Maltesisk kors (mekanisme)

Det maltesiske kors er en mekanisk enhed, der omdanner en kontinuerlig rotationsbevægelse til en rykkende rotation. Dets navn stammer fra dets lighed med det maltesiske kors (✠, symbol på St. Johannes-ordenen af Jerusalem eller Maltas suveræne orden ) men med cirkulære sider. På engelsk og spansk tager denne mekanisme sit navn fra byen Genève ( Genève-drev , Rueda de Ginebra ) - men på engelsk bruges også udtrykket maltesisk kors .

Den mekaniske enhed består af en kam, der drives af en "tilhænger", der tillader indeksering .

Historisk

Opfinderen Jules Carpentier i Frankrig, der arbejdede sammen med brødrene Lumière , og Oskar Messter , en af pionererne inden for tysk biograf, patenterede maltesiske cross-enheder allerede i 1896. Men det er det maltesiske kors til fire grene af Pierre-Victor Continsouza som dengang var den mest anvendte i filmfremskrivningsenheder.

Anvendelser

Det bruges især til filmfilm (ikke-digital) i projektorer og sjældent i kameraer til filmens fremskridt: Filmen skal stoppe ved hvert billede foran lukkeren (optagelse) eller foran lampen (projektion).

Denne mekanisme findes i mekaniske tællere (bilkilometer, vand- eller gasforbrug osv.), Hvor det garanterer justering af figurerne og deres vipning ved hver tilbageholdelse. Det bruges også i maskiner, der implementerer en produktoverførsel med behov for en ventetid, når den introduceres (hvilket forbindelsesstang-krumtapsystem ikke tillader). For eksempel findes det ved bunden af bevægelser, der anvendes på emballeringsmaskiner: Produkterne introduceres i en fødevarebutik i henhold til en foruddefineret mængde (stopfase) og pakkes derefter ind under overførselsbevægelsen (fase i bevægelse).

Operation

Driften af den maltesiske krydsmekanisme er som følger: en cylinder, kaldet et krumtap eller drivhjul, roterer kontinuerligt med en regelmæssig hastighed og bærer en finger. Fingeren kommer ind i en rille i det maltesiske kors (det drevne hjul), hvilket får den til at rotere 1 / n omdrejning, hvor n er antallet af riller i korset ( n = 4 i figuren modsat, 6 i l animation ovenfor).

Derefter kommer fingeren ud af rillen, motorcylinderen fortsætter sin kurs, mens det maltesiske kors forbliver ubevægeligt. Den centrale cylinder, delvis udhulet, supplerer afrundingen af det maltesiske kors; dette tjener til at stabilisere enhedens position, når fingeren ikke er i indgreb i en rille.

Antallet af riller kan have ens eller ulige værdier, normalt mellem 4 og 10.

Varianter

Internt maltesisk kors.
Drift af et internt maltesisk kors.
Sfærisk maltesisk kors.

Der er to varianter: det indre maltesiske kors og det sfæriske maltesiske kryds, "i tulipan" (system med samtidige akser).

I tilfælde af det indre maltesiske kryds er motorakslen (der bærer drivhjulet) monteret på en udkraget aksel ( udkraget , den holdes kun på den ene side). Akslen er derfor mere følsom over for bøjning, hvilket kan være et problem, hvis belastningen er tung.

Derudover er køretiden større end en halv periode: det tager mere end en halv omdrejning af drivhjulet for at få det drevne hjul til at dreje et trin. Træningens varighed (motortid) er derfor større end hviletiden i modsætning til et eksternt maltesisk kors. Derfor er den maksimale acceleration lavere, men præsenterer stadig diskontinuiteter i starten og slutningen af bevægelse.

I tilfælde af det sfæriske maltesiske kors skal træet også være udkraget. Træningstiden er en halv periode; træningens varighed er lig med hviletiden.

Hyldest

Nogle filmskabere har hyldet denne mekanisme, der er grundlæggende for optagelse og projektion på film:

Wim Wenders , i The American Friend (1977): et barn, søn af Jonathan og Marianne Zimmermann, leger med et træ maltesisk kors; og i Au fil du temps (1976) “ville biografen ikke eksistere uden denne opfindelse” ifølge Bruno Winter, hovedpersonen, projektorreparatør.
Martin Scorsese i Hugo Cabret (2011): Når Georges Méliès afslutter sin automat, er det sidste stykke, han sætter på plads, et maltesisk kryds.

Det maltesiske kors var logoet for Cinemeccanica (it) projektormærket . Det nuværende logo såvel som logoet for dets CineCloud-mærke er et stiliseret maltesisk kryds (se logoet på den officielle side ).

Mekanisk undersøgelse

Geometriske begrænsninger

Det kritiske punkt i drift er, når fingeren kommer ind i rillen. Dette pålægger et forhold mellem krumtapens R radius, det vil sige afstanden mellem fingerens centrum og centrum af drivhjulet, der understøtter det, og centerafstanden E, det vil sige afstanden mellem centrum på drivhjulet og midten af det maltesiske kors. For at der ikke er stød, skal hastighedsvektoren være i rillenes akse.

Vi kalder α halvdelen af det drejede hjuls rotationsvinkel pr. Omdrejning af drivhjulet

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

i radianer

lad $α = π / 4 = 45 °$ for fire riller, og $α = π / 6 = 30 °$ for seks riller. Vi har derefter følgende forbindelser mellem centerafstanden E, radius af den drivende hjul R 1 og radius af det drevne hjul R 2 :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha}

Mellem 0 og $π / 4$ (0 og 90 °) øges sinusfunktionen, og cosinusfunktionen falder i α. Vi udlede, at for en given centerafstand, jo flere riller, vi har (jo større n er), jo mindre α er derfor den mindre R 1 og den større R 2 .

Demonstration

Lad os repræsentere systemet, når fingeren kommer ind i rillen. Vi placerer linjen, der forbinder midten af hjulene med den vandrette. Rillen danner derfor en vinkel α med den vandrette. Hastighedsvektoren er vinkelret på banen; som fingeren beskriver en cirkel, er linjen, der bærer hastighedsvektoren derfor tangent til cirklen, det vil sige vinkelret på radius på dette punkt. Vi har derfor en retvinklet trekant af hypotenusen E, hvor en af vinklerne er $π / n$ og hvis side modsat vinklen har længde R 1 . Så vi har:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

Radien af cirklen, der er afgrænset til det maltesiske kors, er også længden af den tilstødende side af den højre trekant, dvs.

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alpha.}

Derudover skal rillenes nominelle bredde være lig med fingerens nominelle diameter 2 r : mindre, fingeren kunne ikke komme ind, for stor, der ville være et chok. I praksis er der et spil: rillen skal være lidt bredere end fingeren for at tillade bevægelse. Vi kan bruge en såkaldt "glidende uden spil" -justering eller mere præcist "præcis styring", betegnet H7 / g6, for at begrænse stødene, men det er dyrt at opnå.

Enderne af grenene skal have en bredde, der ikke er nul. Det er faktisk nødvendigt at pålægge en minimumsbredde e 1 , som afhænger af den ønskede modstand. Dette pålægger startspærecylinderen en maksimal radius. Derudover skal kontakten være effektiv, der er derfor en minimumsradius, nemlig:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ right) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

dimensionen e 1 er tykkelsen, som man ønsker at holde i slutningen af grenen for at have tilstrækkelig styrke.

Demonstration

Vi har nominelle odds (forudsat nul clearance):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

På grund af den nødvendige godkendelse er det faktisk nødvendigt

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

forskellen (R 1 - r - e 1 ) - R 3 er spillet.

Kontakten skal være effektiv, så vi har også nødvendigvis:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ left ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ right) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Mindstelængden af rillen L opnås ved at overveje den position, som fingeren er mest indgrebet med. Vi har derefter ved at orientere længderne til venstre:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ venstre (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ højre) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

Den maksimale længde er, at man efterlader nok materiale til det maltesiske kors til at modstå stress. Hvis vi kalder r a radiusen af skaftet på det maltesiske kryds og e 2 den mindste materialetykkelse, vi ønsker, så har vi:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinematisk undersøgelse

Det antages, at drivhjulet (krumtap) roterer med en konstant vinkelhastighed ω (ensartet rotationsbevægelse). Figuren modsat repræsenterer mekanismen i drift. Hvis vi bemærker som før

n antallet af riller i det maltesiske kryds (drevet hjul)
α = 2π / n vinklen mellem to riller

og at vi introducerer rapporten

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

så bemærker vi, at:

den maksimale vinkelhastighed af det drevne hjul er ;
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}$
den maksimale vinkelacceleration er værd, afhængigt af antallet af riller:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: α 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
den indledende og afsluttende vinkelacceleration ikke er nul, hvilket betyder, at det drevne hjul udsættes for stød uendelig kantede ( diracs ) i praksis begrænset af elasticitet og friktionen i systemet.

Disse jerk toppe udgør ikke et problem, så længe man forbliver i lave hastigheder og inertier. På den anden side bliver de uoverkommelige for systemer med høj hastighed og høj belastning.

Demonstration

Vi kalder indgangsvinkel, og vi betegner med θ e den vinkel, der er lavet af strålen, der passerer gennem fingeren med x- aksen , og som karakteriserer drivhjulets retning. Vi kalder udgangsvinkel, og vi betegner med θ s , vinklen, der er lavet af aksen i en rille i forhold til x- aksen , og som karakteriserer orienteringen af det drevne hjul.

Undersøgelse af intermittency

Indgangsvinklen θ e ændrer ensartet

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

vinkelhastigheden ω er negativ på tegningen. Indgangsvinklen skrives derfor hver times ligning

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

hvor $φ$ er vinklen ved t = 0, valgt vilkårligt. For den grafiske gengivelse vælger vi $φ,$ så fingeren kommer ind i rillen ved t = 0, dvs.

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

Træningsvarigheden $τ$ svarer til en rotation af drivhjulet fra en vinkel $φ$ til den symmetriske vinkel - $φ$ , dvs.

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alpha - \ pi.}

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

Den samlede periode er lig $T = -2π / ω$ , så træningsfasen er en brøkdel af den samlede periode værd

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Efterfølgende for enkelheds skyld bestemmer vi os som en funktion af rather e snarere end t .

Undersøgelse af vinkelforhold

Indgangsvinklen er relateret til udgangsvinklen ved, at de to højre trekanter har samme modsatte side h :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Det har vi også

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ gange {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operatorname {arctan} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ højre)}

Bevægelseslove

Lad os indledningsvis beregne følgende derivater:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

og på samme måde

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

Det drejede hjuls vinkelhastighed opnås ved bypass. Lad os igen tage udtrykket for tan θ s . Hvis vi udleder venstre lemmer, har vi det

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ ret)}

og ved at udlede højre side:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} højre) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

Ved at skrive lighed mellem de to medlemmer får vi det

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Ved at udlede bestemmer man vinkelacceleration:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Vi bemærker, at denne acceleration forsvinder for θ e = 0, så hastigheden er maksimal på dette tidspunkt, og

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}

Ved oprindelsen har vi θ e = φ og derfor

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

der er derfor et uendeligt ryk ved oprindelsen. Ved symmetri er der et uendeligt ryk i slutningen af bevægelsen.

Ved at udlede accelerationen får vi rykket under bevægelse:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ venstre (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ højre) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {aligned}}}

Accelerationen er maksimal, når rykket annulleres, hvilket svarer til at løse:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

det vil sige ved at indstille x = cos θ e

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

hvilket er en kvadratisk ligning af strengt positiv diskriminerende

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Ligningen indrømmer derfor to reelle løsninger

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Vi opnår for nogle værdier på n :

ikke	k	x 1	x 2	θ e	Acc. maks.
4	√2	0,980	1.33	-0.200 rad (-11,5 °)	3,82 × ω 2
6	2	0,921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8	2.61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31.6 °)	0,268 × ω 2

Digital applikation

Overvej en biografprojektor med et maltesisk kryds med fire spor. Så vi har:

et drivhjul med rotationsfrekvensen N = 24 Hz (24 billeder pr. sekund) eller ω = 2π N ≃ 151 rad / s ;
et forhold på $k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ ;

også

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 rpm ;
α 0 ≃ 8,69 × 104 rad / s 2 .

Noter og referencer

" Maltese Cross " , på projector.mip.free.fr (adgang 30. juni 2016 )

Se også

Bibliografi

(en) John H. Bickford , Mekanismer til periodisk bevægelse , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 s. ( ISBN 0-8311-1091-0 , læs online ) , kap. 9 (“Genève-mekanismer”) , s. 127-138

Relaterede artikler

eksterne links

Det maltesiske kors på stedet for University of Nantes ( Java kid animation )
Det maltesiske kors : websted, der relaterer til begyndelsen af filmhistorien set gennem periodebøger