Gaussisk krumning

Den Gaussiske krumning , undertiden også kaldet total krumning , af en parametreret overflade $X$ i $X ( P )$ er produktet af de vigtigste krumninger . Tilsvarende er den gaussiske krumning den afgørende faktor for endomorfismen Weingarten .

I mekanik er materialefladerne, hvis Gaussiske krumning ikke er nul, mere stive end dem, hvis Gaussiske krumning er nul, alt andet lige. I almindelige vendinger er skaller mere stive end plader . Faktisk indebærer en deformation af en skal en ændring af dens metriske , hvilket ikke er tilfældet ( i første rækkefølge ) for en plade eller mere generelt for en overflade uden Gaussisk krumning.

Klassifikation

Man klassificerer punkterne på en overflade i henhold til den Gaussiske krumning af overfladen på dette punkt.

Et punkt, hvor den gaussiske krumning er strengt positiv, siges at være elliptisk . Dette er punkterne i en ellipsoid , en to-lags hyperboloid eller en elliptisk paraboloid . De to vigtigste krumninger er af samme tegn. Hvis de desuden er ens, er punktet en navlestreng . Dette er punkterne i en kugle eller de to hjørner af en ellipsoid af revolution.
Et punkt, hvor den gaussiske krumning er nul, siges at være parabolsk . Mindst en af de største krumninger er nul der. Dette er tilfældet for punkterne i en cylinder eller en kegle , fordi krumningen langs en generatrix af cylinderen, der passerer gennem punktet, er nul. Dette er også tilfældet for enhver udviklingsbar overflade . Hvis de to hovedkurver er nul, er punktet en flad . I flyet er alle punkter lejligheder.
Et punkt, hvor den Gaussiske krumning er strengt negativ, siges at være hyperbolsk . På et sådant tidspunkt er de to hovedkurver med det modsatte tegn. Dette er tilfældet for alle punkterne i et hyperboloid eller et hyperbolisk paraboloid .

Beregning af Gaussisk krumning

Beregningen af den Gaussiske krumning kan være vanskelig. Det er forenklet afhængigt af den anvendte metode.

Brug af en indstilling

Antag, at området er givet ved en ligning $z = f ( x , y )$ , hvor $f$ er en klassefunktion . Lad os ved indeks betegne de variabler, som derivaterne beregnes med. Derefter er den gaussiske krumning ved parameteren $($ $x$ $,$ $y$ $)$ værd: ${\ mathcal {C}} ^ {2}$

{\ displaystyle K = {\ frac {f_ {xx} '' f_ {yy} '' - f_ {xy} '' ^ {2}} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y } '^ {2}) ^ {2}}}}

Demonstration

Det vil sige parametriseringen af overfladen, der formodes at være regelmæssig. En base af tangentplanet er givet af de to vektorer og . En vektor, der er normal til overfladen, gives af enhedsvektoren, der kolliderer med , nemlig: ${\ displaystyle (x, y) \ to M (x, y, z) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ f (x, y) \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_ {x} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_ {y} '\ end {pmatrix}}}$ ${\ vec {n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} \ wedge {\ frac {\ partial M} {\ partial y}}}$

{\ displaystyle {\ vec {n}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}}}} {\ begin {pmatrix } -f_ {x} '\\ - f_ {y}' \\ 1 \ end {pmatrix}}}

For at beregne krumningen bruger vi det faktum, at den er lig med determinanten for Weingartens endomorfisme, og at denne endomorfisme er den, der sender videre og videre . Vi kontrollerer derefter, at: ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {\ partial y}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial y}}}$

{\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial x}} = {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} \ left ((f_ {xx} '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} ' f_ {xy} '') {\ frac {\ partial M} {\ partial x}} + (f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' '- f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '') {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ right)}

Vi opnår et sammenligneligt resultat for ved at permuere indekserne $x$ og $y$ . ${\ displaystyle - {\ frac {\ partial {\ vec {n}}} {\ partial y}}}$

Weingarten-endomorfismen har derfor som matrix i basen : ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ partial M} {\ partial x}}, - {\ frac {\ partial M} {\ partial y}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {(1 + f_ {x} '^ {2} + f_ {y}' ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ start {pmatrix} f_ {xx } '' + f_ {y} '^ {2} f_ {xx}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '& f_ {xy}' '+ f_ {y}' ^ {2} f_ {xy} '' - f_ {y} 'f_ {x}' f_ {yy} '' \\ f_ {xy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {xy}' ' - f_ {x} 'f_ {y}' f_ {xx} '' & f_ {yy} '' + f_ {x} '^ {2} f_ {yy}' '- f_ {x}' f_ {y} 'f_ {xy}' '\ end {pmatrix}}}

Determinanten af denne matrix giver efter forenkling den annoncerede formel.

Brug af grundlæggende former

Lad være en overflade, der er parametreret ved hjælp af to parametre $u$ og $v$ , og lad $I = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 være$ den første grundlæggende form , $II = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2$ den anden grundlæggende form . Så er den gaussiske krumning værd:

{\ displaystyle K = {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}

Demonstration

Det vil sige en parameterisering af overfladen, der formodes at være regelmæssig. Et grundlag for tangentplanet er givet af og . Lad og være to vektorer af tangentplanet ved et punkt på overfladen, og lad X og Y være komponenterne i disse to vektorer i den foregående base. Den første grundlæggende form giver udtryk i denne base af det skalære produkt af de to vektorer: ${\ displaystyle (u, v) \ til M (u, v)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {du}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial M} {dv}}}$ $\ vec {x}$ ${\ vec {y}}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Den anden grundlæggende form er den kvadratiske form forbundet med den symmetriske endomorfisme af Weingarten $W$ , hvis to egenværdier er overfladens vigtigste krumninger på det betragtede punkt.

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y }

Derfor, hvis er en egenvektor af Weingartens endomorfisme med egenværdi $λ$ , har vi for alle : ${\ vec {y}}$ $\ vec {x}$

{\ displaystyle \ langle {\ vec {x}}, W ({\ vec {y}}) \ rangle = {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda \ langle {\ vec {x}}, {\ vec {y}} \ rangle = \ lambda {} ^ {t} X {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

Dette forhold er sandt for alt , vi har derfor: $\ vec {x}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} Y = \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} Y}

og derfor er matricen ikke-inverterbar, da den tillader kolonnen $Y, der$ ikke er nul , som et element i kernen. Dets determinant giver ligningen verificeret af de vigtigste krumninger, nemlig: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} - \ lambda {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} L- \ lambda E&M - \ lambda F \\ M- \ lambda F & N- \ lambda G \ end {pmatrix}}}$

{\ displaystyle (EG-F ^ {2}) \ lambda ^ {2} - (EN + GL-2MF) \ lambda + LN-M ^ {2} = 0}

Vi får produktet af de to rødder, som er ingen ringere end den ønskede gaussiske krumning. ${\ displaystyle {\ frac {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$

Beregning af indre krumning

De tidligere formler bruger det faktum, at overfladen er inkluderet i dimensionen 3. Imidlertid er den gaussiske krumning en iboende egenskab ved overfladen og afhænger kun af overfladens lokale metric (med andre ord på den første grundlæggende form ). Dette resultat er kendt under navnet Theorema egregium og illustreres for eksempel med Gauss-Bonnet-formlen . Det er derfor muligt kun at bestemme krumningen ud fra den lokale metric og derved åbne vejen for en mere generel beregning af krumning på Riemannian manifolds .

Riemanns normale koordinater

Vi bruger kartesiske koordinater, hvor vi er på Jorden. Andre steder er vi nødt til at bruge koordinater, der er roteret som en funktion af bredde og længdegrad. Derfor er Riemanns kontaktoplysninger kvalificerede som lokale. Riemann-koordinater er praktisk talt kartesiske koordinater i planet, der er tangent til Jorden og mere generelt til en buet overflade eller et rum.

I Gauss-koordinater (bruges traditionelt $μ$ og $ν i$ stedet for $x$ og $y$ ) skrives metricen:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

For at skifte til Riemann-koordinater skal vi diagonalisere den repræsentative matrix for metricen og derefter ændre skalaerne på koordinatakserne for at opnå en euklidisk metric:

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \,

Den gaussiske krumning er produktet af de primære krumninger $k x$ og $k y,$ og krumningen af en plan kurve er det andet derivat af ordinaten $z$ med hensyn til abscissen $x$ eller $y$ , vi har:

K = k _ {{x}} k _ {{y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z } {\ delvis y ^ {2}}}

Gaussisk krumning i Riemann-koordinater

Overveje en overflade i et punkt $O$ , koordinatoprindelse, og tangenten til fladen $O$ . Akserne vælges således, at $Oz$ er vinkelret på tangentplanet, og akserne $Ox$ og $Oy$ i tangentplanet falder sammen med overfladens hovedretninger . I nærheden af $O$ er $x-$ og $y-$ koordinaterne i tangentplanet meget tæt på Gauss-koordinaterne $u$ og $v$ på den buede overflade, så vi kun bruger de kartesiske koordinater $x$ og $y$ i tangentplanet og $z$ , dimension sammenlignet til tangentplanet. Overvej en buet overflade med ligning $z = z ( x , y ),$ og antag at den lokale metric er skrevet:

{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = g_ {xx} \, \ mathrm {d} x ^ {2} + g_ {yy} \ mathrm {d} y ^ {2}}

Derefter udtrykkes den gaussiske krumning som en funktion af det andet derivat af koefficienterne for denne metrik i form:

{\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g_ {xx}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ delvis ^ {2} g_ {åå}} {\ delvis x ^ {2}}} til højre) = - {\ frac {1} {2}} \ venstre (g_ {xx, åå} + g_ {åå, xx } \ ret)}

hvor kommaet indikerer en delvis afledning, som hjælper med at gøre ligningerne mere læselige. Den gaussiske krumning, som har dimensionen omvendt af kvadratet i en længde, bliver meget enkel i normale Riemann-koordinater ved at tilnærme overfladen ved hjælp af en paraboloid, hvis symmetriakser falder sammen med metrikkens hovedretninger. Det er derefter lig med overfladen Riemann tensor $R xyxy$ .

Demonstration

Differentialen for funktionen $z$ er:

{\ displaystyle dz = {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} dx + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} dy}

Metrikken for det tredimensionelle euklidiske rum er

{\ mathrm d} s ^ {2} = {\ mathrm d} x ^ {2} + {\ mathrm d} y ^ {2} \ + {\ mathrm d} z ^ {2} \,

Ved at erstatte $d z$ med dets ekspression ovenfor bliver metricen

{\ mathrm d} s ^ {2} = \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} x ^ {2} +2 {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left [1+ \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Den generiske formel for metriske overflader er:

{\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{xx}} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2g _ {{xy}} \, {\ mathrm d} x {\ mathrm d } y + g _ {{yy}} {\ mathrm d} y ^ {2}

hvor koefficienterne $g ij$ for metricen er dimensionsløse tal. Desuden er $g xy$ i dette tilfælde $g$ $xy$ $= 0$ . Vi beregner de anden derivater af henholdsvis $g xx$ og $g yy$ med hensyn til $y$ og $x$ :

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial x \ partial y ^ {2}}}

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right) ^ {2} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial y \ partial x ^ {2}}}

Lad os tilføje disse to ligninger:

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + \ venstre [{\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial x \ partial y ^ {2}}} + \ left ({\ frac {\ delvis ^ {2} z} {\ delvis x \ delvis y}} \ højre) ^ {2} + {\ frac {\ delvis z} {\ delvis y}} {\ frac {\ delvis ^ {3} z} {\ delvis y \ delvis x ^ {2}}} \ højre]

Lad os nu differentiere $g xy = 0$ , da metricen er diagonal ved antagelse:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {xy}} {\ partial x \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ partial x \ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} \ højre) = 0}

som giver ligningen:

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}} = - \ venstre [\ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} + {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial y ^ {2} \ partial x}} + {\ frac {\ partial z} {\ partial y}} {\ frac {\ partial ^ {3} z} {\ partial x ^ {2} \ partial y}} \ right]}

Højre side af dette udtryk i parentes, identisk med det forrige parentesudtryk, kan derfor erstattes. Hvorfra

{\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac 12} {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} \ right) ^ {2} - { \ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}}

I denne formel er der kun andre derivater af koefficienterne for metrisk og $z$ med hensyn til $x$ og $y$ i overensstemmelse med antagelsen om Riemann-koordinater. Lad os tilnærmelsesvis, på det betragtede punkt, overfladen med en paraboloid af hovedkurver $k x$ og $k y,$ hvis hovedplan er sammenfaldende med dem for den buede overflade:

z = {\ frac 12} \ left (k _ {{x}} x ^ {2} + k _ {{y}} y ^ {2} \ right)

Da der ikke er noget rektangeludtryk i dette udtryk, har vi det

{\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x \ partial y}} = 0

Koefficienterne $k x$ og $k y$ er de andet derivater af $z$ med hensyn til $x$ og $y$ og derfor krumning af parabolerne, skæringspunkter af paraboloid med dets hovedplaner. Da produktet $K = k x k {ind$

af de vigtigste krumninger er pr. definition den Gaussiske krumning, vi kan skrive:

{\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial x ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} z} {\ partial y ^ {2}}} = k_ {x} k_ {y} = K

Ved at bruge de to foregående forhold opnår man Gauss krumning i Riemanns koordinater:

K = - {\ frac 12} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{åå}}} {\ delvis x ^ {2}}} \ højre) = - {\ frac 12} \ venstre (g _ {{xx, åå}} + g _ {{åå, xx}} \ ret)

Gaussisk krumning i Gauss-koordinater

Når beregningen er kompliceret, vil vi nøjes med at give nogle praktiske formler. Den første svarer til en diagonal metrisk : ${\ displaystyle g_ {uu} \, \ mathrm {d} u ^ {2} + g_ {vv} \ mathrm {d} v ^ {2}}$

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g_ {uu} g_ {vv}}} \ left [- {\ frac {1} {2}} \ left (g_ {uu, vv} + g_ {vv, uu} \ højre) + {\ frac {g_ {uu, v} ^ {2}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, u} ^ {2}} {4g_ {vv}} } + {\ frac {g_ {uu, u} g_ {vv, u}} {4g_ {uu}}} + {\ frac {g_ {vv, v} g_ {uu, v}} {4g_ {vv}} } \ ret]}

Leibniz's notation erstattes af kommaer, der indikerer delvis afledning. Vi genkender de to første udtryk, der er identiske med udtrykket i Riemann-koordinaterne bortset fra multiplikationskoefficienten $g uu g vv$ , forskellig fra 1 i Gauss-koordinaterne.

Den $u$ og $v$ er de Gauss koordinater svarende for eksempel i tilfælde af kuglen til den sfæriske koordinater $θ$ og $φ$ .

Den Brioschi formel giver krumning og tensor Riemann $R uvuv$ i matrix form til en diagonal metric:

K = {\ frac {R _ {{uvuv}}} {g _ {{uu}} g _ {{vv}}}} = {\ frac {1} {g _ {{uu}} g _ {{ vv}}}} {\ begin {vmatrix} - {\ frac {g _ {{uu, vv}} + g _ {{vv, uu}}} {2}} + {\ frac {g _ {{uu , v}} ^ {2}} {4g _ {{uu}}}} + {\ frac {g _ {{vv, u}} ^ {2}} {4g _ {{vv}}}} og { \ frac {g _ {{uu, u}}} {2g _ {{uu}}}} og - {\ frac {g _ {{uu, v}}} {2g _ {{vv}}}}} \\ - {\ frac 12} g _ {{vv, u}} & 1 & \\ {\ frac 12} g _ {{vv, v}} && 1 \ end {vmatrix}}

eller ikke diagonalt:

K = {\ frac 1 {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ venstre [{\ begin {vmatrix} - {\ frac 12} E _ {{vv}} + F _ {{uv }} - {\ frac 12} G _ {{uu}} & {\ frac 12} E_ {u} & F_ {u} - {\ frac 12} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac 12} G_ {u} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac 12} E_ {v} & {\ frac 12} G_ {u} \\ {\ frac 12} E_ {v} & E & F \\ {\ frac 12} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right]

hvor $E = g uu , G = g vv , F = g uv$ (Gauss notation). Indekserne repræsenterer et enkelt eller dobbelt partielt derivat med hensyn til Gauss-koordinaterne $u$ og $v$ svarende til det foregående $x$ og $y$ .

Anvendelse på sfæren

Gaussisk krumning af sfæren i Riemann-koordinater

Ligningen af en sfære med radius $R$ i kartesiske koordinater i det tredimensionelle euklidiske rum er

x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}

For at konkaviteten skal være positiv, skal vi tage den negative rod for $z$ :

z (x, y) = - {\ sqrt {R ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}}}

Lad os udvikle det i serie på Sydpolen i nærheden af $x = y = 0$ , det vil sige i Riemann-koordinaterne:

z (x, y) = - R + {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {2R}}

Derfor ved differentiering:

{\ mathrm d} z ^ {2} = \ left ({\ frac {x \, {\ mathrm d} x + y \, {\ mathrm d} y} {R}} \ right) ^ {2} = {\ frac {x ^ {2} \, {\ mathrm d} x ^ {2} + 2xy \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + y ^ {2} \, {\ mathrm d} y ^ {2}} {R ^ {2}}}

Metricen af tredimensionelt euklidisk rum

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \, {\ mathrm d} y ^ {2} \ + \, {\ mathrm d} z ^ { 2}

bliver til et paraboloid af revolution, der tilnærmer sig sfæren:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \ left (1 + {\ frac {x ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right) \, {\ mathrm d} x ^ {2 } +2 {\ frac {xy} {R ^ {2}}} \, {\ mathrm d} x \, {\ mathrm d} y + \ left (1 + {\ frac {y ^ {2}} { R ^ {2}}} \ højre) \, {\ mathrm d} y ^ {2}

Tættere på sydpolen, hvor $x \approx y \approx 0$ , metricen er euklidisk ved at eliminere anden ordens termer. For at sætte det i Riemann-koordinater er det nødvendigt at diagonalisere det. Det er lettere at bruge de sfæriske koordinater, der giver en diagonal metrisk. For at være i Riemann-koordinater diagonaliserer vi metricen, som bliver:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = \, {\ mathrm d} x ^ {2} + \ left [1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}} \ right] \, {\ mathrm d} y ^ {2}

hvor $K = k x k y$ er den gaussiske krumning. Vi finder den euklidiske metrik i $O,$ hvor $x$ og $y$ er nul. I dette udtryk har vi $g xx = 1, g xy = 0$ og

g _ {{yy}} = 1 - {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {R ^ {2}}}

K = - {\ frac 12} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} g _ {{xx}}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} g_ {{yy}}} {\ partial x ^ {2}}} \ right) = - {\ frac 12} \ left (0 - {\ frac {2} {R ^ {2}}} \ right) = {\ frac {1} {R ^ {2}}}

Vi finder den Gaussiske krumning af sfæren, lig med Riemann tensor $R uvuv,$ men kun i Riemann-koordinater.

Gaussisk krumning af sfæren i Gauss-koordinater

Overvej en lille elementær rektangel på kuglen med radius $R$ . Lad $θ være$ den colatitude og $ep$ længdegraden. Dens diagonale ds er i kraft af Pythagoras sætning:

{\ mathrm d} s ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Kuglens metric er diagonal uden et rektangeludtryk:

\, {\ mathrm d} s ^ {2} = g _ {{\ theta \ theta}} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + g _ {{\ phi \ phi}} \, { \ mathrm d} \ phi ^ {2} = R ^ {2} \, {\ mathrm d} \ theta ^ {2} + R ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) \, {\ mathrm d} \ phi ^ {2}

Den generelle formel for den Gaussiske krumning i Gauss koordinerer for en diagonal metrisk:

{\ displaystyle K = {\ frac {1} {g _ {\ theta \ theta} g _ {\ phi \ phi}}} venstre [- {\ frac {1} {2}} \ venstre (g _ { \ theta \ theta, \ phi \ phi} + g _ {\ phi \ phi, \ theta \ theta} \ højre) + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ phi} ^ {2}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ theta} ^ {2}} {4g _ {\ phi \ phi}}} + {\ frac {g _ {\ theta \ theta, \ theta} g_ {\ phi \ phi, \ theta}} {4g _ {\ theta \ theta}}} + {\ frac {g _ {\ phi \ phi, \ phi} g _ {\ theta \ theta, \ phi}} {4g _ {\ phi \ phi}}} højre {}

er forenklet på sfæren ved at eliminere nulbetingelserne:

K = {\ frac {1} {g _ {{\ theta \ theta}} g _ {{\ phi \ phi}}} \ venstre [- {\ frac 12} \ venstre (0 + g _ {{\ phi \ phi, \ theta \ theta}} højre) +0 + {\ frac {g _ {{\ phi \ phi _ {,} \ theta}} ^ {2}} {4g _ {{\ phi \ phi }}}} + 0 + 0 \ højre]

derefter ved at forklare koefficienterne for metricen:

K = {\ frac {1} {R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta}} \ left [- {\ frac 12} \ times 2R ^ {2} (\ sin \ theta \ cos \ theta) _ {{, \ theta}} + {\ frac {4R ^ {4} \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {4R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} } \ ret]

og endelig i:

K = {\ frac {1} {R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ venstre [- \ venstre (\ cos ^ {2} \ theta - \ sin ^ {2} \ theta \ højre ) + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta} {\ sin ^ {2} \ theta}} \ right] = {\ frac {1} {R ^ {2} }}

Sfærens Riemann-tensor er

{\ displaystyle R _ {\ theta \ phi \ theta \ phi} = R ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}

Referencer

J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematik kursus, t. 3, geometri og kinematik , 2 nd ed., Dunod University (1977), s. 493, 509
(i) DJ Struik, foredrag om klassisk Differentialgeometri , Dover, 1988.
Bernard Schaeffer, relativities og kvanter afklaret , Publibook, 2007.
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematik kursus, t. 3, geometri og kinematik , 2 nd ed., Dunod University (1977), s. 511 .
J. Lelong-Ferrand, J.-M. Arnaudiès, matematik naturligvis T.3, geometri og kinematik , 2 nd ed., Dunod University (1977), s. 509.
(i) Kevin Brown, Overvejelser om Relativity , § 5.7: Riemannian geometri .
(i) Erwin Kreyszig , differential geometri , Dover, 1991.
Michèle Audin , Geometri , EDP Sciences ,2006, 3 e ed. , 428 s. ( ISBN 978-2-7598-0180-0 , læs online ).

Se også