I matematik er et Hilbert-rum et reelt (hhv. Komplekst ) vektorrum forsynet med et euklidisk (hhv. Hermitian ) skalarprodukt , som gør det muligt at måle længder og vinkler og definere en ortogonalitet . Desuden er et Hilbert-rum komplet , hvilket tillader anvendelse af analytiske teknikker . Disse rum skylder deres navn den tyske matematiker David Hilbert .
Begrebet Hilbert-rum udvider metoderne til lineær algebra ved at generalisere forestillingerne om det euklidiske rum (såsom det euklidiske plan eller det sædvanlige rum af dimension 3 ) og det hermitiske rum til rum af enhver dimension (endelig eller uendelig).
Hilbert-rum vises ofte i matematik og fysik, primært som funktionelle rum med uendelig dimension. De første Hilbertrum er blevet undersøgt i denne henseende i det første årti af det XX th århundrede af David Hilbert, Erhard Schmidt og Frigyes Riesz . De er uundværlige værktøjer i teorierne om delvise differentialligninger , kvantemekanik , Fourier-analyse (som inkluderer applikationer til signalbehandling og varmeoverførsel ) og ergodisk teori, der danner det matematiske fundament for termodynamik . John von Neumann opfandt udtrykket Hilbert space for at betegne det abstrakte koncept, der ligger til grund for mange af disse applikationer. Succeserne med metoderne fra Hilbert-rummene førte til en meget produktiv æra for funktionel analyse . Ud over klassiske euklidiske rum er Hilbert-rum af de mest almindelige eksempler kvadratet af integrerede funktionsrum , de Sobolev-rum, der består af generaliserede funktioner og Hardy-rum med holomorfe funktioner .
Geometrisk intuition er involveret i mange aspekter af Hilberts teori om rum. Disse rum har sætninger svarende til Pythagoras sætning og parallelogramreglen . I anvendt matematik spiller ortogonale fremskrivninger på et underrum (hvilket svarer til at udflade pladsen til nogle dimensioner) en vigtig rolle i optimeringsproblemer blandt andre aspekter af teorien. Et element i et Hilbert-rum kan defineres entydigt af dets koordinater i forhold til en Hilbert-basis , analogt med kartesiske koordinater på et ortonormalt plan af planet. Når dette aksesæt kan tælles , kan Hilbert-rummet ses som et sæt sammenkædede firkanter . Lineære operatører på et Hilbert-rum ligner konkrete genstande: i de "gode" tilfælde er de simpelthen transformationer, der strækker rummet efter forskellige koefficienter i to-to-to-vinkelrette retninger, i en forstand, som er specificeret ved studiet af deres spektrum .
Et af de mest almindelige eksempler på Hilbert-rummet er det 3-dimensionelle euklidiske rum , betegnet ℝ 3 , udstyret med det sædvanlige skalære produkt. Det skalære produkt associeres med to vektorer og et bemærket reelt tal . Hvis og har respektive kartesiske koordinater, og så er deres skalære produkt:
Prikproduktet opfylder følgende egenskaber:
Prikproduktet er nært beslægtet med euklidisk geometri ved hjælp af følgende formel, der relaterer prikproduktet fra to vektorer og med deres længder (betegnet henholdsvis og ) og den vinkel, de danner:
Enhver vektoroperation, der opfylder de ovennævnte tre egenskaber, kaldes også et punktprodukt . Et vektorrum forsynet med et skalarprodukt kaldes et ægte præhilbertisk rum.
Et Hilbert-rum er et prehilbertisk rum, der også har en egenskab af matematisk analyse : det er komplet , et argument baseret på grænserne for sekvenser af vektorer i dette rum.
Et Hilbert-rum er et komplet præhilbertisk rum , dvs. et Banach-rum, hvis norm ║ · ║ stammer fra et skalært eller hermitisk produkt〈·, ·〉 med formlen
Det er generaliseringen i enhver dimension (endelig eller uendelig) af et euklidisk eller hermitisk rum .
I et Hilbert rum af uendelig dimension, den sædvanlige begrebet basen er afløst af Hilbert base (eller Hilbert base) som ikke længere gør det muligt at beskrive en vektor ved dets koordinater, men at nærme sig den af en uendelig række af vektorer hver har endelige koordinater. Vi er derfor ved sammenløbet af lineær algebra og topologi .
Et Banach-rum (henholdsvis normeret vektorrum ) er et Hilbert-rum (henholdsvis præhilbertisk rum ), hvis og kun hvis dets norm tilfredsstiller lighed
,hvilket betyder, at summen af kvadraterne på de fire sider af et parallelogram er lig med summen af kvadraterne på dets diagonaler ( parallelogramregel ).
Denne sætning skyldes Maurice René Fréchet , John von Neumann og Pascual Jordan .
Analysekursus - Jacques Harthong
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">