Opladningstæthed

Elektrisk ladningstæthed

Den lineære statiske elektricitetstæthed resulterer i en frastødende kraft mellem håret. Nøgledata

SI-enheder	C / m 3
Dimension	L -3 · T · I $\,$
Natur	Størrelse skalær intensiv
Sædvanligt symbol	${\ displaystyle \ rho _ {q}}$
Link til andre størrelser	${\ displaystyle \ rho _ {q}}$ = ${\ displaystyle \ partial \ over \ partial V}$ ${\ displaystyle (Q)}$

Den ladningstæthed elektriske midler den mængde elektrisk ladning per arealenhed. Afhængig af om vi overvejer et problem med 1, 2 eller 3 dimensioner , det vil sige en linje , en overflade eller et volumen , vil man tale om lineær , overflade eller volumen tæthed af ladning. Deres enheder er henholdsvis coulomb pr. Meter ( C / m ), coulomb pr. Kvadratmeter ( C / m 2 ) og coulomb pr. Kubikmeter ( C / m 3 ) i det internationale system . Da der er negative ladninger som positive ladninger, kan ladetætheden tage negative værdier. Som enhver densitet kan den variere afhængigt af positionen. Det skal ikke forveksles med tætheden af ladebærere .

I det følgende vil vi overveje tilfældet med ladningens volumendensitet , hvor de andre tilfælde let kan udledes af det analogt, undtagen tilfældet med forbindelserne til det elektriske felt , som har ringe fysisk betydning i 1 eller 2 dimensioner.

Belastningstæthed i klassisk fysik

Den generelle definition af ladningstætheden i et volumen er funktionen af positionen, som for ethvert volumen giver ladningen indeholdt i forholdet: ${\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $V$ $Q$

{\ displaystyle Q = \ int _ {V} \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {r}}

Homogen ladetæthed

I det særlige tilfælde af en homogen ladetæthed , dvs. uafhængig af positionen, og lig med , er definitionen af densiteten forenklet i: ${\ displaystyle \ rho _ {q0} \}$

{\ displaystyle Q = V \, \ rho _ {q0}}

fordi man kan lade integralet i definitionen, som derefter reduceres til . ${\ displaystyle \ rho _ {q0}}$ $V$

Diskrete belastninger

Undertiden består ladningen i et område af ladningsbærere, der kan betragtes som punktladninger, såsom ladede partikler. I dette tilfælde vil man udtrykke densitet af ladning ved distributioner δ af Dirac (ofte kaldet ukorrekt funktioner af Dirac ). For eksempel kan ladetætheden ved punktet være: $IKKE$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, q_ {i} \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r } _ {i})}

for ladningspartikler ved punkter . ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

Hvis alle partiklerne har den samme ladning , kan vi relatere ladetætheden til densiteten af ladningsbærere ved at: ${\ displaystyle q_ {i} \, = \, q}$ ${\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle n (\ mathbf {r})}$

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, = \, q \, n (\ mathbf {r})}

Opladningstæthed og elektrisk felt

Ladningstætheden er relateret til den elektriske forskydning, hvor er permittiviteten af vakuumet og det elektriske felt ved ligningen: ${\ displaystyle \ mathbf {D} (\ mathbf {r}) \, = \, \ varepsilon _ {0} \, \ mathbf {E} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r})}$

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} (\ mathbf {r}) \, \ equiv \, \ mathrm {div} \, \ mathbf {D} (\ mathbf {r}) \, = \, \ rho _ {q} (\ mathbf {r})}

Ved flux-divergens sætning opnår vi den integrale form:

{\ displaystyle \ int \! \! \ int _ {S} \, \ mathbf {E} \, \ cdot \, d \ mathbf {S} \, = \, Q _ {\ mathrm {int {\ acute { e}} griner}} \, / \, \ varepsilon _ {0}}

hvor er en lukket overflade, der omslutter lasten . $S$ ${\ displaystyle Q _ {\ mathrm {int {\ acute {e}} griner}}}$

Denne ligning er Gauss sætning , som er en generalisering af Coulombs lov .

Ladningstæthed i kvantefysik

Tilfælde af en partikel

I kvantemekanik er ladningstætheden svarende til en ladningsbærer relateret til dens bølgefunktion ved: $q$ ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}$

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, = \, q \; | \ psi (\ mathbf {r)} | ^ {2}}

med en bølgefunktion normaliseret til enhed ved:

{\ displaystyle \ int | \ psi (\ mathbf {r}) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r} \, = \, 1}

Tilfælde af n partikler

I tilfælde af partikler afhænger bølgefunktionen af placeringen af alle partiklerne og inkluderer især generelt korrelationer, som forhindrer blot anvendelse af den foregående formel. $ikke$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$

Vi skal udtrykke bidraget fra hver partikel, ladning , ved at beregne positionerne for alle de andre partikler og derefter tilføje disse bidrag: ${\ displaystyle q_ {i}}$

{\ displaystyle \ rho _ {q} (\ mathbf {r}) \, = \, \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, q_ {i} \, \ int \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {1} \, \ ldots \, \ int \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i-1} \, \ int \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {i + 1 } \, \ ldots \, \ int \ mathrm {d} \ mathbf {r} _ {n} \, | \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, \, \ ldots \ ,, \ mathbf {r } _ {i-1}, \ \ mathbf {r}, \ \ mathbf {r} _ {i + 1}, \, \ ldots \ ,, \ mathbf {r} _ {n}) | ^ {2} }

Når ladningsfordelingen er opnået, gør overvejelser svarende til dem, der er givet for klassisk fysik, det muligt at relatere ladningstætheden til det klassiske elektriske felt.

Hvis vi ønsker en komplet kvanteformalisme, er udtrykket ved bølgefunktioner ikke tilstrækkeligt: de skal erstattes af operatorer såvel som det elektriske felt.

Ansøgninger

Ladebærernes position eller generelt ladningstætheden ændres. Dette fænomen indebærer eksistensen af en elektrisk strøm på grund af bevarelsen af den elektriske ladning, som direkte relaterer variationen i ladningstætheden til divergensen af strømtætheden . Det er derfor nødvendigt at vide, hvordan man kan udlede de foregående relationer med hensyn til tid for at opnå derivatet af ladningstætheden.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Charge density " ( se listen over forfattere ) .

Mere generelt vil vi overveje distributioner som i tilfælde af diskrete afgifter .