Sfærisk Bessel-funktion
I analysen , de sfæriske Bessel funktioner er specialfunktioner konstrueret ud fra de Bessel funktioner konventionelle og er involveret i nogle problemer med en sfærisk symmetri .
De defineres af:
jikke(x)=π2xJikke+12(x),{\ displaystyle j_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} J_ {n + {1 \ over 2}} (x),}
yikke(x)=π2xYikke+12(x)=(-1)ikke+1π2xJ-ikke-12(x).{\ displaystyle y_ {n} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} Y_ {n + {1 \ over 2}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {\ sqrt {\ pi \ over 2x}} J _ {- n - {\ frac {1} {2}}} (x).}
Især svarer den til kardinal sinusfunktion :
j0{\ displaystyle j_ {0}}
j0(x)=sjegikkevs.(x)=synd(x)x.{\ displaystyle j_ {0} (x) = {\ rm {sinc}} (x) = {\ sin (x) \ over x}.}Vi kan også definere, på samme princip, de sfæriske Hankel-funktioner :
hikke(1)(x)=π2Hikke+12(1)(x)x=jikke(x)+jegyikke(x),{\ displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2}} {H_ {n + {1 \ over 2}}} ^ {(1)} (x) \ over {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) + {\ rm {i}} y_ {n} (x),}
hikke(2)(x)=π2Hikke+12(2)(x)x=jikke(x)-jegyikke(x).{\ displaystyle h_ {n} ^ {(2)} (x) = {\ sqrt {\ pi \ over 2}} {H_ {n + {1 \ over 2}} ^ {(2)} (x) \ over {\ sqrt {x}}} = j_ {n} (x) - {\ rm {i}} y_ {n} (x).}
Ejendomme
Vi kan definere sfæriske Bessel-funktioner ved hjælp af Rayleigh-formlen:
jikke(x)=(-x)ikke(1xddx)ikkesynd(x)x,{\ displaystyle j_ {n} (x) = (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} { \ sin (x) \ over x},}
yikke(x)=-(-x)ikke(1xddx)ikkecos(x)x.{\ displaystyle y_ {n} (x) = - (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} {\ cos (x) \ over x}.}
De genererende funktioner for de sfæriske Bessel-funktioner er:
∑ikke=0+∞tikkeikke!jikke-1(x)=cos(x2-2xt)x,{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (x) = {\ frac {\ cos ({ \ sqrt {x ^ {2} -2xt}}}} {x}},}
∑ikke=0+∞(-t)ikkeikke!yikke-1(x)=synd(x2+2xt)x.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-t) ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} (x) = {\ frac {\ sin ({\ sqrt {x ^ {2} + 2xt}})} {x}}.}
Disse funktioner er løsningerne på den radiale del af Helmholtz-ligningen i sfæriske koordinater , opnået ved at adskille variablerne:
x2d2ydx2+2xdydx+(x2-ikke(ikke+1))y=0.{\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {\ frac {dy} {dx}} + (x ^ {2} -n (n +1)) y = 0.}Relaterede artikler
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">