Involution (matematik)

I matematik er en involution en bijektiv applikation, som er dens egen gensidige , det vil sige, hvormed hvert element er billedet af dets billede. Dette er f.eks. Tilfældet med ændringen af tegnet i sættet med reelle tal eller af symmetrierne for planet eller af rummet i euklidisk geometri . I lineær algebra , involutional endomorphisms kaldes også symmetrier.

Inddragelser forekommer inden for mange områder af matematik, især inden for kombinatorik og topologi . En involution kan også være forbundet med et fænomen af dualitet .

Formel definition

Vi siger, at en applikation er involutiv (eller at det er en involution af E ) hvis for alt . Med andre ord : den sammensatte af f med sig selv er den identitet kortet over E . ${\ displaystyle f: E \ til E}$ ${\ displaystyle f (f (x)) = x}$ $x \ i E$ ${\ displaystyle f \ circ f = \ mathrm {id} _ {E}}$

Ejendomme

Et kort f af E i sig selv er en involution, hvis og kun hvis det er bindende og sådan, at f −1 = f (billedet og antecedenten for ethvert element i E falder sammen).

Den Forbindelsen g ∘ f af to involutions f og g af E er involutive hvis og kun hvis f og g pendler , dvs. hvis f ∘ g = g ∘ f .

Lad f være en involution af E :

hvis g er en sammenhæng fra E til F , med gensidig vedigelse g −1 , så er g ∘ f ∘ g −1 en involution af F ;
hvis g er en kortlægning af E i E som g ∘ f ∘ g = f , så f ∘ g og g ∘ f er involutions af E .

Eksempler

I lineær algebra , hvis K er et felt og E et K- vektorrum:

de symmetrier af E er de endomorphisms overdraget fra E .
- navnlig på vektorrummet M n ( K ) af kvadratiske matricer af orden n med koefficienter i K , den gennemførelse er en involutive endomorfien.
når E har en begrænset dimension n , kan vi associere til hver endomorfisme af E sin matrix A (element af M n ( K )) på et fast grundlag ; denne matrix er, at en symmetri hvis og kun hvis A × A er lig med identitetsmatrixen $I n$ .

I algebra er anvendelsen af en gruppe i sig selv, som til hvert element x forbinder sin symmetriske x −1 involutiv: ( x −1 ) −1 = x .

I analyse for alle reelle tal $b \neq 0$ og $a$ er kortene defineret på ℝ \ ${$ $a$ $}$ og defineret på ℝ involveringer. ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {b} {xa}} + a,}$ $x \ mapsto økse,$

Den komplekse bøjning er en involution af ℂ . Mere generelt :

på sættet med firkantede matricer af orden n med komplekse koefficienter er kortet, som til enhver matrix forbinder dets tillæg en involution.
på en kvadratisk udvidelse er applikationen, som til ethvert element forbinder dens konjugat , involutiv.

I klassisk logik er negationen involutiv: "ikke ikke A" svarer til "A"; men dette er ikke tilfældet i intuitionistisk logik .

En permutation er en involution, hvis og kun hvis den nedbrydes i uensartede cyklusser med længder, der er mindre end eller lig med 2. Den består således udelukkende af faste punkter og transpositioner.

Generalisering

Begrebet involution kan udvides til andre matematiske objekter: ja, hvis vi betragter en monoid ( M , ✻, e ), siger vi, at et element a af M er en involution (for loven ✻) eller er involutiv (i M ) hvis a ✻ a = e .

Vi har derefter for ethvert naturligt tal k : a 2 k = e k = e derfor a 2 k + 1 = e ✻ a = a .

Det neutrale element i en monoid er en involvering af denne monoid.

En hyppig sag er en involvering i en ring i forhold til den anden lov.

Se også