Magnetisk dipol

En magnetisk dipol svarer til det magnetiske felt af, hvad en elektrostatisk dipol er for det elektriske felt . Det er fuldstændigt karakteriseret ved den magnetiske momentvektor (eller magnetisk dipolmoment), svarende til magnetisme af hvad dipolmomentet er for den elektrostatiske .

Nuværende sløjfe

Den enkleste fysiske repræsentation af en magnetisk dipol er en strømsløjfe, det vil sige en cirkulær elektrisk strøm . Magnetiske moment denne elementære dipol er vektoren , hvor jeg er intensiteten af den nuværende og den overflade vektor ( vektor af modul lig med området S af cirklen, oprindelseslandet O i centrum af cirklen, rettet langs aksen cirkel og orienteret i henhold til strømens retning i henhold til proptrækkens regel ). μ→=jegS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = I \, {\ vec {S}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}

Strengt taget er en magnetisk dipol grænsen for en strømsløjfe, når vi får jeg til at være uendelig og S til 0, mens vi holder vektoren konstant . μ→=jegS→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}} = I \, {\ vec {S}}}

Parallelisme mellem magnetisme og elektrostatisk

Ligninger

Elektrostatiske og magnetiske dipoler overholder lignende love, mutatis mutandis . I disse love:

• det magnetiske øjeblik spiller den samme rolle som det elektrostatiske øjeblik  ;μ→{\ displaystyle {\ vec {\ mu}}} s→{\ displaystyle {\ vec {p}}}
• den magnetiske induktion spiller den samme rolle som det elektriske felt  ;B→{\ displaystyle {\ vec {B}}} E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
• - den magnetiske permeabilitet af vakuum spiller den samme rolle som omvendt af den dielektriske permittivitet af vakuum , - .μ0{\ displaystyle \ mu _ {0}}1ε0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}}}

Lov	Elektrostatisk	Magnetisme
Potentiel energi af en dipol i et felt	Es=-s→⋅E→{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}}}	Es=-μ→⋅B→{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - {\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {B}}}
Moment udøvet på en dipol af et felt	Γ→=s→∧E→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {p}} \ wedge {\ vec {E}}}	Γ→=μ→∧B→{\ displaystyle {\ vec {\ Gamma}} = {\ vec {\ mu}} \ wedge {\ vec {B}}}
Kraft udøvet på en dipol af et felt	Hvis  :∇→∧E→=0→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} = {\ vec {0}}}F→=-∇→Es=∇→(s→⋅E→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ mathrm {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {E}})} Hvis ikke : F→=(s→⋅∇→)E→{\ displaystyle {\ vec {F}} = ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {\ nabla}}) {\ vec {E}}}	F→=-∇→Es=∇→(μ→⋅B→){\ displaystyle {\ vec {F}} = - {\ vec {\ nabla}} E _ {\ mathrm {p}} = {\ vec {\ nabla}} ({\ vec {\ mu}} \ cdot { \ med {B}})}
Felt oprettet af en dipol	E→=(14πε0)3(s→⋅u→)u→-s→r3{\ displaystyle {\ vec {E}} = \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {p}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {p}}} {r ^ {3}}}}	B→=(μ04π)3(μ→⋅u→)u→-μ→r3{\ displaystyle {\ vec {B}} = \ left ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu}}} {r ^ {3}}}}
Potentiel interaktionsenergi af to dipoler	Es=-(14πε0)3(s→1⋅u→)(s→2⋅u→)-s→1⋅s→2r3{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - \ left ({\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {p} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {p}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {p}} _ {1} \ cdot {\ vec {p}} _ {2}} {r ^ {3}}}}	Es=-(μ04π)3(μ→1⋅u→)(μ→2⋅u→)-μ→1⋅μ→2r3{\ displaystyle E _ {\ mathrm {p}} = - \ left ({\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ right) {\ frac {3 ({\ vec {\ mu} } _ {1} \ cdot {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu}} _ {2} \ cdot {\ vec {u}}) - {\ vec {\ mu}} _ {1 } \ cdot {\ vec {\ mu}} _ {2}} {r ^ {3}}}}

I ovenstående ligninger:

• u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}repræsenterer enhedsvektoren rettet fra positionen O af dipolen til den M for det aktuelle punkt (tilfældet med feltet skabt af en dipol) eller fra positionen O 1 for den første dipol til den O 2 af det andet (tilfælde af dipol-interaktion-dipol);
• r er afstanden OM , ellers O 1 O 2 .

Demonstration: Potentiel interaktionsenergi af to magnetiske dipoler

Lad være to dipoler og og deres respektive magnetiske moment og . Lad os kalde interaktionen mellem det magnetiske øjeblik og det felt, der er skabt af at . Det magnetiske moment af skaber vektorpotentialet i afstanden r (betragtes som stort)D1{\ displaystyle D_ {1}}D2{\ displaystyle D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {2}}}}Es{\ displaystyle E_ {p}}μ2→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {2}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}D2{\ displaystyle D_ {2}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}D1{\ displaystyle D_ {1}} PÅ1→:{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}}:}

PÅ1→=μ04πμ1→∧r→r3{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {{\ vec {\ mu _ {1}}} \ wedge { \ vec {r}}} {r ^ {3}}}} Dette vektorpotentiale skaber et magnetfelt . Ved at fastsætte vilkårligt efter orienteringen af ​​aksen Oz:r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}B1→=∇→∧PÅ1→{\ displaystyle {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}}}μ1→{\ displaystyle {\ vec {\ mu _ {1}}}}

PÅ1→=μ04πμ1ez→∧r→r3=μ04πμ1sjegikkeθr2eφ→=PÅφeφ→{\ displaystyle {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {{\ vec {e_ {z}} } \ wedge {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ frac {sin \ theta } {r ^ {2}}} {\ vec {e _ {\ varphi}}} = A _ {\ varphi} {\ vec {e _ {\ varphi}}}} i polære koordinater.

⇒B1→=∇→∧PÅ1→=(1rsjegikkeθ(∂(sjegikkeθPÅφ)∂θ-∂PÅθ∂φ)1rsjegikkeθ(∂PÅr∂φ-sjegikkeθ∂(rPÅφ)∂r)1r(∂(rPÅθ)∂r-∂(PÅr)∂θ))=(1rsjegikkeθ∂(sjegikkeθPÅφ)∂θ-1r∂(rPÅφ)∂r0)=μ04πμ1(1r3sjegikkeθ∂(sjegikke2θ)∂θ-sjegikkeθr∂(r-1)∂r0){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}} = {\ start {pmatrix} {} {\ frac {1 } {rsin \ theta}} venstre ({\ frac {\ partial (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ partial \ theta}} - {\ frac {\ partial A _ {\ theta}} { \ partial \ varphi}} \ right) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial A_ {r}} {\ partial \ varphi}} - sin \ theta {\ frac {\ partial (rA _ {\ varphi})} {\ partial r}} \ right) \\ {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial (rA _ {\ theta} )} {\ partial r}} - {\ frac {\ partial (A_ {r})} {\ partial \ theta}} \ right) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1} {rsin \ theta}} {\ frac {\ partial (sin \ theta A _ {\ varphi})} {\ partial \ theta}} \\ - {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial (rA_ {\ varphi})} {\ partial r}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {1} {r ^ {3} sin \ theta}} {\ frac {\ partial (sin ^ {2} \ theta)} {\ partial \ theta}} \\ - {\ frac {sin \ theta} {r}} {\ frac {\ partial (r ^ {- 1})} {\ partial r}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

=μ04πμ1(2vs.osθr3sjegikkeθr30)=μ04πr3(2(μ→1.u→)u→+μ1sjegikkeθeθ→)=μ04πr3(3(μ→1.u→)u→+μ1sjegikkeθeθ→-μ1vs.osθu→){\ displaystyle = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ mu _ {1} {\ begin {pmatrix} {} {\ frac {2cos \ theta} {r ^ {3}} } \\ {\ frac {sin \ theta} {r ^ {3}}} \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}} } \ left (2 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ theta {\ vec {e_ { \ theta}}} \ right) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi r ^ {3}}} \ left (3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. { \ vec {u}}) {\ vec {u}} + \ mu _ {1} sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} - \ mu _ {1} cos \ theta {\ vec { u}} \ højre)} guld:{u→=sjegikkeθvs.osφex→+sjegikkeθsjegikkeφey→+vs.osθez→e→θ=∂u→∂θ=vs.osθvs.osφex→+vs.osθsjegikkeφey→-sjegikkeθez→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial \ theta}} = cos \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ theta {\ vec {e_ {z}}} \ end {cases}}} ⇒{vs.osθu→=vs.osθsjegikkeθvs.osφex→+vs.osθsjegikkeθsjegikkeφey→+vs.os2θez→-sjegikkeθeθ→=-vs.osθvs.osφsjegikkeθex→-vs.osθsjegikkeθsjegikkeφey→+sjegikke2θez→⇒vs.osθu→-sjegikkeθeθ→=ez→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {cases} cos \ theta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒B1→=∇→∧PÅ1→=μ04π(3(μ→1.u→)u→-μ1→r3){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {B_ {1}}} = {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {A_ {1}}} = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ left ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}} - {\ vec {\ mu _ { 1}}}} {r ^ {3}}} \ højre)} På grund af er der skabelse af en potentiel interaktionsenergi på :D1{\ displaystyle D_ {1}}D1{\ displaystyle D_ {1}}Es=-μ2→.B1→=-μ04π(3(μ→1.u→)(μ2→.u→)-μ1→.μ2→r3){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {\ mu _ {2}}}. {\ vec {B_ {1}}} = - {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi} } \ left ({\ frac {3 ({\ vec {\ mu}} _ {1}. {\ vec {u}}) ({\ vec {\ mu _ {2}}}. {\ vec {u }}) - {\ vec {\ mu _ {1}}}. {\ vec {\ mu _ {2}}}} {r ^ {3}}} \ højre)}

Det er fra dette udtryk, at vi ved teorien om forstyrrelser kan demonstrere den fine struktur i det magnetiske resonansspektrum, der skyldes samspillet mellem spins på 2 partikler, hvorved der dannes magnetiske dipoler.

Demonstration: Potentiel interaktionsenergi af to elektriske dipoler

Lad være to dipoler og placeres henholdsvis i A og B: D1{\ displaystyle D_ {1}}D2{\ displaystyle D_ {2}}PÅB→=r→=ru→;OPÅ→=rPÅ→;OB→=rB→{\ displaystyle {\ vec {AB}} = {\ vec {r}} = r {\ vec {u}}; {\ vec {OA}} = {\ vec {r_ {A}}}; {\ vec {OB}} = {\ vec {r_ {B}}}}

Deres respektive elektrostatiske øjeblik bemærkes: og .s1→=qrPÅ→{\ displaystyle {\ vec {p_ {1}}} = q {\ vec {r_ {A}}}}s2→=qrB→{\ displaystyle {\ vec {p_ {2}}} = q {\ vec {r_ {B}}}} D1→{\ displaystyle {\ vec {D_ {1}}}}skaber et elektrisk potentiale V, som interagerer med . Dette giver anledning til en energi af interaktion . Et elektrisk felt driver fra potentialet .r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}D2→{\ displaystyle {\ vec {D_ {2}}}}Es{\ displaystyle E_ {p}}E→=-∇→V{\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V}V(r→){\ displaystyle V ({\ vec {r}})}

Hvis er stort nok, har potentialet udtryk: Det følger: r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}V(r→){\ displaystyle V ({\ vec {r}})}V(r→)=14πϵ0s1→.r→r3{\ displaystyle V ({\ vec {r}}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {{\ vec {p_ {1}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}}}E→=-∇→V(r→)=-q4πϵ0∇→(rPÅ→.r→r3)=-q4πϵ0(∂∂rrPÅ→.r→r31r∂∂θ(rPÅ→.r→r3)1rsjegikkeθ∂∂φ(rPÅ→.r→r3))=-q4πϵ0(-2rPÅr3vs.osθ-rPÅr3sjegikkeθ0){\ displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V ({\ vec {r}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ vec {\ nabla}} \ left ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ right) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begynder {pmatrix} {} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} {\ frac {{\ vec {r_ {A}}} . {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \\ {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left ({\ frac { {\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ højre) \\ {\ frac {1} {rsin \ theta}} {\ frac {\ partial } {\ partial \ varphi}} \ left ({\ frac {{\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {r}}} {r ^ {3}}} \ right) \ end {pmatrix} } = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ begin {pmatrix} {} - 2 {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} cos \ theta \\ - {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} sin \ theta \\ 0 \ end {pmatrix}}}

=q4πϵ0rPÅr3(3vs.osθu→-vs.osθu→+sjegikkeθeθ→{\ displaystyle = {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} (3cos \ theta {\ vec {u}} -cos \ theta {\ vec {u}} + sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}}}guld:{u→=sjegikkeθvs.osφex→+sjegikkeθsjegikkeφey→+vs.osθez→e→θ=∂u→∂θ=vs.osθvs.osφex→+vs.osθsjegikkeφey→-sjegikkeθez→{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ vec {u}} = sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ {\ vec {e}} _ {\ theta} = {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial \ theta}} = cos \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} - sin \ theta {\ vec {e_ {z}}} \ end {cases}}} ⇒{vs.osθu→=vs.osθsjegikkeθvs.osφex→+vs.osθsjegikkeθsjegikkeφey→+vs.os2θez→-sjegikkeθeθ→=-vs.osθvs.osφsjegikkeθex→-vs.osθsjegikkeθsjegikkeφey→+sjegikke2θez→⇒vs.osθu→-sjegikkeθeθ→=ez→{\ displaystyle \ Rightarrow {\ begin {cases} cos \ theta {\ vec {u}} = cos \ theta sin \ theta cos \ varphi {\ vec {e_ {x}}} + cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + cos ^ {2} \ theta {\ vec {e_ {z}}} \\ - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = - cos \ theta cos \ varphi sin \ theta {\ vec {e_ {x}}} - cos \ theta sin \ theta sin \ varphi {\ vec {e_ {y}}} + sin ^ {2} \ theta {\ vec { e_ {z}}} \ end {cases}} \ Rightarrow cos \ theta {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}} = {\ vec {e_ {z}} }} ⇒E→=-q4πϵ0rPÅr3(-3vs.osθu→+vs.osu→-sjegikkeθeθ→)=-q4πϵ01r3(rPÅez→-3(rPÅ→.u→)u→){\ displaystyle \ Rightarrow {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {r_ {A}} {r ^ {3}}} ( -3cos \ theta {\ vec {u}} + cos {\ vec {u}} - sin \ theta {\ vec {e _ {\ theta}}}) = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} (r_ {A} {\ vec {e_ {z}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. {\ vec {u}}) {\ vec {u}})} Ved vilkårlig fastsættelse rPÅ→=rPÅez→:E→=-q4πϵ01r3(rPÅ→-3(rPÅ→.u→)u→){\ displaystyle {\ vec {r_ {A}}} = r_ {A} {\ vec {e_ {z}}}: {\ vec {E}} = - {\ frac {q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} ({\ vec {r_ {A}}} - 3 ({\ vec {r_ {A}}}. {\ Vec {u }}) {\ vec {u}})} Dipol-dipol-interaktionen er derefter:Es=-E→.s2→=-14πϵ01r3(s1→.s2→-3(s1→.u→)(s2→.u→)){\ displaystyle E_ {p} = - {\ vec {E}}. {\ vec {p_ {2}}} = - {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {3}}} \ left ({\ vec {p_ {1}}}. {\ Vec {p_ {2}}} - 3 ({\ vec {p_ {1}}}. { \ vec {u}}) ({\ vec {p_ {2}}}. {\ vec {u}}) \ right)}

Dette udtryk gør det muligt at påvise, ved teorien om perturbationer , de Van der Waals kræfter , der er indtrådt i de kemiske bindinger som følge af elektrostatisk interaktion mellem to partikler således danner elektriske dipoler.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">