j -variant

Den j -invariant , også kaldet j funktion , er en funktion introduceret af Felix Klein for studiet af elliptiske kurver , der siden fundet anvendelsesområder ud over blot algebraisk geometri , fx i studiet af modulære funktioner på den teori om klassen organer og af den monstrøse måneskin .

Motivation: krydsforhold og j -variant

Vi arbejder i det komplekse projektive plan (en) . Overvej fire forskellige punkter , deres krydsforhold er: ${\ mathbb C} P ^ {1}$ $a, b, c, d$

{\ displaystyle (a, b, c, d) = {\ frac {ac} {ad}} \ cdot {\ frac {bd} {bc}}}

Denne mængde er uforanderlig ved flyets homografier , men afhænger af rækkefølgen af de fire betragtede tal.

For eksempel kan krydsforholdet være værd, afhængigt af den betragtede rækkefølge: ${\ displaystyle (m, 1,0, \ infty)}$

{\ displaystyle m, 1 / m, 1-m, 1-1 / m, 1 / (1-m), m / (m-1)}

Hvis vi forsøger at symmetriisere dette udtryk, opnår vi en størrelse, der forbliver en invariant af de projektive transformationer, men ikke længere afhænger af rækkefølgen af tallene:

{\ displaystyle j (m) = {\ frac {4} {27}} {\ frac {(1-m + m ^ {2}) ^ {3}} {m ^ {2} (1-m) ^ {2}}}}

som vi kalder j -variant. Denne invarians er et første indeks for forbindelsen mellem j -variant og den modulære gruppe .

j -variant af elliptiske kurver

Lad X være en ikke-ental elliptisk kurve på , af Weierstrass formular : ${\ mathbb C} P ^ {1}$

{\ displaystyle X: y ^ {2} = x ^ {3} + q_ {2} x + q_ {3}}

har for diskriminerende . ${\ displaystyle \ Delta = -4q_ {2} ^ {3} -27q_ {3} ^ {2} \ neq 0}$

Den tilknyttede j -variant er

{\ displaystyle j = 1728 {\ frac {-4q_ {2} ^ {3}} {\ Delta}}}

Den j -invariant er et Surjective kort, hvilket giver en bijection mellem isomorfi klasser af elliptiske kurver på det komplekse plan og komplekse tal.

Begrebet j -variant generaliserer til trigonale kurver .

Referencer

( fr ) John Horton Conway og Simon Norton , “ Monstrous moonshine ” , Bulletin of the London Mathematical Society , bind. 11, nr . 3,1979, s. 308–339 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.308 , matematikanmeldelser 0554399 )
(it) Felix Klein , “ Sull 'equazioni dell' Icosaedro nella risoluzione delle equazioni del quinto grado [per funzioni ellittiche]. » , Reale Istituto Lombardo, Rendiconto, Ser , vol. 10, nr . 21877
(de) Felix Klein , “ Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades ” , Math. Ann. , Vol. 14, 1878-1879, s. 111-172
(en) Andrew Ogg , ”Modular Functions”, i Santa Cruz-konferencen om endelige grupper 1979 , Amer. Matematik. Soc.,1980, s. 521-532
(da) Tito Piezas III og Eric Weisstein. j-funktion , MathWorld