Cylindrisk harmonisk
I matematik er cylindriske harmoniske et sæt lineært uafhængige løsninger af Laplace-differentialligningen.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial V} { \ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
udtrykt i cylindriske koordinater ρ (radius), φ (azimuth) og z (dimension). Hver funktion V n ( k ) er produktet af tre udtryk, hver afhængigt kun på den ene koordinat. Udtrykket afhængig af ρ udtrykkes med Bessel-funktioner (som undertiden også kaldes cylindriske harmoniske).
Definition
Hver funktion V n ( k ) er udtrykt som produktet af tre funktioner:
Vikke(k;ρ,φ,z)=Pikke(k,ρ)Φikke(φ)Z(k,z){\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
med ( ρ , φ , z ) er de cylindriske koordinater, og n og k er konstanter, der adskiller sættets medlemmer. Som et resultat af det anvendte overlejringsprincip i Laplace-ligningen kan generelle løsninger til Laplace-ligningen opnås ved lineære kombinationer af disse funktioner.
Da alle overflader for ρ , φ eller z er koniske, kan Laplace-ligningen adskilles i cylindriske koordinater. Ved teknikken til adskillelse af variabler kan en opløsning adskilt fra Laplace-ligningen skrives:
V=P(ρ)Φ(φ)Z(z){\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
og ved at dividere Laplace-ligningen med V forenkler den sig selv i:
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
Udtrykket i Z afhænger kun af z og skal derfor være lig med en konstant:
Z¨Z=k2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
hvor k generelt er et komplekst tal . For en given værdi på k har Z to lineært uafhængige løsninger.
- hvis k er ægte, kan vi skrive:
Z(k,z)=koselig(kz) ou sinh(kz){\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {eller} \ \ sinh (kz) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {eller} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
eller, afhængigt af dets adfærd ad infinitum:
Z(k,z)=ekz ou e-kz{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {eller} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=cos(|k|z) ou synd(|k|z){\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {eller} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {eller} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
eller:
Z(k,z)=ejeg|k|z ou e-jeg|k|z{\ displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {eller} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Vi kan bemærke, at funktionerne Z ( k , z ) er kernerne i Fourier-transformation eller Laplace-transformation af funktionen Z ( z ), og k kan således være en diskret variabel for periodiske grænsebetingelser eller en kontinuerlig variabel for ikke-periodiske kantforhold.
Vi erstatter k 2 for , vi har nu:
Z¨/Z{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
P¨P+1ρP˙P+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Ved at gange med ρ 2 kan vi adskille funktionerne P og Φ og indføre en ny konstant n af årsager svarende til k for udtrykket afhængigt af φ :
Φ¨Φ=-ikke2{\ displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2P¨P+ρP˙P+k2ρ2=ikke2{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Da φ er periodisk, kan vi tage n positivt, og derfor betegner vi løsningerne Φ ( φ ) med indekser. De virkelige løsninger til Φ ( φ ) er
Φikke=cos(ikkeφ) ou synd(ikkeφ){\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {eller} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {eller} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
eller ækvivalent:
Φikke=ejegikkeφ ou e-jegikkeφ{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {eller} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {eller} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Der forbliver udtrykket P ( ρ ) , der følger Bessel-ligningen .
- hvis k er nul, men ikke n , er løsningerne:
Pikke(0,ρ)=ρikke ou ρ-ikke{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {eller} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {eller} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- hvis k og n begge er ikke-nul, er løsningerne:
P0(0,ρ)=lnρ ou 1{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {eller} \ 1 \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {eller} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- hvis k er et reelt tal, kan vi skrive en reel løsning i form:
Pikke(k,ρ)=Jikke(kρ) ou Yikke(kρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {eller} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {eller} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
med J n ( z ) og Y n ( z ) , almindelige Bessel-funktioner.
- hvis k er et imaginært tal, kan vi skrive en reel løsning i form:
Pikke(k,ρ)=jegikke(|k|ρ) ou Kikke(|k|ρ){\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {eller} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {eller} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
med
I n ( z ) og
K n ( z ) , modificerede Bessel-funktioner.
De cylindriske harmoniske for ( k , n ) er derfor produktet af disse løsninger, og den generelle løsning på Laplace's ligning er en lineær kombination af dem:
V(ρ,φ,z)=∑ikke∫dkPÅikke(k)Pikke(k,ρ)Φikke(φ)Z(k,z){\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
hvor A n ( k ) er konstanter afhængigt af den cylindriske form og af summen og integralets grænser, givet af problemets randbetingelser. Visse tilfælde af randbetingelser gør det muligt at erstatte integralen med en diskret sum. Ortogonalitet af J n ( x ) er ofte nyttigt at finde løsningen i et konkret tilfælde. Funktionerne Φ n ( φ ) Z ( k , z ) er i det væsentlige Fourier- eller Laplace-udvidelser og danner et sæt ortogonale funktioner. For tilfældet P n ( kρ ) = J n ( kρ ) gør ortogonaliteten af J n med ortogonalitetsforholdene mellem Φ n ( φ ) og Z ( k , z ) det muligt at bestemme konstanterne.
Ved at bemærke { x k } de positive nuller for J n har vi:
∫01Jikke(xkρ)Jikke(xk′ρ)ρdρ=12Jikke+1(xk)2δkk′{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
I problemløsning kan rummet opdeles i et endeligt antal underrum, så længe potentialets værdier og dets afledte matcher langs en grænse uden kilde.
Eksempel: Kildepunkt i et ledende cylindrisk rør
Vi søger at bestemme potentialet for en punktkilde placeret ved ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) i et ledende cylindrisk rør (som en tom dåse) afgrænset af de to plan z = ± L og på kanterne af cylinderen ρ = a . (I MKS-enheder antager vi q / 4π ε 0 = 1 ). Da potentialet er afgrænset af planerne på z- aksen , kan funktionen Z ( k , z ) antages at være periodisk. Potentialet skal være nul ved oprindelsen, vi tager P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , således at en af dens nuller er på den begrænsende cylinder. For et målepunkt under kildepunktet på z- aksen vil potentialet være:
V(ρ,φ,z)=∑ikke=0∞∑r=0∞PÅikkerJikke(kikkerρ)cos(ikke(φ-φ0))sinh(kikker(L+z))z≤z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
med k nr en , den r e nul af J n ( z ) , og ved de ortogonalitetsegenskaber forbindelser for hver funktion:
PÅikker=4(2-δikke0)på2sinhkikker(L-z0)sinh2kikkerLJikke(kikkerρ0)kikker[Jikke+1(kikkerpå)]2{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
Over kildepunktet har vi:
V(ρ,φ,z)=∑ikke=0∞∑r=0∞PÅikkerJikke(kikkerρ)cos(ikke(φ-φ0))sinh(kikker(L-z))z≥z0{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
PÅikker=4(2-δikke0)på2sinhkikker(L+z0)sinh2kikkerLJikke(kikkerρ0)kikker[Jikke+1(kikkerpå)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Vi finder det for ρ = a eller | z | = L , funktionen annulleres. Vi kan også kontrollere, at værdierne af de to opløsninger og deres derivater falder sammen for z = z 0 .
Kildepunkt i et uendeligt ledende cylindrisk rør
Vi fjerner randbetingelserne i z ( L → ). Løsningen bliver derefter:
V(ρ,φ,z)=∑ikke=0∞∑r=0∞PÅikkerJikke(kikkerρ)cos(ikke(φ-φ0))e-kikker|z-z0|{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
PÅikker=2(2-δikke0)på2Jikke(kikkerρ0)kikker[Jikke+1(kikkerpå)]2.{\ displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Kildepunkt i ledig plads
Vi fjerner også randbetingelserne ved ρ ( a → ∞ ). Summen over nuller på J n ( z ) bliver en integral, og så kommer feltet af et kildepunkt i et uendeligt frit rum:
V(ρ,φ,z)=1R=∑ikke=0∞∫0∞PÅikke(k)Jikke(kρ)cos(ikke(φ-φ0))e-k|z-z0|dk{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
PÅikke(k)=(2-δikke0)Jikke(kρ0){\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
og R er afstanden fra kildepunktet til målepunktet:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0cos(φ-φ0).{\ displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Kildepunkt i ledig plads ved oprindelsen
Endelig retter vi ρ 0 = z 0 = 0 . Han kommer så
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)e-k|z|dk.{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Se også
Bemærkninger
-
Smythe 1968 , s. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Denne sag er undersøgt i Smythe 1968
Referencer
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">