Rotationsdynamik

Rotationen af et system er et specielt tilfælde af vigtig bevægelse, især på grund af dets industrielle anvendelser (roterende maskiner), men også på et mere grundlæggende niveau for dynamikken i en roterende referenceramme , hvis vigtigste tilfælde er givet af den terrestriske dynamik.

Generelle påmindelser om dynamikken i hardwaresystemer

I et materielt system er Newtons lov om gensidig handling (tidligere handling og reaktion ) (jf. Newtons bevægelseslove , anført i 1687) nul. Det grundlæggende princip for dynamik reduceres derfor til ligestillingen mellem den dynamiske torsor og torsoren af eksterne kræfter .

Disse seks ligninger er opdelt i to grupper med tre ligninger:

det grundlæggende princip i translationel dynamik: $\ frac {\ mathrm d \ vec {p}} {\ mathrm dt} = \ sum {\ vec {F}} \;$
det grundlæggende princip for rotationsdynamikken: ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum {\ overrightarrow {M _ {\ mathrm { O}}}}.}$

Her,

$\ sum \ vec {F}$ er summen af de eksterne kræfter,
${\ vec p}$ er momentum ,
$O$ er et fast punkt i den galileiske referenceramme,
${\ displaystyle {\ vec {L}} _ {\ mathrm {O}}}$ er systemets vinkelmoment taget med hensyn til $O$ ,
dens tidsafledede kaldes dynamisk øjeblik , summen af momenterne af de ydre kræfter reduceret til punktet $O$ . ${\ displaystyle {\ vec {M _ {\ mathrm {O}}}}}$

Hvis referencerammen ikke er galilisk, er det simpelthen nødvendigt at tilføje torsoren til træningskræfterne til træning og Coriolis-træghedskræfterne.

Tilfælde af rotation af et fast stof omkring en fast akse

Vi overveje et fast ( s ) i bevægelse i en referenceramme ( R ) antages at være galilæer omkring en fast akse i ( R ) bemærkede $(Δ)$ , med en enhedsvektor orienteret ifølge til højre regel . Vi kalder O den ortogonale fremspring på aksen for tyngdepunktet G for det faste stof ( S ). På grund af rotationen omkring aksen er bevægelsen med en enkelt frihedsgrad , som kan tages som vinklen $θ$ mellem retningen ( OG ) og ( Ox ) på det valgte tidspunkt for datoernes oprindelse og dette til enhver tid dato t . ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ Delta}}}}$

Analysen af kræfterne er: eksterne kræfter påført reaktionskræfterne med fast + akse (ukendt a priori , men blokerer positionen for punktet O, som forbliver ubevægeligt, og hvis fremspring for øjeblikket på aksen er nul).

Derefter giver ligningen af det grundlæggende princip for den rotation, der projiceres på aksen:

{\ displaystyle {\ frac {k \, \ mathrm {d} {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}}} {\ mathrm {d} t}} = k \, {\ overrightarrow {M _ {\ mathrm {O}}}}.}

Efter inerti-princippet

Guld:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {L _ {\ mathrm {O}}}} = J _ {\ Delta} \, \ omega \, {\ overrightarrow {e _ {\ Delta}}},}

med:

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}$ , rotationshastighed i rad s −1 ;
$J Δ$ , inertimoment i kg m 2 .

Det grundlæggende princip for rotationsdynamikken skrives derefter:

J _ {\ Delta} \ frac {\ mathrm {\ mathrm d} \ omega} {\ mathrm {\ mathrm d} t} = M_ \ Delta.

Det er den nøjagtige transponering til rotation af det grundlæggende princip i dynamikken i oversættelse på en akse:

m \ frac {\ mathrm {\ mathrm d} v} {\ mathrm {\ mathrm d} t} = F.

I henhold til Newtons mekaniske love

Enten at beregne : det faste stof er dannet af millioner af væsentlige punkter M i , med masse m i , fremspring på aksen H i , beskriver under rotationen af de faste cirkler af center H i , med radius $d$ $i$ $=$ $H$ $i$ $M$ $i$ . Hver masse har derfor et vinkelmoment projiceret på aksen lig med: ${\ displaystyle {\ vec {e _ {\ Delta}}} \, {\ vec {L _ {\ mathrm {O}}}}}$

m_i d_i ^ 2 \ frac {\ mathrm {\ mathrm d} \ theta} {\ mathrm dt}.

Summen kaldes inertimoment $J Δ$ . ${\ displaystyle \ Sigma m_ {i} d_ {i} ^ {2}}$

Det grundlæggende princip for dynamikken i rotation skrives derefter:

J _ {\ Delta} \ frac {\ mathrm {\ mathrm d} \ omega} {\ mathrm {\ mathrm d} t} = M_ \ Delta

Nogle eksempler på beregninger af inertimomenter

Huygens 'sætning

Ansøgninger

Kraftigt pendul

Cylinder, der ruller uden at glide langs et skråt plan

Lad være et skråt vinkelplan $α$ . Når cylinderen med radius R og masse M , med inerti til rotation $J Δ$ , ruller uden at glide, bevæger den sig $2π R$ i en omgang og derfor $s = R θ$ når den drejer med en vinkel $θ$ .

Han oplever kun to kræfter:

dens vægt (kraft på afstand); ${\ displaystyle M \, {\ vec {g}}}$
planetens indvirkning på cylinderen ved kontaktpunktet C (kontaktkraft), opdelt i normal til planet og tangential. ${\ vec N}$ ${\ vec T}$

Vi har således ved anvendelse af det grundlæggende princip i oversættelsens dynamik:

i retning af skråningen: ${\ displaystyle M {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = M \, g \, \ sin (\ alpha) -T}$ ;
i retningen vinkelret på hældningsretningen: ${\ displaystyle M \, g \, \ cos \ alpha = N}$ .

Det grundlæggende princip i rotationsdynamikken giver derefter:

{\ displaystyle J _ {\ Delta} {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} = 0 + 0 + T \, R}

som er skrevet under hensyntagen til den geometriske relation $v = R ω$ :

{\ displaystyle {\ frac {J _ {\ Delta}} {R ^ {2}}} \, {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = T}

Ved at erstatte T i det første forhold opnår vi:

\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} = g \ sin \ alpha \ frac {M} {M '} = \ mathrm {constant}

med

M '= M + \ frac {J_ \ Delta} {R ^ 2}

Så kan vi trække det ud

{\ displaystyle T = Mg {\ frac {J _ {\ Delta}} {J _ {\ Delta} + M \, R ^ {2}}} \ sin \ alpha}

som skal være mindre end $k N$ ( k betegner Coulomb-koefficienten ), så der faktisk ikke er nogen glidning.

Drejning af et fast stof omkring dets inerti

Lagrange's tunge spin-top problem

Denne gang hviler toppen på sit faste punkt O, i et tyngdefelt - g k

Problemer med gyroskopi

Andre sager

PFDR kan naturligvis anvendes til ethvert system, herunder åbne systemer såsom jetblade af helikoptere eller skovlhjulene til jetblade i en skovl-reaktionsturbine. Og også i galakser eller i hydrodynamik ( vinkelmoment i hydrodynamik , vortex ...).

Noter og referencer

På det energiske niveau betyder dette IKKE, at dens effekt er nul. Dette sidste punkt er kun gyldigt for et solidt stof