I reel eller kompleks analyse er Cesàro-gennemsnittet af en sekvens ( a n ) den sekvens, der opnås ved at tage det aritmetiske gennemsnit af de første n termer af sekvensen.
Navnet på Cesàro kommer fra den italienske matematiker Ernesto Cesàro (1859-1906), men sætningen er allerede demonstreret i Cauchy's Cours d'Analyse (en) (1821) .
Den sætning Cesàro eller lemma Cesàro siger, at når resultatet ( en n ) har en grænse, den gennemsnitlige Cesàro har den samme grænse.
Der er dog tilfælde, hvor sekvensen ( a n ) ikke har nogen grænse, og hvor Cesàro-gennemsnittet er konvergent. Det er denne egenskab, der retfærdiggør brugen af Cesàro-middelværdien som en metode til sammenfatning af divergerende serier .
Enten en fortsættelse . Derefter er Cesàro middelværdien sekvensen af generelle termer:
Udtrykket for indeks n er således det aritmetiske gennemsnit af de første n termer af .
Cesàros sætning - Overvej en rækkefølge af reelle eller komplekse tal . Hvis den konvergerer mod ℓ , betyder rækkefølgen af dens Cesàro, generelt
,konvergerer også, og dens grænse er ℓ .
Hvis en række reelle tal har en grænse på + ∞ eller –∞ , er det det samme for serien af dets Cesàro-middelværdier.
DemonstrationAntag for eksempel det . For ethvert rigtigt A > 0 findes der en rækkefølge sådan (f.eks. :) . Sekvensen af midlerne konvergerer mod A ifølge det foregående afsnit og mindsker den for midlerne til , som derfor er> A / 2 fra en bestemt rang. Dette, gyldigt for alle A > 0, beviser, at sekvensen faktisk har grænsen + ∞ .
Det modsatte af Cesàros lemma er falsk: der er divergerende sekvenser, som Cesàro betyder konvergerer for. Dette er for eksempel tilfældet med den periodiske sekvens
divergerende, men som i gennemsnit har Cesàro 1/2.
En sætning svarende til Cesàros sætning (også i tilfældet ℓ uendelig ovenfor ) er: for enhver sekvens , hvis u n - u n –1 → ℓ så u n / n → ℓ (vi går fra en sætning til l den anden ved teleskopering ved at posere og omvendt, a n = u n - u n –1 ). Det er denne erklæring, der vises i Cauchy 1821 , s. 59.
Cesàro-middelværdien giver en metode til at sammenfatte visse divergerende serier i den sædvanlige forstand.
Den Grandi serien er serien, der er forbundet med efterfølgeren
hvis delvise beløb er
.Grandi-serien er divergerende, men Cesàro-gennemsnittet af delsummen konvergerer til 1/2 ( se ovenfor ).
Summen er derefter forbundet med Grandi-serien .
Euler foreslog resultatet 1/2 med en anden metode: hvis vi antager, at summen er veldefineret, lad os skrive det ned , så
derfor
også
.Det uprøvede punkt er så eksistensen af , dvs. relevansen af de udførte beregninger. Arbejdet med den divergerende serie består nøjagtigt i at vise, at den tildelte værdi har en matematisk betydning (for eksempel at den ikke afhænger af den anvendte metode).
En bemærkelsesværdig anvendelse af Cesàro-gennemsnittet foretages inden for rammerne af Fourier-serien : Fejér-summerne er Cesàro-midlerne til de delvise summer af Fourier-serien. For Fourier-serien er konvergenssætningerne delikate; tværtimod verificerer Fejér-summerne meget stærke konvergensresultater, beskrevet af Fejers sætning .
Den Cauchy produktet af to konvergerende serien er en konvergerende serie for Cesàro summationsproces.
Cesàro-middelværdien er en metode til opsummering af divergerende serier, der især anvendes i teorien om Dirichlet-serien .
Hvis en sekvens ( x n ) af strengt positive reelle har en grænse ℓ ∈ [0, + ∞] , viser Cesàros lemma til en n = log ( x n ) , at sekvensen af dens geometriske middel n √ x 1 ... x n har tendens til ℓ . Hvad omskrives: hvis en sekvens ( y n ) af strengt positive realer er sådan, at y n +1 / y n → ℓ så n √ y n → ℓ .
Der er flere generaliseringer af Cesàro-middelværdien gennem Stolz-Cesàro-sætningen og Riesz-middelværdien . Cesàros proces kaldes ofte gennemsnit (C, 1). For hvert heltal k findes der et Cesàro-middelværdi af rækkefølge k , der gør det muligt at sammenfatte visse divergerende serier, som processerne (C, n ) ikke summerer for n <k .
Der er mange andre summeringsmetoder , såsom Borels .