Fuldt bestilt sæt

I matematik er et totalt ordnet sæt et ordnet sæt , hvor to af de to elementer altid er sammenlignelige.

Definition

Lad være et sæt forsynet med en ordrerelation . Husk, at enhver ordrerelation opfylder følgende egenskaber: $E$ ${\ displaystyle \ preceq}$ ${\ displaystyle \ preceq \,}$

( Refleksivitet ) ; ${\ displaystyle \ forall x, \ x \ preceq x}$
( Transitivity ) ; ${\ displaystyle \ forall x, y, z, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ et \} y \ preceq z {\ bigr)} \ Rightarrow x \ preceq z}$
( antisymmetri ) . ${\ displaystyle \ forall x, y, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ et \} y \ preceq x {\ bigr)} \ Rightarrow x = y}$

${\ displaystyle (E, \ preceq)}$ er et totalt ordnet sæt, hvis alle elementerne desuden er sammenlignelige for : ${\ displaystyle (E, \ preceq)}$ ${\ displaystyle \ preceq}$

${\ displaystyle \ forall x, y, \ {\ bigl (} x \ preceq y \ mathrm {\ eller \} y \ preceq x {\ bigr)}}$ .

Eksempler

Sættet af dele bestilles efter inkluderingsforholdet. Imidlertid er ikke fuldstændigt ordnet: og kan ikke sammenlignes i betydningen af inklusion. ${\ displaystyle E = {\ bigl \ {} \ \ emptyset, \ \ {1 \}, \ \ {2 \}, \ \ {1,2 \} {\ bigr \}}}$ ${\ displaystyle \ {1,2 \}}$ $E$ $\ {1 \}$ ${\ displaystyle \ {2 \}}$
Sættet med reelle tal leveret med den sædvanlige ordrerelation er fuldstændigt ordnet. ${\ mathbb {R}} \,$ $\ leq$