Afslut (kategoriteori)

I matematik er en ende af en funktor en generalisering af begrebet grænse . Afslutninger og deres Duals, COFINS-, sædvanligvis noteret med s langs den integral .

Begrebet slut vises naturligt i udvidelser af Kan i beriget kategoriteori og i studiet af handlinger på en kategori . Især ender på en funktor, set som en distributør , svarer til underobjektet  (en), hvor handlingen til højre og handlingen til venstre falder sammen.

Definition

Lad og de kategorier , og er en bifunctor . Den ende af F i X er dataene: VS{\ displaystyle C}D{\ displaystyle D}F:VSos×VS→D{\ displaystyle F: C ^ {\ mathrm {op}} \ gange C \ til D}

• af et objekt e af D , associeret med
• extranaturelle en konvertering (undertiden kaldet "dinaturelle") Universal E til F .

Det er noteret

∫vs.:VSF(vs.,vs.).{\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c).}

Hvis codomain D er en komplet kategori  (in) , eksisterer alle de små grænser, og ligesom grænserne kan vi definere slutningen af F som equalizeren af diagrammet  :

∫vs.:VSF(vs.,vs.)⟶∏vs.:VSF(vs.,vs.)⇉∏vs.,vs.′:VSF(vs.,vs.′)VS(vs.,vs.′){\ displaystyle \ int _ {c: C} F (c, c) \ longrightarrow \ prod _ {c: C} F (c, c) \ rightrightarrows \ prod _ {c, c ': C} F (c, c ') ^ {C (c, c')}}

hvor den øverste morfisme er induceret af prækomposition og den nederste ved postkomposition . F(vs.,vs.)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c, c) \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}F(vs.′,vs.′)×VS(vs.,vs.′)→F(vs.,vs.′){\ displaystyle F (c ', c') \ times C (c, c ') \ rightarrow F (c, c')}

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">