Identiteterne fra Cassini, Catalan og Vajda

De identitet Cassini, catalansk og Vajda er tre matematiske identiteter vedrørende Fibonacci tal . Den identitet af Cassini er et specielt tilfælde af den i catalansk , som selv er et særligt tilfælde af identitet Vajda (en) . Sidstnævnte er igen et specielt tilfælde af bemærkelsesværdige identiteter verificeret af lineære tilbagevendende sekvenser af rækkefølge 2 .

Cassini identitet

Identiteten af Cassini er:

{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {n-1} F_ {n + 1} -F_ {n} ^ {2} = (- 1) ^ {n}}

Catalansk identitet er:

{\ displaystyle \ forall n, r \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {n} ^ {2} -F_ {nr} F_ {n + r} = (- 1) ^ {nr} F_ {r} ^ {2}}

Identiteten af Cassini er således den særlige sag for catalansk i sagen . $r = 1$

Vajdas identitet er:

{\ displaystyle \ forall i, j, k \ in \ mathbb {Z} \ quad F_ {k + i} F_ {k + j} -F_ {k} F_ {k + i + j} = (- 1) ^ {k} F_ {i} F_ {j}}

Ved at tage og finder vi identiteten af catalansk. ${\ displaystyle i = j = r}$ ${\ displaystyle k = nr}$

(en) Donald Knuth , The Art of Computer Programming , bind. 1: Grundlæggende algoritmer , Reading (Mass.), Addison-Wesley ,1997, 3 e ed. , 134 s. ( ISBN 978-0-201-85392-6 , læs online ) , s. 79-85, § 1.2.8 (“ Fibonacci-tal ”)
(da) R. Simson og H. Philip , ” En forklaring på en uklar passage i Albert Girards kommentar til Simon Stevins værker ” , Philos. Trans. R. Soc. , Vol. 48,1753, s. 368-377 ( DOI 10.1098 / rstl.1753.0056 )
(en) M. Werman og D. Zeilberger , “ Et bijektivt bevis på Cassinis Fibonacci-identitet ” , Diskret matematik. , Vol. 58, nr . 1,1986, s. 109 ( DOI 10.1016 / 0012-365X (86) 90194-9 , matematiske anmeldelser 0820846 )