |
Greg J. Fee og Simon Plouffe
|
1996 |
50.000 |
Greg J. Fee
|
1990 |
20.000 |
Greg J. Fee
|
1913 |
32 |
James wl glasur
|
1877 |
20 |
James wl glasur
|
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Catalan's constant " ( se listen over forfattere ) .
-
(i) DJ Broadhurst Polylogarithmic stiger, hypergeometriske serier og de ti milliontedel ciffer ζ (3) og ζ (5) , arXiv : math.CA/9803067 1998.
-
(i) konstanter og optegnelser over beregning på stedet for X. Gourdon og P. SEBAH.
-
(in) Værdi af catalansk konstant på stedet for Shigeru Kondo.
Se også
Bibliografi
- E. Catalansk, " Memory on the transformation of series, and on some definitive integrals: Extracted by the author ", CRAS , vol. 59,1864, s. 618-620 ( læs online )
- (en) Henri Cohen , Number Theory , vol. II: Analytiske og moderne værktøjer , New York, Springer,2000, 596 s. ( ISBN 978-0-387-49893-5 , læs online ) , s. 127
-
François Le Lionnais , de bemærkelsesværdige tal , Hermann, 1983 og derefter 1999 ( ISBN 2-7056-1407-9 )
- (en) HM Srivastava og Choi Junesang, serie associeret med Zeta og relaterede funktioner , KluwerAcademic,2001, 388 s. ( ISBN 978-0-7923-7054-3 , læs online ) , s. 30
- (en) DM Bradley, repræsentationer for catalansk konstant , KluwerAcademic,28. januar 2001( læs online )
Eksternt link
(da) Eric W. Weisstein , " Catalan's Constant " , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">