Lorenz kurve

Denne artikel er et udkast til økonomi .

Du kan dele din viden ved at forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingerne fra de tilsvarende projekter .

Den Lorenz-kurve er den grafiske gengivelse af funktion som i den del x af indehavere af en del af en mængde, associerer del y af den mængde afholdt. Det blev udviklet af Max O. Lorenz til en grafisk gengivelse af indkomstulighed .

Beskrivelse

Det kan let transponeres, især til distribution af statistiske data, såsom:

uligheder i fordelingen af et aktiv eller enhver anden formuefordeling .
status for distribution af klienter inden for en klientel.
status for et marked med opdeling af markedsandele.

En fortolkning af Lorenz-kurven kan laves ved hjælp af Gini-koefficienten , der er lig med forholdet mellem området A og det samlede areal af trekanten. Det er et mål for ulighed i distribution.

På andre områder ( maskinindlæring , statistik ) kaldes Lorenz- kurven CAP-kurven ( Kumulativ nøjagtighedsprofil ). Den adskiller sig fra ROC-kurven ( Receiver Operating Characteristic , anvendt i epidemiologi , signalbehandling , eksperimentel psykologi ) i den forstand, at sidstnævnte etablerer en sammenhæng mellem satsen for ægte positive som en funktion af satsen for falske positive, hvorimod kurven CAP giver hastigheden af sande positive som en funktion af hastigheden af prøver, der overvejes.

Eksempel

I tilfælde af analyse af husstandsindkomst, enten procentdelen eller antallet x af de mindst velhavende husstande, der har en bestemt andel i værdi eller som en procentdel af husstandens indkomst, andelen af husstande, klassificeret efter stigende individ indkomstordre, vises på x-aksen , og indkomstandelen på y-aksen .

Konklusioner draget af observationen af kurven:

I et samfund vil vi sige, at fordelingen af indkomst er perfekt egalitær, hvis alle husstande modtager den samme indkomst. Derefter modtager andelen x af de fattigste husstande en andel y = x af den samlede indkomst. En lige fordeling er derfor repræsenteret af den første halvdel i referencerammen (ligning y = x ). Denne linje kaldes linjen for perfekt lighed.
Omvendt vil vi tale om en fuldstændig ulige fordeling, hvis en husstand i det betragtede samfund monopoliserer den samlede (globale) indkomst. I dette tilfælde tager den tilknyttede funktion værdien y = 0 for alle x <100% og y = 100%, når x = 100%. Lorenz-kurven svarende til denne situation kaldes linjen for perfekt ulighed.

Formalisering

Den matematiske definition af Lorenz-kurven involverer indførelsen af kvantiler af fordelingsfunktionen for den undersøgte mængde. Ved at bemærke $X$ den observerede mængde (indkomst, formue osv.) Og $μ$ dens sandsynlighedslov (som kan være diskret , for eksempel i tilfælde hvor $X$ svarer til en virkelig målt prøve ), kan vi indstille $Q μ$ den tilknyttede kvantilfunktion (pseudo-invers af fordelingsfunktionen af $μ$ ). Lorenz-kurven er derefter funktionens repræsentative kurve:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rc | rcl} L _ {\ mu} &: & [0,1] & \ longrightarrow & [0,1] \\ && p & \ longmapsto & {\ frac {\ int _ {0} ^ {p} Q _ {\ mu} (u) \ mathrm {d \ ell} (u)} {\ int _ {0} ^ {1} Q _ {\ mu} (u) \ mathrm {d \ ell} (u)}} \ end {array}}}

de to integraler beregnes mod den empiriske målestok $d ℓ$ .

Integralet af nævneren er lig med forventningen om $X$ .

Eksternt link

(fr) Et teknisk ark på Lorenz-kurven, der inkluderer forskellige anvendelsesområder, herunder en Excel- fil, der tegner Lorenz-kurven og beregner Gini og variationskoefficienter.