Hölder ulighed

I analysen , hölders ulighed , så opkaldt til ære for Otto Hölder , er en fundamental ulighed vedrørende de rum af funktioner L p , ligesom de rum af sekvenser ℓ p . Det er en generalisering af Cauchy-Schwarz uligheden . Der er en formulering af ulighed, der anvendes i diskret matematik.

Stater

Være

• S et målt rum ,
• p , q > 0 (værdien + ∞ er tilladt), der bekræfter "konjugationsrelationen"1s+1q=1,{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1,}
• f ∈ L p ( S ) og g ∈ L q ( S ).

Derefter hører produktet fg til L 1 ( S ), og dets norm øges naturligt:

‖fg‖1≤‖f‖s‖g‖q.{\ displaystyle \ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {q}.}

Mere generelt for 0 < p , q ≤ + ∞ og r defineret af 1 / r = 1 / p + 1 / q , hvis f ∈ L p ( S ) og g ∈ L q ( S ) så fg ∈ L r og ║fg║ r ≤ ║f║ p ║g║ q .

Desuden, når p og q er endelige, er der ligestilling, hvis og kun hvis | f | p og | g | q er collinære næsten overalt (pp) , dvs. hvis der findes α og β ikke samtidigt nul, så α | f | p = β | g | q s

Demonstration

For at bevise denne sætning kan vi bruge et resultat af Jensens ulighed eller Youngs ulighed .

Eksempler

Cauchy-Schwarz ulighed

Cauchy-Schwarz-uligheden for Hilbert-rum er det specielle tilfælde, hvor p = q = 2 i Hölder-uligheden.

Færdig dimension

Når vi anvender Hölder-uligheden på sættet S = {1,…, n } udstyret med optællingsmål , får vi for 1 ≤ p , q ≤ + ∞ med 1 / p + 1 / q = 1 og for alle vektorer x og y af ℝ n (eller af ℂ n ), uligheden

∑k=1ikke|xk yk|≤(∑k=1ikke|xk|s)1/s(∑k=1ikke|yk|q)1/q.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} \ y_ {k} | \ leq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} \ højre) ^ {1 / p} \ venstre (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {q} \ højre) ^ {1 / q}.}

Denne ulighed kan også demonstreres ved at udtrykke optimeringsbetingelserne for et minimeringsproblem for en lineær funktion på enhedskuglen for normen ℓ p  : se afsnit Hölders uligheder .

Suiter

Den foregående ulighed generaliserer (ved at tage denne gang S = ℕ) til sekvenser (eller til serier afhængigt af synspunktet): hvis ( x k ) og ( y k ) er henholdsvis i sekvensrummene ℓ p og ℓ q , så er sekvensen "term til termprodukt" ( x k y k ) i ℓ 1 .

Ekstrem sag

Lad 1 ≤ p , q ≤ + ∞ med 1 / p + 1 / q = 1, S et målt rum, af stamme Σ og mål μ, og f ∈ L p ( S ).

• Hvis p <+ ∞ , så‖f‖s=maks{|∫fg dμ| ; g∈Lq(S), ‖g‖q≤1},{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ max \ left \ {\ left | \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in \ mathrm {L} ^ {q } (S), ~ \ | g \ | _ {q} \ leq 1 \ right \},}
• Hvis p = + ∞ og hvis et element A fra stammen Σ således at μ ( A ) = + ∞ indeholder et element B af Σ således at 0 <μ ( B ) < + ∞ (hvilket er sandt, så snart μ er σ - færdig ), derefter‖f‖∞=sup{|∫fg dμ| ; g∈L1(S), ‖g‖1≤1}.{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup \ left \ {\ left | \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in \ mathrm {L} ^ { 1} (S), ~ \ | g \ | _ {1} \ leq 1 \ right \}.}

Demonstration

I henhold til Hölders ulighed er den øvre grænse for det højre sæt i begge tilfælde afgrænset af ║ f ║ s .

Omvendt, lad os undergrave denne øvre grænse af normen p af f , som kan antages at være ikke-nul. Antag selv det ved homogenitet‖f‖s=1.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = 1.}

• Hvis p <+ ∞ , er grænsen endda et maksimum, dvs. den nås: funktionen g defineret på S medg(x)={|f(x)|s/f(x)hvis f(x)≠0,0hvis ikke,{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} | f (x) | ^ {p} / f (x) & {\ text {si}} f (x) \ neq 0, \\ 0 & { \ text {ellers}} \ end {cases}}}hører til L q, hvor dens norm er 1, og vi har∫fg dμ=1=‖f‖s.{\ displaystyle \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu = 1 = \ | f \ | _ {p}.}
• Hvis p = + ∞ , lad ε ∈] 0, 1 [og A = [| f | > 1 - ε] ∈ Σ, af ikke-nul-mål, da ║ f ║ ∞ = 1. Den supplerende hypotese garanterer eksistensen af ​​en B contained Σ, der er indeholdt i A og en ikke-nul-endelig måling. Funktionen g defineret på S ved g(x)={|f(x)|μ(B)f(x)hvis x∈B,0hvis ikke{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} {\ frac {| f (x) |} {\ mu (B) f (x)}} & {\ text {si}} x \ i B, \\ 0 & {\ text {ellers}} \ end {cases}}}hører så til L 1, hvor dens norm er 1, og vi har∫fg dμ=∫B|f|μ(B) dμ≥1-ε.{\ displaystyle \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {B} {\ frac {| f |} {\ mu (B)}} ~ \ mathrm {d} \ mu \ geq 1- \ varepsilon.}Den øvre grænse, som vi forsøgte at sænke, er derfor større end eller lig med 1 - ε for alle ε ∈] 0, 1 [, hvilket beviser, at den faktisk er større end eller lig med ║ f ║ ∞ .

Bemærkninger til sagen p = + ∞

• Selv med den yderligere hypotese af udsagnet nås den øvre grænse generelt ikke. For eksempel, hvis x er sekvensen af ℓ ∞ defineret af x k = 1 - 2 - k, så for enhver ikke-nul sekvens y med norm mindre end eller lig med 1 i ℓ 1 ,|∑xkyk|≤∑(1-2-k)|yk|<∑|yk|≤1=‖x‖∞.{\ displaystyle \ left | \ sum x_ {k} y_ {k} \ right | \ leq \ sum (1-2 ^ {- k}) | y_ {k} | <\ sum | y_ {k} | \ leq 1 = \ | x \ | _ {\ infty}.}
• Hvis A ∈ Σ er af uendelig målestok, men ikke indeholder nogen B ∈ Σ af begrænset mål, der ikke er nul (det enkleste eksempel er det, hvor den eneste B ∈ Σ, der strengt taget er inkluderet i A, er ∅) og hvis f er funktionen tegn på A , så er den tilknyttede øvre grænse nul, mens ║ f ║ ∞ = 1.

Ansøgninger

• Hölders ulighed straks et vigtigt forhold mellem rum L p forbundet med en begrænset foranstaltning af den samlede masse M :0<r≤q≤+∞⇒Lr⊃Lq og ∀g∈Lq,‖g‖r≤M1r-1q‖g‖q.{\ displaystyle 0 <r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {r} \ supset \ mathrm {L} ^ {q} {\ text {et}} \ forall g \ in \ mathrm {L} ^ {q}, \ | g \ | _ {r} \ leq M ^ {{\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {q}}} \ | g \ | _ {q}.}(Denne ejendom kan også udledes direkte af Jensens ulighed .)
• Det også griber ind som argument gør det muligt at vise Minkowski ulighed , som er den trekantede ulighed for normen af L p hvis s ≥ 1.
• Det ekstreme tilfælde giver os mulighed for at fastslå, at den topologiske dualitet af L p er L q (med 1 / p + 1 / q = 1 ), hvis 1 < p <+ ∞ , og også hvis p = 1, når målingen er σ-endelig .

Generalisering

Hölder-uligheden med 1 / p + 1 / q = 1 / r generaliserer straks til n- funktioner ved induktion:

Lad 0 < r , p 1 ,…, p n ≤ + ∞ sådan, at

∑k=1ikke1sk=1r{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {k}}} = {\ frac {1} {r}}}

og n- funktioner f k ∈ L p k ( S ). Derefter, produktet af f k tilhører L r ( S ) og

‖∏k=1ikkefk‖r≤∏k=1ikke‖fk‖sk.{\ displaystyle \ left \ | \ prod _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} \ right \ | _ {r} \ leq \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ | f_ {k } \ | _ {p_ {k}}.}

Når alle p k er endelige, er der desuden ligestilling, hvis og kun hvis | f k | p k er collinære pp

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Hölders ulighed  " ( se listen over forfattere ) .

1. Hvis s <1, ║ ║ s ikke er en norm generelt, men det griber ikke ind i beviset.
2. Se for eksempel (for den anden metode) Bernard Maurey, "  Integration and Probability (M43050), cours 15  " , på University of Paris VII - Diderot ,2010eller (for begge) denne øvelse korrigeret på Wikiversity .
3. Ligesom optællingsforanstaltningen på et tællesæt eller Lebesgue-foranstaltningen ℝ n .
4. Maurey 2010 .
5. (en) NL Carothers , et kort kursus om teori Banach Space , CUP ,2004, 184  s. ( ISBN  978-0-521-60372-0 , læs online ) , s.  120, bemærkning: ”Mærkeligt nok er egenskaben, at hvert element af L p * når sin norm, ækvivalent med det faktum, at L p er refleksiv , uden faktisk at skulle vide noget om det dobbelte rum L p *  ! " .

Bibliografi

• Haïm Brezis , Funktionsanalyse: teori og anvendelser [ detaljer af udgaver ]
• Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer i udgaver ]

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">