En kvadratisk irrationel er en irrationel talløsning af en kvadratisk ligning med rationelle koefficienter , med andre ord et algebraisk reelt antal grad 2 . Det genererer derfor et ægte kvadratisk felt ℚ ( √ d ), hvor d er et positivt heltal uden en kvadratfaktor .
De kvadratiske irrationelle er kendetegnet ved periodiciteten startende fra en bestemt rang af deres udvikling i kontinuerlig fraktion ( Lagrange sætning ).
De enkleste eksempler på kvadratiske irrationelle er kvadratrødderne til ikke- kvadratiske naturlige heltal (det mest berømte er √ 2 ). Vi beviser faktisk, at hvis et heltal ikke er kvadratet af et heltal, så er det ikke engang kvadratet af et rationelt eller endda - ved kontrast - at hvis et heltal d er kvadratet af et rationelt, så er √ d et heltal. Det kan udledes af Proposition 8 i Book VIII of the Elements of Euclid . De sædvanlige beviser appellerer til Gauss's lemma eller endda til den grundlæggende sætning af aritmetik, men andre er mere kloge, ligesom Richard Dedekind eller følgende, hovedsagelig på grund af Theodor Estermann :
Lad d være et naturligt heltal, hvis kvadratrode er en rationel, som vi skriver i form p / q med q så lille som muligt (dvs. q er det mindste heltal> 0, hvis produkt med √ d er heltal), og lad n være den heltalsdelen af √ d . Derefter opfylder heltal r : = p - nq : 0 ≤ r < q og r √ d er heltal. Ved minimal q er r = 0 derfor √ d = n .
Mere generelt er ethvert ikke-heltal algebraisk heltal irrationelt.