Gudermann-funktion

I matematik , den Gudermann funktionen , også nogle gange kaldet Gudermannian , og bemærkede gd , opkaldt til ære for Christoph Gudermann , gør forbindelsen mellem cirkulære trigonometri og hyperbolske trigonometri uden at involvere komplekse tal .

Definition

Gudermann-funktionen er defineret på sættet af realer af:

gd(t)=∫0tdukoselig⁡u=bueskind⁡(tanh⁡t)=skilt⁡(t)⋅arccos⁡(sech⁡t) =arctan⁡(sinh⁡t)=skilt⁡(t)⋅buesek⁡(koselig⁡t)=arccot⁡(csch⁡t)=arccsc⁡(coth⁡t)=2arctan⁡(tanh⁡t2)=2arctan⁡et-π2.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ operatorname {gd}} (t) & = \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ cosh u}} \\ & = \ arcsin \ left (\ tanh t \ right) = \ operatorname {sign} (t) \ cdot \ arccos \ left (\ operatorname {sech} t \ right) \ \\ & = \ arctan \ left (\ sinh t \ right) = \ operatorname {sign} (t) \ cdot \ operatorname {arcessec} \ left (\ cosh t \ right) \\ & = \ operatorname {arccot} \ left (\ operatorname {csch} t \ right) = \ operatorname {arccsc} \ left (\ coth t \ right) \\ & = 2 \ arctan \ left (\ tanh {\ frac {t} {2}} \ right) = 2 \ arctan e ^ {t} - {\ frac {\ pi} {2}}. \ slut {justeret}}}

Den virkelige , undertiden kaldet Gudermannian af , er knyttet til sidstnævnte af forholdene: θ=gd⁡(t){\ displaystyle \ theta = \ operatorname {gd} (t)}t{\ displaystyle t}

synd⁡θ=tanh⁡t ;cos⁡θ=1koselig⁡t=sech⁡t ;tan⁡θ=sinh⁡t ;tan⁡θ2=tanh⁡t2.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ sin \ theta} & = \ tanh t ~; \ quad \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ cosh t}} = \ operatorname {sech} t ~; \\\ tan \ theta & = \ sinh t ~; \ quad \ tan {\ frac {\ theta} {2}} = \ tanh {\ frac {t} {2}}. \ end {justeret}}}

Den derivat af Gudermann funktionen er givet ved . t↦θ{\ displaystyle t \ mapsto \ theta}dθdt=1koselig⁡t=cos⁡θ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ cosh t}} = \ cos \ theta}

Gudermann-funktionen er derfor løsningen, der forsvinder ved 0 af differentialligningen . y′=cos⁡y{\ displaystyle y '= \ cos y}

Gensidig funktion

Den gensidige funktion af Gudermann-funktionen er defineret af: ]-π/2,π/2[{\ displaystyle] - \ pi / 2, \ pi / 2 [}

arcgd⁡(θ)=gd-1(θ)=∫0θducos⁡u,=argtanh⁡synd⁡θ=skilt⁡(θ)⋅argcosh⁡1cos⁡θ,=ln⁡(tan⁡θ+1cos⁡θ)=ln⁡(tan⁡(θ2+π4)),=12ln⁡1+synd⁡θ1-synd⁡θ.{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {arcgd} (\ theta) & = {\ rm {gd}} ^ {- 1} (\ theta) = \ int _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ cos u}}, \\ & = \ operatorname {argtanh} \ sin \ theta = \ operatorname {sign} (\ theta) \ cdot \ operatorname {argcosh} {\ frac { 1} {\ cos \ theta}}, \\ & = {} \ ln \ left (\ tan \ theta + {\ frac {1} {\ cos \ theta}} \ right) = \ ln \ left (\ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} + {\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ right), \\ & = {} {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {1+ \ sin \ theta} {1- \ sin \ theta}}. \ end {justeret}}}

Afledningen af ​​denne gensidige funktion er givet af . θ↦t{\ displaystyle \ theta \ mapsto t}dtdθ=1cos⁡θ=koselig⁡t{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {1} {\ cos \ theta}} = \ cosh t}

Den gensidige funktion af Gudermann-funktionen er derfor løsningen, der forsvinder ved 0 af differentialligningen . y′=koselig⁡y{\ displaystyle y '= \ cosh y}

Ansøgninger

• Mercator- koordinaterne for et punkt på sfæren er defineret af og .x=loikkegjegtude{\ displaystyle x = længdegrad}y=gd-1⁡(lpåtjegtude){\ displaystyle y = \ operatorname {gd} ^ {- 1} (breddegrad)}

De er således defineret således, at de geodætiske linjer af kuglen er repræsenteret af lige linjer i planet . x,y{\ displaystyle x, y}

• Ændringen af ​​variabel gør det muligt at omdanne integraler af cirkulære funktioner til integraler af hyperbolske funktioner; for eksempel .θ=gd⁡(t){\ displaystyle \ theta = \ operatorname {gd} (t)}∫0π/2cosikke⁡θ.dθ=∫0+∞dtkoseligikke+1⁡t{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ cos ^ {n} \ theta. \ mathrm {d} \ theta} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ cosh ^ {n + 1} t}}}
• Dette forklarer, hvorfor vi kan vælge cirkulære eller hyperbolske funktioner, når vi ændrer variabler i beregningen af ​​integraler:
  • når vi støder på du , bruger vi eller , og vi bruger også eller  ;1-x2{\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}x=cos⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta}x=1koselig⁡t{\ displaystyle x = {\ frac {1} {\ cosh t}}}x=synd⁡θ{\ displaystyle x = \ sin \ theta}x=tanh⁡t{\ displaystyle x = \ tanh t}
  • når vi møder du , bruger vi eller .1+x2{\ displaystyle {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}x=tan⁡θ{\ displaystyle x = \ tan \ theta}x=sinh⁡t{\ displaystyle x = \ sinh t}
• Parametrering af en cirkel eller en hyperbolsk linje. Hvis vi indstiller , har vi naturligvis en parametrering af halvcirklen med radius 1 i halvplanet  ; er den krumlinjære afstand i det euklidiske halvplan mellem punktet og punktet og er også en afstand, men målt mellem disse to punkter i halvplanet betragtes som et Poincaré-halvplan for hyperbolsk geometri .{x=cos⁡θ=1koselig⁡ty=synd⁡θ=tanh⁡t{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {align} x & = \ cos \ theta = {\ frac {1} {\ cosh t}} \\ y & = \ sin \ theta = \ tanh t \ end {align}} \ end {cases}}}x>0{\ displaystyle x> 0}θ{\ displaystyle \ theta}(x,y){\ displaystyle (x, y)}(1,0){\ displaystyle (1,0)}t{\ displaystyle t}

Se også

• Mercator-projektion
• Jacobi elliptiske funktioner

Referencer

• (en) CRC Handbook of Mathematical Sciences 5. udg. s. 323–5.

• (fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Gudermannian-funktion  " ( se forfatterlisten ) .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">