Bind

Beskrivelse af billede 4MeasuringSpoons.jpg.

Nøgledata

SI-enheder	kubikmeter
Dimension	L 3
Natur	Størrelse skalar omfattende
Sædvanligt symbol	V
Konjugat	tryk

Det volumen , i Science fysisk eller matematisk , er en mængde, der måler omfang af et objekt eller en del af rummet .

I fysik måler volumenet på et objekt den "udvidelse i det fysiske rum ", som den har i alle tre retninger på samme tid, ligesom arealet af en figur i planet måler "udvidelsen. At den har i begge retninger ved den samme tid.
I matematik er volumenet af en del af det geometriske rum dets mål i betydningen af Lebesgues målteori .

Volumenmåling

Fysisk volumen måles i kubikmeter i det internationale enhedssystem . Liter bruges ofte , især til væsker og til tørre materialer . Man betragter således volumen som en omfattende mængde, og den tilknyttede termodynamiske intensive mængde er trykket .
I matematik og mere præcist i euklidisk geometri beregnes volumenet af parallelepiped genereret af 3 ikke-coplanære vektorer ved hjælp af det blandede produkt af de tre vektorer: $({\ vec v} _ {1}, {\ vec v} _ {2}, {\ vec v} _ {3})$

V = | \ det ({\ vec v} _ {1}, {\ vec v} _ {2}, {\ vec v} _ {3}) |

Volumenberegninger har udviklet sig gennem historien efter beregningens fremskridt . Dette er, hvordan de første volumener blev beregnet ved hjælp af udtømningsmetoden , derefter ved hjælp af Cavalieris princip og endelig ved at beregne tredobbelte integraler .

For enkle faste stoffer ( parallelepiped og genstande til revolution) er der matematiske formler til bestemmelse af deres volumen i henhold til deres karakteristiske dimensioner.

Fysisk størrelse

Volumen er en additiv mængde: volumenet af et fysisk system er summen af volumen af dets dele. På den anden side er det ikke en algebraisk størrelse: fysisk er der ikke noget "negativt volumen" (hvoraf Mary Poppins ' rejsetaske ville være fremstillet ), hvis overlejring med et fysisk system med positivt volumen ville give et system sammensat volumen globalt nul, eller i det mindste reduceret: alle bind har samme tegn og tælles efter konvention positivt. Det er af denne grund, at i formlen for det blandede produkt tages resultatet som en absolut værdi.

Den fysiske fortolkning af det blandede produkt er, at et fysisk volumen er punktproduktet af en overflade ved en forskydning :

{\ displaystyle V = \ det ({\ vec {v}} _ {1}, {\ vec {v}} _ {2}, {\ vec {v}} _ {3}) = {\ vec {v }} _ {1} \ cdot ({\ vec {v}} _ {2} \ wedge {\ vec {v}} _ {3}) = {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ med {S}} _ {23}}

Forskydningen er en vektor , men den orienterede overflade er en pseudovektor , så det således definerede volumen er teoretisk en størrelse, der ændrer tegn, når systemet udsættes for indirekte isometri (spejlsymmetri for eksempel). Faktisk, hvis f.eks rumfanget af en kugle er $4 / 3 π R 3$ , en polær inversion vil effektivt ændre $R$ til $-R$ og vil logisk føre til en negativ volumen. Med hensyn til den dimensionelle ligning og under hensyntagen til orienteringsmængden er forskydningen en vektor med dimension L · 1 x og arealet en pseudovektor med dimension L 2 · 1 y $\,$ , produktet af de to er en pseudoskala af dimension L 3 · 1 z $\,$ , dvs. den har samme karakter som et flow.

Fysikken forbliver effektivt uændret, hvis alle volumener tælles negativt, men i praksis tælles de fysiske volumener positivt, hvilket svarer til at multiplicere lydstyrken i tidligere forstand med Levi-Civita-symbolet (selv i 1 z ). Volumenet af en fysisk krop er derefter en sand skalar på grund af orienteringskonventionen. Ligeledes, mens et overfladeelement normalt er en pseudovektor i 1 y , svarer orienteringskonventionen, som ønsker, at dens orientering på en lukket overflade rettes udad, til at multiplicere den med orienteringskonventionen i 1 z , hvilket derefter gør det til en vektor sand ved 1 x . Anvendelsen af denne orienteringskonvention kan være problematisk i dimensionel analyse , fordi den svarer til en mængde, der ellers generelt er usynlig i problemets data.

Elementært volumen

Et domæne med dimension 3 kan generelt beskrives af tre uafhængige parametre $u$ , $v$ og $w$ . For ethvert punkt $M ( u , v , w ), der$ hører til dette domæne, har positionsvektoren (hvor $O$ betegner enhver fast oprindelse) for differentiering : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d \, {\ overrightarrow {OM}}} = \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial u}} \ right) \ mathrm {d} u + \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial v}} \ right) \ mathrm {d} v + \ left ({ \ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial w}} \ right) \ mathrm {d} w}

En elementær variation $d u , d v , d w )$ af de tre parametre danner elementet af volumen (eller elementært volumen ) $d 3 V$ (eller simpelthen $d V,$ hvis vi ikke behøver at huske, at tre variabler varierer uafhængigt), defineret ved :

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ det \! \ left [\ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial u}} \ right), \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial v}} \ right), \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial w}} \ right) \ right] \, \ mathrm {d} u \, \ mathrm {d} v \, \ mathrm {d} w}

Modulet for en positionsvektor udtrykkes i meter (m), et volumenelement udtrykkes i kubikmeter (m 3 ). Fortegnet for $d 3 V$ er positivt, hvis vektorerne , og taget i denne rækkefølge, danner en direkte trihedron , og negativ, hvis de udgør en invers trihedron . ${\ displaystyle (\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ partial u)}$ ${\ displaystyle (\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ partial v)}$ ${\ displaystyle (\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} / \ partial w)}$

Kartesiske koordinater

I ortonormale kartesiske koordinater identificeres det aktuelle punkt $M$ ved $x$ , $y$ og $z$ , således at:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = x \, {\ hat {x}} + y \, {\ hat {y}} + z \, {\ hat {z}}}

hvor , og er enhedsvektorer , faste, af tre ortogonale akser (og taget i denne rækkefølge, danner en direkte trihedron). Vi har derefter: ${\ hat x}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial x}} \ right) = {\ hat {x}}, \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial y}} \ right) = {\ hat {y}} \ {\ textrm {et}} \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial z}} \ right) = {\ hat {z}}}

Det kan vi let udlede:

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}

Cylindriske koordinater

I cylindriske koordinater identificeres det aktuelle punkt $M$ ved $r$ , $φ$ og $z$ , således at:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = r \, {\ hat {r}} (\ varphi) + z \, {\ hat {z}}}

hvor er enhedsvektoren for aksen $O$ $z$ i et ortonormalt koordinatsystem, mens enhedsvektoren har for kartesiske koordinater $cos ($ $φ$ $)$ , $sin ($ $φ$ $)$ og $0$ . Vi har derefter: ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}} (\ varphi)}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial r}} \ right) = {\ hat {r}} (\ varphi)}

, og

{\ displaystyle \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial \ varphi}} \ right) = r \, {\ hat {\ varphi}} ( \ varphi) \}

{\ displaystyle \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial z}} \ right) = {\ hat {z}}}

hvor er enhedsvektoren for kartesiske koordinater $-sin ($ $φ$ $)$ , $cos ($ $φ$ $)$ og $0$ . Vektorerne , og er ensartet og ortogonale i par (og taget i nævnte rækkefølge, danner en direkte trihedron). Det kan vi let udlede: ${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}} (\ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = r \, \ mathrm {d} r \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z}

Sfæriske koordinater

I sfæriske koordinater identificeres det aktuelle punkt $M$ ved $ρ$ , $θ$ og $φ$ , således at:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} = \ rho \, {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}

hvor enhedsvektor har for kartesiske koordinater $sin ($ $θ$ $) cos ($ $φ$ $)$ , $sin ($ $θ$ $) sin ($ $φ$ $)$ og $cos ($ $θ$ $)$ . Vi har derefter: ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial \ rho}} \ right) = {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi), \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial \ theta}} \ right) = \ rho \, {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi) \ {\ textrm {et}} \ \ left ({\ frac {\ partial \, {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}} {\ partial \ varphi}} \ right) = \ rho \ sin (\ theta) \, {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}

hvor er enhedsvektoren for kartesiske koordinater $cos ($ $θ$ $) cos ($ $φ$ $)$ , $cos ($ $θ$ $) sin ($ $φ$ $)$ og $-sin ($ $θ$ $)$ , og koordinaterne $-sin ($ $φ$ $)$ , $cos ($ $φ$ $)$ og $0$ . Vektorerne , og er ensartet og ortogonale i par (og taget i nævnte rækkefølge, danner en direkte trihedron). Det kan vi let udlede: ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ rho}} (\ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta, \ varphi)}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}} (\ varphi)}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} V = \ rho ^ {2} \ sin (\ theta) \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d } \ varphi}

Volumen enheder

Volumenheden i det internationale system er kubikmeter (m 3 ) og dets derivater (dm 3 , cm 3 , mm 3 ). Men andre volumenheder vedvarer især i angelsaksiske lande (se Konvertering af enheder ).

Mængderne af flydende materiale har ofte deres egne enheder ( liter , pint , tønde ). Indførelsen af det metriske system forenklede i høj grad antallet af anvendte volumenheder, som i Ancien Régime havde mere end tyve (se måleenheder for Ancien Régime ).

For gasser, hvor vi ønsker at kende mængden af stof (antal molekyler) indeholdt i et givet volumen uanset tryk og temperatur, findes der to korrektionsdefinitioner :

den såkaldte normal kubikmeter udtrykt i m 3 (n) svarende til et volumen gas bringes under et tryk på 1013,25 hPa (trykket fra en normal atmosfære eller 1 atm ) og en temperatur på 0 ° C. ;
nævnte standard kubikmeter udtrykt i m 3 (s) svarer til en gasmængde reduceret under et tryk på 1 013.25 hPa (normal atmosfære tryk eller 1 atm ) og en temperatur på 15 ° C .

De ovenfor beskrevne diskenheder svarer til såkaldte korrigerede diskenheder. Det volumen, der ikke tager disse korrektioner i betragtning, siges at være brutto. Disse volumener findes i udviklingen af strømningshastigheder og gassernes brændværdi .

I EU er mange mængder (og masser) angivet på forbrugsprodukter i anslåede mængder . De er markeret som sådan med små bogstaver "e" .

I matematik vises volumenheden ikke i formler. Det er implicit angivet af enhedens terningens volumen . Hvis for eksempel, på grund af størrelse, den enhed terningen har en kant af 2 cm , et volumen på X enhed terninger svarer til 8 X cm 3 .

Nogle formler

I det følgende vil vi bemærke:

$V$ volumen af en figur;
$ved$ kanten;
$B$ og $b$ områderne af den store base og den lille base;
$H$ højden (eller afstanden, der adskiller de to flader);
$D$ eller $d$ diameteren;
$R$ eller $r$ radius;
$L$ eller $l$ længden og bredden af et rektangel.

De platoniske faste stoffer

Disse er de eneste fem regelmæssige konvekse polyedre. Deres respektive bind er angivet med følgende formler:

Polyhedron	Bind	Figur
Regelmæssig tetraeder	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {12}} \, a ^ {3}}$
Terning	$a ^ 3$
Regelmæssig oktaeder	${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3}} \, a ^ {3}}$
Regelmæssig dodecahedron	${\ displaystyle {\ frac {15 + 7 {\ sqrt {5}}} {4}} \, a ^ {3}}$
Regelmæssig Icosahedron	${\ displaystyle {\ frac {5 \ varphi ^ {2}} {6}} \, a ^ {3}}$ hvor er det gyldne forhold $\ varphi$

Prismer og cylindre

Den generelle formel er altid: $V = B \times H$ (volumen = arealet af bunden × højden), uanset om prisme eller cylinder er lige eller ej.

I særdeleshed,

for kasseformet eller tastaturet: , $V = L \ gange \ ell \ gange H$
for cirkulær cylinder : $V = π R 2 \times H$ .

De pyramider og kegler

Den generelle formel er altid: $V = 1 / 3 B \times H$ .

Den kegle af revolution : $V = π / 3 R 2 \times H$ .
Pyramiden afkortet af et plan parallelt med bunden: . ${\ displaystyle V = {\ frac {H} {3}} \ left (B + b + {\ sqrt {Bb}} \ right)}$

den bold

Kuglens volumen er $V = 4 / 3 π R 3$ eller $V = π D 3 / 6$ .
For en kuglekalot, eller hvor $R$ er radius af kuglen, $r$ er radius af hætten og $H$ højden af hætten. ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {3}} H ^ {2} (3R-H)}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {2}} H \ left ({\ frac {H ^ {2}} {3}} + r ^ {2} \ right)}$
Volumenet af cylinderen udformet med en kugle (serviet ring) ikke afhænger af radius af kuglen, men kun højden $H$ af cylinderen: . ${\ displaystyle V = {\ frac {\ pi} {6}} H ^ {3}}$
Den sfæriske sektor (krydset mellem en kegle med spids O og kuglen med centrum O: hvor $H$ er højden på hætten og $R$ kuglens radius. ${\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ pi R ^ {2} H}$

Revolutionens faste stoffer

Den sætning af Guldin (eller regel Fnok) gør det muligt at beregne rumfanget af et omdrejningslegeme genereret af omdrejning af et element af overfladen $S$ plan om en akse placeret i sit plan og ikke skærer den, for lidt, der er kendt den tyngdepunktet $G$ af fladeelementet $S$ .

{\ displaystyle V = 2 \ pi RS}

hvor

R

er afstanden, der adskiller punkt

G

fra rotationsaksen.

Denne formel gør det muligt at bestemme følgende volumener:

den torus : hvor $r$ er radius af den cirkel med centrum $G$ roterende omkring aksen $(Δ)$ og hvor $R$ er afstanden fra $G$ til $(Δ)$ . $V = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}$
tønden: Kepler giver en tilnærmet formel for tøndernes volumen , som viser sig at være nøjagtig, når tønderen genereres af en kugle, en pyramide, en -ark hyperboloid , en elliptisk paraboloid , en ellipsoid af revolution. Hvis $B 1$ og $B 2$ er overfladerne af baser og $B 3$ overfladen af sektionen i halv højde derefter

V = {\ frac h6} (B_ {1} + B_ {2} + 4B_ {3})

Andet

Den højre cirkulære konoid (f.eks. Fortænder ): hvor $R$ er radius af basecirklen og $H$ højden af konoid. $V = {\ frac 12} \ pi R ^ {2} H$
Den ingots ( heksaeder dannet af to parallelle rektangulære baser og 4 trapezformede sideflader). Vi finder Keplers formel: hvor $B$ $1$ og $B$ $2$ er overfladerne på de to rektangulære baser og $B$ $3$ overfladen af sektionen i midten af højden. Denne formel anvendes i vid udstrækning inden for civilingeniør i jordbearbejdningsvolumenberegninger og især til landbevægelser inden for offentlige arbejder . $V = {\ frac h6} (B_ {1} + B_ {2} + 4B_ {3})$

Volumen og integreret beregning

Hvis er en afgrænset del af , er volumenet af cylinderen med for generatrix grænsen for , afgrænset af planet $z$ $= 0$ og overfladen af ligningen $z$ $= 'f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ - med $f$ positiv og kontinuerlig på - er: $\ matematisk D$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ $\ matematisk D$ $\ matematisk D$

{\ displaystyle V = \ iint _ {\ mathcal {D}} f (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y}

I det tilfælde hvor domænet er defineret ved enkle betingelser $x$ $1$ $<$ $x$ $<$ $x$ $2$ , $y$ $1$ $($ $x$ $) <$ $y$ $($ $x$ $) <$ $y$ $2$ $($ $x$ $)$ , koges denne beregning ned til: $\ matematisk D$

{\ displaystyle V = \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} \! \ int _ {y_ {1} (x)} ^ {y_ {2} (x)} f (x, y ) \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} x}

Hvis er en afgrænset del af, og hvis den konstante funktion 1 er integrerbar , er volumenet af derefter: ${\ mathcal A}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A}$

{\ displaystyle V = \ iiint _ {\ mathcal {A}} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}

I det tilfælde hvor domænet er defineret ved enkle betingelser $x$ $1$ $($ $z$ $,$ $y$ $) <$ $x$ $($ $z$ $,$ $y$ $) <$ $x$ $2$ $($ $z$ $,$ $y$ $)$ , $y$ $1$ $($ $z$ $) <$ $y$ $($ $z$ $) <$ $y$ $2$ $($ $z$ $)$ og $z$ $1$ $<$ $z$ $<$ $z$ $2$ , kalkulerer denne beregning til: ${\ mathcal A}$

{\ displaystyle V = \ int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} \! \ int _ {y_ {1} (z)} ^ {y_ {2} (z)} \! \ int _ {x_ {1} (z, y)} ^ {x_ {2} (z, y)} \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y \, \ mathrm {d} z}

Ved integrationens linearitet kan et vanskeligt defineret domæne opdeles i flere underdomæner, som kan udtrykkes under enkle betingelser.

Hvis domænet bedst udtrykkes i cylindriske koordinater ved enkle betingelser , kan beregningen udtrykkes ved: ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A} '$

V = \ iiint _ {{{\ mathcal A} '}} r \, {\ mathrm {d}} r \, {\ mathrm {d}} \ theta \, dz

hvor er en afgrænset del af

{\ mathcal A} '

\ mathbb {R} _ {+} \ times [0,2 \ pi] \ times \ mathbb {R}

Hvis domænet bedst udtrykkes i sfæriske koordinater ved enkle betingelser , kan beregningen udtrykkes ved: ${\ mathcal A}$ ${\ mathcal A} ''$

V = \ iiint _ {{{\ mathcal A} ''}} r ^ {2} \ sin (\ phi) \, {\ mathrm {d}} r \, {\ mathrm {d}} \ theta \, {\ mathrm {d}} \ phi

hvor er en afgrænset del af .

{\ mathcal A} ''

\ mathbb {R} _ {+} \ times [0,2 \ pi] \ times [0, \ pi]

I det tilfælde, hvor domænet er et solidt omdrejningstal, hvis kant genereres ved rotation af en kurve med ligning $y$ $= 'f$ $($ $x$ $)$ omkring aksen $($ Ox ), reduceres volumenberegningen til en simpel integral: ${\ mathcal A}$

{\ displaystyle V = \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f ^ {2} (x) \, \ mathrm {d} x}

Endelig gør flux-divergens sætning det muligt at reducere volumenberegningen til en overfladeintegral :

{\ displaystyle V = \ iiint _ {A} \ mathrm {d} V = {\ frac {1} {3}} \ iint _ {\ partial {\ mathcal {A}}} (x, y, z) { \ vec {n}} \, \ mathrm {d} S}

hvor er grænsen , og den enhedsvektor vinkelret på $d$ $S$ rettet udad fra . ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ ${\ vec {n}}$ ${\ mathcal A}$

Relaterede artikler