Homologi (geometrisk transformation)

I projektiv geometri er en homologi en projektiv bijektiv transformation (også kaldet homografi), der indrømmer et hyperplan af faste punkter og et fast punkt uden for dette hyperplan, en opstemthed er en projektiv transformation med et hyperplan af faste punkter, men intet andet fast punkt . Hyperplanet kaldes både base eller akse for både homologi og ophidselse.

I tilfælde af en homologi kaldes det eksterne faste punkt homologens centrum eller toppunkt . Alle linjer, der passerer gennem en homologispids, er uforanderlige gennem den, da de passerer gennem to faste punkter. I tilfælde af en opstemning viser vi, at der findes et punkt i hyperplanet, således at alle linjer, der passerer gennem dette punkt, er globalt uændrede af opstemtheden, og dette punkt kaldes ophidsets centrum eller toppunkt .

Nogle gange kaldes alle de projektive transformationer, der har et hyperplan af faste punkter, homologier, dvs. ud over homologierne som defineret ovenfor, bliver elationerne bestemte homologier, hvis toppunkt er placeret på basen.

Homologierne (i begrænset forstand) er de projektive transformationer induceret af en udvidelse , elationerne er dem, der induceres af en transvektion . I endelig dimension, ligesom udvidelser og transvektioner af et vektorrum E genererer den generelle lineære gruppe af E , genererer homologierne og elationerne i et projektivt rum P ( E ) den lineære projektive gruppe af E , som er gruppen af projektive transformationer af P ( E ).

Definitioner

Den projektiv plads P ( E ) kan defineres som den sæt, hvis punkter er vektoren linjer vektorrummet E . En projektiv transformation af P ( E ), som fikserer punkt for punkt, den projicerende hyperplan H = P ( H ) er en projektiv transformation induceret af en lineær transformation f, der holder hver linje af H , vektor hyperplan af E , dvs. siger, at alle vektorerne af H er egenvektorer af f . Begrænsningen af f til H er derefter en homotitet med ikke-nul-forholdet, og ved at dividere f med dette forhold, hvis det er nødvendigt , hvilket inducerer den samme projektive transformation, kan vi antage, at begrænsningen af f til H er identiteten.

Sådanne lineære transformationer af vektorrummet E, som har et hyperplan af faste punkter, er enten diagonaliserbare og kaldes dilatationer eller er ikke diagonaliserbare, har derfor 1 til kun egenværdi og kaldes transvektioner . I en begrænset dimension findes der et grundlag, hvor matrixen for f skrives,

hvis f er en udvidelse

${\ begin {bmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ prikker && \\ &&& 1 & \\ &&&& \ lambda \ end {bmatrix}}$

hvis f er en transvektion

${\ begin {bmatrix} 1 &&&& \\ & 1 &&& \\ && \ ddots && \\ &&& 1 & 1 \\ &&&& 1 \ end {bmatrix}}$ .

En projektiv transformation af P ( E ) med et hyperplan af faste punkter er derfor

enten induceret af en vektordilatation af E , sådan en projektiv transformation, kaldes homologi ,
enten induceret af en vektortransvektion af E , kaldes en sådan projektiv transformation en elation .

Elationerne betragtes undertiden som bestemte homologier, homologierne i P ( E ) er så alle de projektive transformationer, der har et hyperplan af faste punkter. I denne sammenhæng kan homologier induceret af en udvidelse kaldes generelle homologier, og elationerne specielle homologier.

Homologier

En homologi induceret af en hyperplan-udvidelse H har et fast punkt S uden for H = P ( H ), der svarer til en linje med egenvektorer associeret med λ-udvidelsesforholdet (det tilknyttede egenunderrum så snart λ ≠ 1). Dette faste punkt kaldes toppunkt eller centrum for homologi, H , hyperplan af faste punkter, kaldes base eller akse for homologi, vi taler også om H- akse-homologi og S- center . Hvis homologi er ikke identiteten er den eneste faste punkt uden H .

I dimension ≥ 2 bestemmes homologien af aksen H , toppunktet S , et punkt A uden for H og adskiller sig fra S og dets billede A ' (på linjen ( SA )). Faktisk er det så muligt at konstruere billedet af ethvert punkt i P ( E ).

Lad M være et punkt i P ( E ), der adskiller sig fra S og uden for H og linjen ( SA ). Alle linjer, der passerer S, er globalt uændrede, fordi de krydser H og derfor passerer gennem to faste punkter. Er N skæringspunktet af den lige linje ( AM ) og H . Dette punkt er fast, billedet af linjen ( AM ) er linjen ( A'N ). Billedet M ' af M er derfor ved skæringspunktet mellem linjen ( A'N ) og linjen ( SM ), begge i samme plan, som bestemmer M'.
Hvis M er på linjen ( SA ) opnår vi billedet ved at passere gennem et eksternt punkt og ved at anvende den tidligere konstruktion to gange.

Lad A 0 skæringspunktet mellem linjen ( SA ) og hyperplan H , M 0 skæringspunktet mellem den rette linje ( SM ) og H . Cross-forholdet [ S , A 0 , A , A ' ] = [ S , M 0 , M , M' ] er uafhængigt af valget af punktet M . Det kaldes relativ eller krydsforhold for homologi. I dimension ≥ 2 bestemmes en homologi af dens akse, dens centrum og dens tværforhold.

Især i en homologi med et kryds forhold lig med -1, punkterne S , M 0 , M , M ' er i harmoniske division . En sådan homologi bærer navnet harmonisk homologi , det er en involutiv homologi . Dette er de eneste involutive homologier.

Valg

Lad v være en ikke-nul-vektor i retningen af transvektionen f , vi har en bestemt lineær form a og x ∈ E

f ( x ) = x + a ( x ) v

Vi kalder toppunktet eller centrum af elationen induceret af f punktet på P ( E ) svarende til retningen af transvektionen f , det vil sige linien med retningsvektor v. Vektorerne x , v og f ( x ) er i samme plan, hvilket reflekteres projektivt af det faktum, at ophøjelsen af et højdepunkt, et punkt og dets billede er justeret, det vil sige, at linjerne, der går gennem højdepunktet, er globalt uforanderlig.

En ophøjelse bestemmes af dens base H , et punkt A uden for H og dets billede A '. Konstruktionen af billedet M ' af et punkt M er analog med det, der udføres i tilfælde af homologi.

Centerkarakterisering

Linjer, der passerer gennem midten af en homologi eller gennem centrum af en ophidselse, er globalt uforanderlige gennem den. Denne egenskab er karakteristisk:

en homografi er en homologi eller en ophidselse, hvis og kun hvis den har et fast punkt, således at linjerne, der passerer gennem dette punkt, er globalt uforanderlige .

I affin geometri

Lad h være en homologi eller ophøjelse af det projicerende rum P ( E ). Den projicerende struktur inducerer på komplementet af et hyperplan af P ( E ) en affin rumstruktur, hvor hyperplanet siges at være hyperplan ved uendelig af dette affine rum. Hvis dette hyperplan er stabilt med h , er begrænsningen af h til komplementet et affint kort. De eneste hyperplaner, der er stabile ved homologi eller en tydelig identitetsforbedring, er basehyperplanet og hyperplanerne, der passerer gennem toppunktet.

I tilfælde af en homologi er krydsforholdet som defineret ovenfor en kvotient af to forhold af algebraiske mål , dvs.

[S, A, A_ {0}, A, A '] = {\ frac {\ overline {AS}} {\ overline {AA_ {0}}}}: {\ frac {\ overline {A'S}} {\ overline {A'A_ {0}}}}.

Det grundlæggende hyperplan som et uendeligt hyperplan

Det projicerende hyperplan H, som er grundlaget for homologien eller elationen h, er åbenbart stabil af h . Den komplementære E 1 af H er forsynet med en struktur af affin plads, således at de parallelle linier i E 1 er de rette linjer P ( E ) skærer hinanden i et punkt H . Begrænsningen af h til E 1 er da en affin kort der omdanner en linje i en parallel linje, og derfor:

begrænsningen af en homologi eller elation til det komplementære affine rum i dets base hyperplan er en homøthet eller en oversættelse .

Mere præcist

begrænsningen til komplementet af dets basehyperplan af en homologi af center S i forholdet λ er en homotitet i centrum S og i det omvendte forhold 1 / λ.
begrænsningen af komplementet til dets basehyperplan af en elation er en translation (toppunktet for elation er ved uendelig).

Homologierne i forholdet -1 kaldet harmoniske har for begrænsning en central symmetri.

Topmødet er uendeligt

En hyperplan H ∞ passerer gennem toppunktet S af homologi h hyperplan H er stabil h , da det er genereret ved S og skæringspunktet med H . Tilsvarende en hyperplan H ∞ går gennem toppunktet af en opstemthed h af hyperplan H , denne hyperplan H ∞ er forskellig fra H , er stabil ved h , der genereres af en linje af hyperplan passerer gennem S og skæringspunktet med H .

I begge tilfælde begrænsningen til den komplementære affine rum H ∞ er derfor en affin transformation.

begrænsningen til komplementet af et hyperplan H ∞, der passerer gennem S i en homologi med centrum S , akse H og forholdet λ er en udvidelse med aksen H og det omvendte forhold λ.
begrænsning komplementet af en hyperplan H ∞ gennem S et center opstemthed S -aksen og H er en transvektion aksen H .

Eksempel, hvor ansøgningen ikke er affineret

I de andre tilfælde bevarer den anvendte anvendelse ved begrænsning ikke paralleliteten og er ikke affineret. For eksempel hvis planet K 2 ses som en affin hyperplan af ligning Z = 1 i K 3 , homologien ( x , y ) ↦ ( x ' y' ) af aksen x-aksen, med centrum (0, en ) ( a ≠ 0) og forholdet λ induceres derfor af basisplanvektordilatationen ((1,0,1), (0,0,1)), hvor en egenvektor for den korrekte værdi λ er (0, a , 1). På det kanoniske grundlag er matrixen derfor

\ left ({\ begin {matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ lambda & 0 \\ 0 & {\ frac {\ lambda -1} {a}} & 1 \ end {matrix}} \ højre)

det er en homogen matrix af applikationen, og den udtrykkes af formlerne i homogene koordinater :

{\ begin {matrix} X '= \ aX \\ Y' = \ lambda aY \\ Z '= aZ + (\ lambda -1) Y \ end {matrix}}

Ved begrænsning af den affine plan K 2 ansøgningen er derfor defineret til + (λ -1) y ≠ 0 ved

{\ begin {matrix} x '= \ {a \ over {a + (\ lambda -1) y}} x \\ y' = \ lambda {a \ over {a + (\ lambda -1) y}} y \ end {matrix}}.

Homologi efter perspektiv

Lad os fordybe det euklidiske rum i dimension n som et hyperplan i et rum med dimension n +1 og roterer omkring dets hyperplan for at få en kopi af det .

I}\,

E _ {{n + 1}} \,

I}\,

H \,

{\ tilde E} _ {n} \,

Hvert punkt på har en kopi i , derfor også billedet af en base- og centerprojektiv homologi af den projektive færdiggørelse af . $M \,$ $I}\,$ ${\ tilde M}$ ${\ tilde E} _ {n} \,$ $M '\,$ $M \,$ $H \,$ $O \,$ $I}\,$

Vi viser, at linjerne forbinder for at passere gennem et fast punkt , så kortet er begrænsningen af en

central projektion af centrum S.

M \,

{\ tilde M} '

S \,

M \ rightarrow {\ tilde M} '

Vi bemærker, at der er på linjen, der passerer gennem og vinkelret på halveplanet for og . $S \,$ $O \,$ $I}\,$ ${\ tilde E} _ {n} \,$

Homologiske tal

To figurer siges at være homologiske, hvis de er billeder af hinanden ved homologi. Dette udgør en generalisering af forestillingen om homotetiske figurer .

For eksempel to trekanter og er homologiske, hvis der bortset fra permutation findes en homologi, der sender en , en , en ; dette svarer til de lige linjer og er samtidige (i centrum af homologien); og dette er også ækvivalent med det faktum, at skæringspunkterne af linjerne og , og , og tilhører det samme hyperplan (bunden af homologi). Ækvivalensen mellem disse to sidste egenskaber udgør Desargues 'sætning . $(ABC)$ $(ABC ')$ $PÅ$ $PÅ'$ $B$ $B '$ $VS$ $VS '$ $(AA '), (BB')$ $(CC ')$ $(AB)$ $(A'B ')$ $(BC)$ $(B'C ')$ $(DET)$ $(DET')$

Biaxial homologi

Biaxiale homologier er homografier i dimension 3 med to ikke-planke linjer dannet af faste punkter . De er derfor ikke homologier i den generelle forstand, der er givet her.

Konstruktionen af billedet af et punkt sker simpelthen takket være følgende egenskab: Hvis og er de unikke respektive punkter af og sådan, der er justeret, er krydsforholdet konstant lig med ; den homogene matrix i en projektiv ramme, hvis første to punkter på og den anden to er på er: . $M '$ $M$ $H$ $H '$ $D$ $Af$ $H, H ', M$ $(H, H ', M, M')$ $\ lambda$ $D$ $Af$ ${\ begin {bmatrix} \ lambda &&& \\ & \ lambda && \\ && 1 & \\ &&& 1 \ end {bmatrix}}$

Biaxiale homologier kan også ses som de projicerende færdiggørelser af grundlæggende lige affiniteter .

Referencer

For eksempel Ladegaillerie 2003 , s. 142.
For eksempel Fresnel 1996 , s. 72.
Sidler 2000 , s. 38-40.
Ladegaillerie 2003 , s. 143.
Ladegaillerie 2003 , s. 144.
Ladegaillerie 2003 , s. 142-143.

Bibliografi

Jean Fresnel , moderne metoder i geometri , Paris, Hermann ,1996, 408 s. ( ISBN 2-7056-1437-0 ).
Yves Ladegaillerie , geometri: affin, projektiv, euklidisk og anallagmatisk , Paris, ellipser ,2003, 515 s. ( ISBN 2-7298-1416-7 ).
Jacqueline Lelong-Ferrand , Fundamenter for geometri , Paris, PUF ,1985, 287 s. ( ISBN 2-13-038851-5 ).
Jean-Claude Sidler , projektiv geometri: lektioner, øvelser og korrigerede problemer , Paris, Dunod ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1993), 206 s. ( ISBN 2-10-005234-9 )