Af kuglen og cylinderen

Of the Sphere and the Cylinder (ca. 225 f.Kr.) er et værk skrevet af Archimedes i to bind. I denne afhandling er han den første til at beskrive, hvordan man beregner arealet og volumenet af en kugle , og arealet og volumenet af en cylinder .

Indhold

I denne afhandling viser Archimedes, at arealet af en cylinder er:

{\ displaystyle A_ {C} = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh = 2 \ pi r (r + h). \,}

og at dens volumen er:

{\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} h.}

Han viser også, at arealet af en kugle er lig med fire gange arealet af disken afgrænset af dens store cirkel , det vil sige i moderne matematik, at området for en kugle er:

{\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}. \,}

Det viser, at boldens volumen er lig med to tredjedele af volumenet af omdrejningscylinderen, der er afgrænset til den sfære, der grænser op til den. Kuglens volumen er derfor lig med:

{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

For at finde denne formel brugte Archimedes halvdelen af en polygon indskrevet i en halvcirkel; derefter drejede han disse to figurer for at få et sæt kufferter i en kugle. Det er dette sæt kufferter, der giver ham mulighed for at bestemme lydstyrken. Denne metode er blevet forenklet af moderne matematik ved hjælp af begrebet grænser , en forestilling, der ikke eksisterede på Archimedes 'tid.

Archimedes er så stolt af dette sidste resultat, at han beder om, at tegningen af en kugle indskrevet i en cylinder indgraveres på hans grav. Den romerske filosof Marcus Tullius Cicero opdager flere år efter graven, som er blevet tilgroet.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " On the Sphere and Cylinder " ( se forfatterlisten ) .

(i) William Dunham , rejse gennem Genius: de store teoremer for matematik , New York, John Wiley & Sons ,1990, 1 st ed. , 300 s. ( ISBN 0-471-50030-5 ) , s. 99
Mere præcist: arealet af en kugle og mængden af bolden det afgrænser.
(in) Eric W. Weisstein , " Sphere " på MathWorld .
(i) William Dunham , The Matematisk Universe: en alfabetisk rejse gennem de store prøvetryk, problemer og personligheder , New York, John Wiley & Sons,1994, 1 st ed. , 314 s. ( ISBN 0-471-53656-3 ) , s. 227.
Dunham 1994 , s. 226.
(i) Britannica Online, " Archimedes: His Works " , Encyclopædia Britannica ,2000(adgang til 26. juni 2008 ) .