Pseudometrisk rum

I matematik er et pseudometrisk rum et sæt forsynet med et pseudometrisk . Det er en generalisering af begrebet metrisk rum .

På et vektorrum , ligesom en norm inducerer en afstand , inducerer en semi-norm en pseudometrisk. Af denne grund, i funktionel analyse og relaterede matematiske discipliner, anvendes udtrykket semimetrisk rum synonymt med pseudometrisk rum (mens " semimetrisk rum " har en anden betydning i topologi).

Definition

En pseudometrisk på et sæt er en applikation $x$

{\ displaystyle \ mathrm {d}: X \ gange X \ til \ mathbb {R} _ {+}}

sådan at for alt , ${\ displaystyle x, y, z \ i X}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, x \ right) = 0}$ ;
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = \ mathrm {d} \ left (y, x \ right)}$ (symmetri);
${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (x, z \ right) \ leq \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) + \ mathrm {d} \ left (y, z \ right)}$ ( trekantet ulighed ).

Med andre ord er en pseudometrisk en endelig værdi afvigelse .

Et pseudometrisk rum er et sæt forsynet med et pseudometrisk rum .

I modsætning til punkterne i et metrisk rum kan punkterne i et pseudometrisk rum ikke nødvendigvis skelnes - det vil sige, man kan have forskellige punkter som forskellige punkter . ${\ mathrm d} (x, y) = 0$ $x \ ne y$

Eksempler

Hvis er en afvigelse på et sæt , så er en pseudometrisk på ; ${\ mathrm d}$ $x$ ${\ displaystyle \ min (1, \ mathrm {d})}$ $x$
Hvis er en semi-norm over et vektorrum , så er et pseudometrisk over . Omvendt kommer enhver homogen translationel invariant pseudometrisk fra en semi-norm. Et konkret eksempel på en sådan situation er på vektorområdet for funktioner med reelle værdier : ved at vælge et punkt kan vi definere en pseudometrisk med . $s$ $V$ ${\ mathrm d} \ left (x, y \ right) = p \ left (xy \ right)$ $V$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {X}}$ ${\ displaystyle f: X \ til \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ i X$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ left (f, g \ right) = | f \ left (x_ {0} \ right) -g \ left (x_ {0} \ right) |}$

Den pseudometriske topologi, der er forbundet med en pseudometrisk, er den, der induceres af sættet med åbne bolde : ${\ mathrm d}$

{\ displaystyle B_ {r} \ left (p \ right) = \ {x \ i X \ mid \ mathrm {d} \ left (p, x \ right) <r \}}

Et topologisk rum siges at være "pseudometrisérbart", hvis der er en pseudometrisk, hvis tilknyttede topologi falder sammen med rumets.

Bemærk: Et rum er metrizable hvis (og kun hvis) det er pseudometrizable og T 0 .

Metrisk identifikation

Ved at kvotificere et pseudometrisk rum ved det nulstillede ækvivalensforhold mellem det pseudometriske, opnår vi et metrisk rum . Mere eksplicit definerer vi

{\ displaystyle x \ sim y \ iff \ mathrm {d} \ left (x, y \ right) = 0}

og vi får en afstand på ved indstilling: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {*}}$ $X ^ {*} = X / \ sim ~$

{\ mathrm d} ^ {{*}} \ left (\ left [x \ right], \ left [y \ right] \ right) = {\ mathrm d} \ left (x, y \ right)

Topologien i det metriske rum er kvotienttopologien i den . ${\ displaystyle (X ^ {*}, \ mathrm {d} ^ {*})}$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {d})}$

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Pseudometric space " ( se listen over forfattere ) .

(i) " Pseudometric topologi " på PlanetMath .

Bibliografi

(en) AV Arkhangelskii og LS Pontryagin , General Topology I , Springer ,1990, 202 s. ( ISBN 978-3-540-18178-1 )
(en) Eric Schechter (en) , Analysehåndbog og dens fundamenter , Academic Press ,1997, 883 s. ( ISBN 978-0-08-053299-8 , læs online )
Laurent Schwartz , Analysekursus , bind. 2, Hermann ,nitten og firs, 475 s. ( ISBN 978-2-7056-5765-9 )
(en) Lynn Arthur Steen og J. Arthur Seebach, Jr. , modeksempler i topologi , Dover ,1995, 244 s. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , læs online ) , s. 34