Funktion (elementær matematik)

I elementær matematik er de fleste af funktionerne numeriske funktioner, men begrebet funktion er ikke begrænset til denne.

Den følgende artikel præsenterer nogle regler, du skal vide om funktioner.
Den numeriske artikelfunktion beskæftiger sig med numeriske funktioner i elementær matematik.
Artikelfunktionen (matematik) præsenterer dem generelt.

En funktion

En funktion er en relation, der for hver værdi af variablen x højst svarer til en (0 eller 1) værdi af y .

For at udtrykke at y afhænger af x , skriver vi: y = f ( x ).

Reglerne

Har et startsæt, der indeholder funktionsdefinitionssættet og et slutningssæt.

Til hvert element i denne definitionssæt matches en af dem i ankomstsættet.

I elementær matematik glemmer eleverne den første af disse regler (uanset hvor vigtig den er) ofte, fordi de foreslåede eksempler er begrænset til et par sæt naturlig start og mål i arbejdssammenhæng (sæt reelle tal til de numeriske funktioner, sæt af punkter på planet for punktfunktioner).

Det er dog stadig vigtigt.

Billede, fortilfælde

Hvis til et element , matcher vi et element : $på$ $b$

elementet kaldes billedet af ; $b$ $på$
varen kaldes en fortilfælde af . $på$ $b$

Eksempel : Med , vi har $f (x) = {\ sqrt {x}} - 1$ $x = 0,1,4,9$ $f (0) = - 1, \; f (1) = 0, \; f (4) = 1, \; f (9) = 2$

vil vi sige

1

er billedet af by

4

f

9

er en fortilfælde af by

2

f

Bemærk: ved en funktion kan det samme billede have flere fortilfælde. På den anden side har hver fortilfælde kun et billede.

Eksempler

En funktion er derfor et værktøj, der har et startsæt og et slutningssæt, hvilket gør elementerne i det første svarende til elementerne i det andet.

Eksempel 1

En funktion gør det muligt at omdanne et reelt tal til et andet for eksempel ved at anvende en række operationer på det, der skal forblive identisk for hvert nummer.

I dette tilfælde er startsættet , definitionssættet er det sæt realer, som rækkefølgen af operationer kan anvendes til, og slutningssættet er . $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R}$

Hvis rækkefølgen af operationer består af kvadrering, fratrækning af 4 og omvendt, opretter vi en funktion:

Starter sæt :; $\ mathbb {R}$
Definitionsdomæne: alle reelle tal er forskellige fra og ; $-2$ $2$
Ankomst sæt :; $\ mathbb {R}$
Korrespondance: til , vi forbinder . $x$ ${\ dfrac {1} {x ^ {2} -4}}$

Billedet af er , fortilfælde til er og . $3$ ${\ dfrac {1} {5}}$ ${\ dfrac {1} {5}}$ $3$ $-3$

Eksempel 2

En funktion gør det også muligt at knytte punkter til andre punkter fra geometriske overvejelser.

I dette tilfælde er startsættet sættet med punkter i planet (eller mellemrum), ankomstsættet er sættet med punkter i planet (eller mellemrum).

For eksempel, hvis A og B er to forskellige punkter, kan man knytte punktet N med ethvert punkt M, der ikke er placeret på (AB), således at AMBN er et parallelogram:

Startsæt: (planen); ${\ mathcal {P}}$
Definition sæt :; ${\ mathcal P} - (AB)$
Ankomst sæt :; ${\ mathcal {P}}$
Korrespondance: med M forbinder vi N således, at AMBN er et parallelogram.

Efternavn

Ofte benyttede funktioner ender med specifikke navne (sin, cos ...), andre kaldes f, g osv. Billedet af et element a for funktionen f betegnes derefter f (a) .

Bedømmelse

For at opsummere alle disse oplysninger bruger vi følgende skrivning

{\ begin {matrix} f: & D & \ rightarrow A \\ & x & \ mapsto y \\\ end {matrix}}

med y = f (x) hvor D repræsenterer startsættet og A slutningssættet.

Søgningen efter definitionsdomænet, hvis det er mindre end startsættet, skal stadig udføres.

Nogle gange er man tilfreds med den overdrevne skrivning y = f (x), mens man glemmer resten; dette kan undertiden føre til farlig forvirring, hvis vi forenkler for hurtigt, som Gottlob Frege påpegede i Hvad er en funktion? .

Subtelt eksempel: funktionen og funktionen er ikke de samme, da f er "forbudt for x = 0 ". $f: x \ mapsto y = x ^ {2} / x$ $g: x \ mapsto y = x$

Se også