Naturlig frekvens

Stoffet i denne fysikartikel skal kontrolleres (december 2016).

Forbedre det eller diskuter ting, du skal kontrollere . Hvis du lige har anbragt banneret, bedes du angive de punkter, du skal kontrollere her .

Et systems naturlige frekvens er den frekvens, hvormed dette system svinger, når det er i fri udvikling, det vil sige uden ekstern excitatorisk kraft eller dissipative kræfter (f.eks. Friktion eller modstand). Denne opfattelse er grundlæggende for at forstå fænomenerne excitation, svingning og resonans . Det bruges i vid udstrækning inden for alle fysiske områder og finder konkrete anvendelser til design af ure , musikinstrumenter og inden for jordskælvsteknik .

Fra den naturlige frekvens f 0 trækker man den naturlige periode T 0 og den naturlige pulsering ω 0 :

{\ displaystyle T_ {0} = {\ frac {1} {f_ {0}}} \ \ {\ text {et}} \ \ \ omega _ {0} = 2 \ pi \, f_ {0}}

Almindelig sag

Begrebet naturlig frekvens er et ekstremt generelt studie af et system omkring en stabil ligevægtsposition. Hvis vi studerer ethvert system af potentiel energi afhængigt af en parameter, så opnår vi straks en harmonisk oscillator ved at linjere energien omkring en stabil position : $E_p$ $x$ $x_ {0}$

E(x)=Evs.(x)+Es(x)=m2(dxdt)2+E(x0)+på(x-x0)2+...,{\ displaystyle E (x) = E_ {c} (x) + E_ {p} (x) = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + E (x_ {0}) + a (x-x_ {0}) ^ {2} + ...,} ${\ displaystyle E (x) = E_ {c} (x) + E_ {p} (x) = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ frac {{\ mathrm d} x} {{ \ mathrm d} t}} \ right) ^ {2} + E (x_ {0}) + a (x-x_ {0}) ^ {2} + ...,}$

hvis svingningspulsation, der derefter kaldes naturlig pulsering, er givet af (frekvensen er givet af ). I tilfælde af et dæmpet system bevarer den naturlige frekvens al sin relevans, fordi det er den frekvens, som tabene er minimale for, man vil derefter tale om resonans. $\ omega = {\ sqrt {{\ frac {2a} {m}}}}$ $f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi}}$

Udtrykket " naturlig " frekvens kommer fra undersøgelsen af systemer med lineære ligninger, for hvilke egentilstande giver et naturligt grundlag for systemets løsninger. I tilfælde af et lineært system afhængigt af et antal parametre kunne man vise, at der således er egentilstande, der hver især er forbundet med en bestemt egenfrekvens. $IKKE$ $IKKE$

Mekanisk

Overvej et pendul, der består af et pendul, der kan svinge frit omkring en vandret akse. I tilfælde af den ideelle oscillator er der ingen friktion. Vi kan modellere pendulet med en punktmasse ophængt i enden af en uudvidelig ledning og med nul masse (simpelt pendul). De resulterende ligninger er identiske i deres matematiske form, og denne model er tilstrækkelig til at forstå princippet om et pendulur. Hvis vi studerer bevægelsen af pendulet i tilfælde af det virkelige pendul, giver vinkelmoment sætningen:

dLdt=MΔ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} _ {\ Delta}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mathrm d} {\ mathbf {L}}} {{\ mathrm d} t}} = {\ mathbf {M}} _ {\ Delta}}

$L$ :balancens vinkelmoment
$M Δ$ : kræftmoment i forhold til aksen $\ Delta$

med hvilket er faststoffets inertimoment i forhold til aksen , er dets rotationsvinkelhastighed og $u$ $Δ$ enhedsvektoren kollinær . ${\ mathbf {L}} = I \ omega {\ mathbf {u}} _ {\ Delta}$ $jeg$ $\ Delta$ $\ omega$ $\ Delta$

Momentet af kræfterne i forhold til aksen , i fravær af friktion, reduceres til vægten af vægten, vi har: $\ Delta$

M=rG∧P=-påmgsynd⁡θuΔ{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} _ {G} \ wedge \ mathbf {P} = -amg \ sin \ theta \ mathbf {u} _ {\ Delta}}

{\ displaystyle {\ mathbf M} = {\ mathbf r} _ {G} \ wedge {\ mathbf P} = - amg \ sin \ theta {\ mathbf u} _ {\ Delta}}

Vi får derefter ligningen

jegθ¨+mgpåsynd⁡θ=0{\ displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + behandling \ sin \ theta = 0}

{\ displaystyle I {\ ddot \ theta} + mga \ sin \ theta = 0}

dermed med .

{\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0

\ omega _ {0} ^ {2} = mga / I

Undersøgelsen af et materiale punkt ophængt i slutningen af en lang tråd giver $l$

θ¨+ω02synd⁡θ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ sin \ theta = 0}

med opnår man en ligning, der er matematisk identisk med den, man opnår i tilfælde af balanceens bevægelse, hvilket retfærdiggør at blive reduceret til tilfældet med en punktmasse, der er ophængt i enden af en ledning for at forstå princippet om ure med pendul.

\ omega _ {0} ^ {2} = g / l

I det ideelle tilfælde begrænser vi os til små svingninger i pendulet i nærheden af dets ligevægtsposition, dvs. hvilket giver: $\ sin \ theta \ simeq \ theta$

θ¨+ω02θ=0{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} + \ omega _ {0} ^ {2} \ theta = 0}

{\ displaystyle {\ ddot \ theta} + \ omega _ {0} ^ {2} \ theta = 0}

Elektronisk

Det mest almindelige eksempel er kvartsuret . For at forstå princippet om et kvartsur er det nødvendigt at undersøge dets væsentlige komponent: en kvartsstrimmel placeret mellem to elektroder. En kvartsstrimmel, der udsættes for mekanisk kompression, ser en spænding vises ved dens terminaler og omvendt (se piezoelektricitet ). Kvarts svarer til et kredsløb , , serie ( , og afhænger kun af de fysiske egenskaber af kvarts) anbragt i parallel med en kondensator , som svarer til den kapacitet, som skabes af de to elektroder, som omslutter det stykke af kvarts. I det ideelle tilfælde antages det, at der ikke er noget tab af energi, det vil sige at: $L$ $R$ $C_1$ $L$ $R$ $C_1$ $C_2$ ${\ displaystyle R \ simeq 0}$

Det "ideelle" kredsløb er derefter et simpelt kredsløb , hvor kapaciteten svarende til og i serie verificerer: $L$ $VS$ $VS$ $C_1$ $C_2$

1VS=1VS1+1VS2{\ displaystyle {\ frac {1} {C}} = {\ frac {1} {C_ {1}}} + {\ frac {1} {C_ {2}}}} ${\ displaystyle {\ frac 1C} = {\ frac 1 {C_ {1}}} + {\ frac 1 {C_ {2}}}}$

Ligningen svarende til denne situation er skrevet:

jeg¨+ω02jeg=0{\ displaystyle {\ ddot {I}} + \ omega _ {0} ^ {2} I = 0}

{\ displaystyle {\ ddot I} + \ omega _ {0} ^ {2} I = 0}

for intensitet og

U¨+ω02U=0{\ displaystyle {\ ddot {U}} + \ omega _ {0} ^ {2} U = 0}

{\ displaystyle {\ ddot U} + \ omega _ {0} ^ {2} U = 0}

til spændingen ved terminalerne på , $L$ $VS$

ω0=1LVS{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac 1 {{\ sqrt {LC}}}}

Syntese

Løsningerne af ligningerne for penduluret såvel som for kvartsuret er af samme form:

θ=θ0synd⁡(ω0t+φ){\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle \ theta = \ theta _ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

til det "ideelle" mekaniske pendul og

jeg=jeg0synd⁡(ω0t+φ){\ displaystyle I = I_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle I = I_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

U=U0synd⁡(ω0t+φ){\ displaystyle U = U_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

{\ displaystyle U = U_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t + \ varphi)}

for et kredsløb , uden energitab.

L

VS

Perioden er . Den naturlige frekvens af systemets svingninger afhænger ikke af deres amplitude, men kun af oscillatorens egenskaber (og i tilfælde af pendulet): $T = 2 \ pi / \ omega _ {0}$ $\ omega_0$ $g$

v0=ω02π{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}} ${\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}}}$

Noter og referencer

IEC 60050 “ Svingninger, signaler og relaterede enheder. Frekvenser. 702-01-07 "naturlig frekvens" " .

Tillæg

Bibliografi

International Electrotechnical Commission , International Electrotechnical Wocabulary] (IEC 60050) ,2019( 1 st ed. 1987) ( læselinie ).
Jacques Jouhaneau, Elementary Notions of Acoustics, 2. udgave, 5.1 og 5.2, CNAM, TEC & DOC, 2000

eksterne links

Bestemmelse af en af de naturlige frekvenser i et system

Relaterede artikler

Artikler om forholdet mellem naturlig frekvens og resonans