Dynamik af ladede partikelstråler

De dynamik ladet partikel bjælker er en disciplin af fysik, omhandler transport og optimering af beam karakteristika i partikelacceleratorer .

Transporten af en ladet partikel er beskrevet i de elektromagnetiske felter produceret af acceleratoren. Vi kan udlede de egenskaber, der er specifikke for acceleratoren (i forhold til en type partikel), som gør det muligt at definere:

en referencepartikel, der gennemgår ideel transport i acceleratoren, og hvis bane skal begrænses af brugernes behov
en transportformalisme (undertiden lineær) omkring denne referencepartikel for ikke-ideelle partikler, som skal forblive inden for en accept defineret af adskillige kriterier (spredning i størrelse og divergens, tilladt tabt strøm). Denne accept gør det muligt at bestemme de bedste betingelser for indsprøjtning og transport af bjælken i speederen.

Den partikelstråle er karakteriseret ved statistiske mængder (for eksempel: middelkvadratafstanden dimension ), hvis evolution kan analytisk beskrevet under acceleration under forenklede transportforhold. En relevant forenkling af parametrene muliggør en hurtig og meget nyttig beskrivelse af bjælkens opførsel til definition og justering af acceleratorens hovedelementer, såsom magneterne eller de accelererende hulrum.

Ofte udføres transporten af strålen gennem acceleratoren ved hjælp af dedikeret software kaldet transportkoder. Det er derefter muligt at transportere enten strålens statistiske egenskaber eller en prøveudtagning af makropartikler, der repræsenterer strålen, eller strålens fordelingsfunktion. Disse koder giver adgang til beregning af interaktioner mellem partikler med deres kongenere (rumladning), den resterende gas (Coulomb-diffusion, neutralisering, rekombination) eller med acceleratoren (felter induceret i strukturen). De gør det også muligt at verificere indflydelsen af acceleratorfejl på bjælkens egenskaber.

Transport af en partikel

Repræsentation af en partikel - Faserum

Partiklernes dynamik kan beskrives enten i en galilensk referenceramme (god tilnærmelse af laboratoriehenvisningsrammen) eller i en mobil referenceramme knyttet til acceleratoren.

Klassisk repræsentation i en galilensk referenceramme

En partikel med masse m og ladning q beskrives på et øjeblik t ved et punkt i et 6-dimensionelt faseområde, der repræsenterer:

dens holdning :

{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ start {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}

dens forskydning (for eksempel dens momentum ):

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ start {pmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}}}

Mere generelt er 6 koordinater (3 af position, 3 af forskydning) tilstrækkelige til at beskrive partiklens dynamik som en funktion af en given uafhængig variabel τ (her tid).

Repræsentation i et mobilt arkiv

En partikelaccelerator er designet til at fremskynde en referencepartikel (kaldet en synkron partikel ), som udbreder sig på en referencebane med meget præcis timing. Denne referencesti kan være lineær ( linac ), cirkulær ( synchrotron ) eller spiral ( cyclotron ).

Det er så almindeligt at vælge som uafhængig variabel τ , ikke tiden, men en abscissa s langs referencebanen. Abscissen associeret med en partikel svarer til skæringspunktet mellem referencebanen og det plan, der er normalt i forhold til denne bane, der indeholder partiklen.

{\ displaystyle \ tau = t \ to s}

Med hensyn til dens position kan partiklen identificeres ved hjælp af sine 2 koordinater ( x , y ) i en mobil referenceramme indeholdt i det plan, der er normalt i forhold til referencebanen. Generelt markerer x positionen i det vandrette plan (strålingens afbøjningsplan i en cirkulær accelerator), y i det lodrette plan. Den anden plads koordinere fastsættes af s partiklerne endeligt differentieret efter deres øjeblik af overgangen til abscissen s (ligesom en foto overflade på Udfør linje i et løb). I de fleste acceleratorer, der bruger radiofrekvenshulrum med frekvensen f , normaliseres denne ankomsttid ved multiplikationen med 2π · f . Man opnår derefter en fase φ, der udtrykker feltudviklingen i hulrummene. Det kan så være relevant at anvende faseforskellen Φ mellem partiklen og den synkrone partikel. ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {y} \ right)}$

{\ displaystyle {\ vec {q}} = {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \ end {pmatrix}} \ Venstre-retpil {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ t \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ varphi \ end { pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x \\ y \\\ phi = \ varphi - \ varphi _ {s} \ end {pmatrix}}}

Med hensyn til dens forskydning er det sædvanligt at vælge det 2 skråninger x ' og y', som partiklens bane foretager i forhold til referencebanen , for det tværgående plan . Interessen er i deres lette måling og fortolkning. For den tredje komponent af forskydningen kan vi finde, sammenblandet, partikelens moment p , dets relative forskel i momentum fra den for den synkrone partikel δ , den kinetiske energi af partiklen E eller dens energiforskel med den synkrone partikel ΔE .

{\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ begin {pmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \ end {pmatrix}} \ Venstre-retpil {\ begin {pmatrix} p_ {x } \\ p_ {y} \\ p_ {z} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '= {\ frac {p_ {x}} {p_ {z}}} \\ y' = {\ frac {p_ {y}} {p_ {z}}} \\ p \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ delta = {\ frac {p -p_ {s}} {p_ {s}}} \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ E \ end {pmatrix}} \ Leftrightarrow {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\\ Delta E = E-E_ {s} \ end {pmatrix}}}

Partiklen kan endelig repræsenteres af en vektor med 6 komponenter , hvis udvikling vil blive udtrykt som en funktion af den uafhængige variabel τ :

{\ displaystyle {\ vec {P}} (\ tau) = {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \ \ p_ {3} \\\ slutning {pmatrix}}}

Bevægelsesligninger

Laboratorieopbevaring (Galilæsk)

Ligningerne for transporten af partiklen i et elektromagnetisk felt er givet af den grundlæggende relation af relativistisk dynamik : ${\ displaystyle ({\ vec {E}}, {\ vec {B}})}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {d {\ vec {p}}} {dt}} = q \ cdot ({\ vec {E}} + {\ dfrac {\ vec {p}} { \ gamma m}} \ wedge {\ vec {B}}) \\ {\ dfrac {d {\ vec {r}}} {dt}} = {\ dfrac {\ vec {p}} {\ gamma m} } \ end {cases}}}

eller:

γ er den reducerede energi af partiklen (eller Lorentz-faktor (forkert navn i dette tilfælde)) knyttet til momentum af forholdet:

{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {1 + {\ dfrac {p ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {2}}}}}

. c er fysikkonstanten svarende til lysets hastighed i vakuum.

I den galileiske referenceramme, der bruger tid t som en uafhængig variabel, gælder disse ligninger direkte.

Mobilt lager

I den mobile repository, ved hjælp af abscisse s for uafhængige variabel, skal nogle transformationer ske. De skyldes det faktum, at vektorerne i den mobile base ikke nødvendigvis er uforanderlige under transport. ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {y}, {\ vec {u}} _ {z} \ right)}$

Lad ρ ( s ) være krumningsradius for referencestien ved punkt s i planet (pr. Definition af ). I betragtning af at ρ > 0, hvis vektoren peger på ydersiden af drejningen , har vi: ${\ displaystyle \ left ({\ vec {u}} _ {x}, {\ vec {u}} _ {z} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {x}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {x}}$

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {x}} {ds}} = {\ dfrac {{\ vec {u}} _ {z}} {\ rho }} \\ {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {y}} {ds}} = {\ vec {0}} \\ {\ dfrac {d {\ vec {u}} _ {z }} {ds}} = - {\ dfrac {{\ vec {u}} _ {x}} {\ rho}} \ end {cases}}}

Desuden s er projektionen af partiklen på referencen bane, har vi:

{\ displaystyle {\ frac {ds} {dt}} = {\ frac {p_ {z}} {\ gamma m}} \ cdot \ left (1 + {\ frac {x} {\ rho}} \ højre) ^ {- 1}}

Ud fra disse sidste ligninger og transportligningerne i den galileiske referenceramme er det muligt at bestemme ligningerne, der giver derivaterne i forhold til s for hver af partiklernes koordinater i det valgte faseområde.

Uanset lageret

Endelig, uanset referencerammen, hvis τ er den uafhængige variabel ( t eller s ), kan vektortransportligningen skrives:

{\ displaystyle {\ dfrac {d {\ vec {P}}} {d \ tau}} = {\ vec {F}} ({\ vec {P}}, \ tau)}

Linearisering - matrixtransport

I dette afsnit introducerer vi en formalisme specifik for acceleratorer, og vi bevidst vælger abscissen s for uafhængige variabel. Begrundelsen er angivet nedenfor.

Den enkleste håndtering af partikeltransport er at:

Brug dets koordinater i forhold til den synkrone partikel ,

{\ displaystyle {\ vec {P}} \ rightarrow {\ vec {P}} - {\ vec {P}} _ {s}}

Lineariser variationen af gendannelseskraften mod den synkrone partikel .

{\ displaystyle F_ {i} ({\ vec {P}}, s) = \ sum _ {j = 1} ^ {6} k_ {i, j} (s) \ cdot P_ {j}}

Man opnår derefter ligningerne for udvikling af komponenterne:

{\ displaystyle {\ dfrac {dP_ {i}} {ds}} = \ sum _ {i = 1} ^ {6} k_ {i, j} (s) \ cdot P_ {j}}

Vi kan derefter bruge matrixformalismen til at transportere partiklen fra et punkt s til et punkt s + ds :

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \\\ end {pmatrix} } _ {s + ds} = {\ begin {pmatrix} 1 + k_ {1,1} \ cdot ds & k_ {1,2} \ cdot ds & k_ {1,3} \ cdot ds & k_ {1, 4} \ cdot ds & k_ {1,5} \ cdot ds & k_ {1,6} \ cdot ds \\ k_ {2,1} \ cdot ds & 1 + k_ {2,2} \ cdot ds & k_ {2,3} \ cdot ds & k_ {2,4} \ cdot ds & k_ {2,5} \ cdot ds & k_ {2,6} \ cdot ds \\ k_ {3,1} \ cdot ds & k_ {3,2} \ cdot ds & 1 + k_ {3,3} \ cdot ds & k_ {3, 4} \ cdot ds & k_ {3,5} \ cdot ds & k_ {3,6} \ cdot ds \\ k_ {4,1} \ cdot ds & k_ {4,2} \ cdot ds & k_ {4,3} \ cdot ds & 1 + k_ {4.4} \ cdot ds & k_ {4.5} \ cdot ds & k_ {4.6} \ cdot ds \\ k_ {5.1} \ cdot ds & k_ {5.2} \ cdot ds & k_ {5.3} \ cdot ds & k_ {5.4} \ cdot ds & 1 + k_ {5.5} \ cdot ds & k_ {5.6} \ cdot ds \\ k_ {6.1} \ cdot ds & k_ {6.2} \ cdot ds & k_ {6.3} \ cdot ds & k_ {6.4} \ cdot ds & k_ {6.5} \ cdot ds & 1 + k_ {6.6} \ cdot ds \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} q_ {1} \\ q_ {2} \\ q_ {3} \\ p_ {1} \\ p_ { 2} \\ p_ {3} \\\ end {pmatrix}} _ {s}}$

Er:

{\ displaystyle {\ vec {P}} (s + ds) = T (s + ds \ leftarrow s) \ cdot {\ vec {P}} (s)}

Denne matrixformalisme kan bruges til at gå fra et punkt s 0 til et punkt s 1 :

{\ displaystyle {\ vec {P}} (s_ {1}) = T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0}) \ cdot {\ vec {P}} (s_ {0})}

${\ displaystyle T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0})}$ er overførselsmatricen mellem punkt s 0 og punkt s 1 .

Formelt kan det opnås ved multiplikation af matricerne på små trin ds fra s 0 til s 1 (hvilket svarer til at integrere transportligningerne trin for trin):

{\ displaystyle T (s_ {1} \ leftarrow s_ {0}) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} T (s_ {0} + i \ cdot { \ frac {s_ {0} + s_ {1}} {n}} \ leftarrow s_ {0} + (i-1) \ cdot {\ frac {s_ {0} + s_ {1}} {n}}) }

Konkret er acceleratoren skåret i en rækkefølge af elementer E i , overførsel matricer T i er kendte .

Transporten fra input af element i til output af element j (eller til input af element j +1 med j > i ) gives derefter af overførselsmatricen:

{\ displaystyle T (j + 1 \ leftarrow i) = T_ {j} \ cdot T_ {j-1} \ cdots T_ {i + 1} \ cdot T_ {i} = \ prod _ {k = j} ^ { i} T_ {k}}

Ved denne metode kan partiklerne transporteres, element efter element, langs acceleratoren.

Det er netop fordi elementerne er anbragt langs acceleratoren at vi har valgt abscissen s som den uafhængige variabel. Brug af tid som en uafhængig variabel skaber vanskeligheder, fordi alle partiklerne i et givet øjeblik t ikke nødvendigvis er i det samme element i acceleratoren. Det ville tage en matrix pr. Partikel !!

Statistisk beskrivelse af en bjælke

En stråle består af et stort antal partikler. Da dette antal ofte er meget stort, er det generelt umuligt at følge (beregne, men også måle) de individuelle karakteristika for hver af partiklerne. Beskrivelsen af strålen reduceres derefter til nogle få statistiske egenskaber, som det er muligt at transportere i speederen. Denne statistiske gengivelse af strålen kan udføres på 3 forskellige måder:

Ved en kontinuerlig fordelingsfunktion, hvis diskretisering transporteres numerisk langs acceleratoren. Denne repræsentation gør det også muligt under visse betingelser at opnå analytisk ligevægtsfordeling for strålen.
Af makropartikler, mindre talrige end det reelle antal partikler, der transporteres ved at løse partiklernes bevægelsesligninger (slags lyd ). Denne teknik er i det væsentlige digital.
Ved øjeblikke med højere eller lavere ordrer af distributionen. De kan transporteres ved hjælp af enkle formalismer, såsom matrixformalisme .

Modelleringsillustrationer fra TraceWIN- stråletransportkoden er angivet til højre.

De svarer til projiceringen i 2 underrum af faserne (tværgående: ( x , x ' ) og længderetningen: (fase, Energi)) af den samme stråle ved en given abscisse s for forskellige typer modellering.

Distributionsfunktion

For en given værdi af den uafhængige variabel τ defineres en partikelstråle ved 1-legemsfordelingsfunktionen af de partikler, der udgør den. Hver partikel kan repræsenteres af 6 koordinater (3 af position, 3 af forskydning, modelleret af vektoren ), denne fordelingsfunktion afhænger derfor af 6 + 1 (uafhængig variabel) variabler. Det repræsenterer tætheden af partikler i 6D-fase rum (position-forskydning) for en given værdi på τ : ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$

{\ displaystyle f ({\ vec {P}}, \ tau) \ cdot d {\ vec {P}}}

giver antallet af partikler i det lille hypervolumen af faseområdet placeret mellem og ved τ .

{\ displaystyle {\ vec {P}}}

{\ displaystyle {\ vec {P}} + d {\ vec {P}}}

Udviklingen af denne fordelingsfunktion gennem acceleratorens elektromagnetiske felter er en løsning:

enten fra Vlassov-ligningen , hvis 2 partikler "lukker" i rummet gennemgår en jævn og kontinuerlig variation af kraften,
eller Fokker-Planck ligningen , hvis partiklerne "lukker" i rummet kan gennemgå kræfter, som er meget forskellige (kollision). I dette tilfælde modellerer Fokker-Planck-termerne disse interaktioner ved en kontinuerlig diffusion af fordelingsfunktionen. Denne diffusion svarer til effekten af mange små kollisioner. Dette kan f.eks. Være tilfældet med Coulomb-partikel-partikel-kollisioner, kollisioner med restgas eller emission af synkrotronstråling .
eller Boltzmann-ligningen , hvis simpel modellering ved kontinuerlig diffusion ikke er tilstrækkelig (for eksempel kollisioner i store vinkler).

Valget af ligningen vil afhænge af tætheden, miljøet eller bjælkens levetid, men også af fordelingsfunktionens diskretiseringstrin (rum, forskydning og tid, hvilket gør det muligt at definere begrebet "tæt ") i digital opløsning.

Makropartikler

Strålen, der består af N- partikler, delesamples af et sæt n makropartikler ( n < N ), som bærer en højere makroladning med en faktor N / n (til beregning af de inducerede felter), men som gennemgå samme dynamik som strålepartiklerne (se ovenfor).

Transporten af disse makropartikler simuleres ved hjælp af software. Stråleegenskaber og inducerede elektromagnetiske felter kan beregnes ud fra denne makropartikelprøve.

NB: Selvom vi kunne simulere N- partikler, ville dette forblive en statistisk model, fordi de virkelige startbetingelser for hver partikel aldrig kan måles og under alle omstændigheder ikke kan reproduceres.

Distributionstider

Fra fordelingen af partiklerne er det muligt for en given τ at beregne middelværdien af en funktion A af koordinaterne for faseområdet:

{\ displaystyle {\ begin {align} <A ({\ vec {P}})> & = {\ frac {1} {N}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {N} A ({ \ vec {P}} _ {i} (\ tau)) \\\ & = {\ frac {\ iint A ({\ vec {P}}) \ cdot f ({\ vec {P}}, \ tau ) \ cdot d {\ vec {P}}} {\ iint f ({\ vec {P}}, \ tau) \ cdot d {\ vec {P}}}} \ end {justeret}}}

De 6 koordinater for bjælkens tyngdepunkt i fasearealet er givet ved fordelingsmomenterne i rækkefølge 1:

{\ displaystyle {\ bar {P}} _ {i} = <P_ {i}>}

;

Rødets gennemsnitlige firkantede dimensioner af strålen i fasearealet er givet af andenordens centrerede øjeblikke af fordelingen:

{\ displaystyle \ sigma _ {i, i} = {\ sqrt {<(P_ {i} - {\ bar {P}} _ {i}) ^ {2}>}}}

De svarer for hver retning af faserummet til kvadratroden af middelværdien af kvadraterne for afstanden af alle partikler fra bjælkens tyngdepunkt. De har dimensionen af fase rum. De er desto større, når fordelingen er spredt i faseområdet. I denne forstand giver de et "mål" for spredningen af partikelfordelingen.

Strålen kan defineres ved en 6 × 6 matrix, betegnet σ , der giver sæt af øjeblikke af rækkefølge 2 centreret i fordelingen af partiklerne:

{\ displaystyle \ sigma _ {i, j} = <(P_ {i} - {\ bar {P}} _ {i}) \ cdot (P_ {j} - {\ bar {P}} _ {j} )>}

Denne matrix er symmetrisk. Vi finder kvadratet af de gennemsnitlige kvadratiske dimensioner på sin diagonale. Fra et statistisk synspunkt er dette kovariansmatrixen for stråledistributionen.

Transportkoder

Noter og referencer