Fejers sætning
I matematik og mere præcist i analysen er Fejér's sætning et af de vigtigste resultater af Fourier- seriteorien . Det giver meget generelle konvergensegenskaber for Fourier-serien, når Cesàro-summeringsprocessen anvendes . Det blev demonstreret af matematikeren Lipót Fejér i 1900 .
Stater
Fejér's sætning : Lad f være en lokalt integrerbar og 2π -periodisk funktion. Vi bemærker det
Sikke(f)(x): =∑k=-ikkeikkevs.k(f)ejegkx{\ displaystyle S_ {n} (f) (x): = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx}}![{\ displaystyle S_ {n} (f) (x): = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576de32f5404f95b8327974bebaff98baef5f7c2)
ordren n i sin Fourier-serie med
vs.k(f): =12π∫-ππf(t)e-jegktdt{\ displaystyle c_ {k} (f): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} kt} \, \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle c_ {k} (f): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} kt} \, \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebdc86d4e868d06458dbee91d0bdca4b7f4aeb5b)
,
derefter
σIKKE(f):x⟼1IKKE+1∑ikke=0IKKESikke(f)(x){\ displaystyle \ sigma _ {N} (f) \ colon x \ longmapsto {\ frac {1} {N + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} (f) (x )}![{\ displaystyle \ sigma _ {N} (f) \ colon x \ longmapsto {\ frac {1} {N + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} (f) (x )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fb270ee373541507dab09d61df08c1e885ef6f1)
det efterfølgende Cesàro betyder udtryk for Fourier-serien. Vi har derefter følgende udsagn:
-
Fejér's sætning, ensartet version:
Hvis f er kontinuerlig, så konvergerer række af funktioner ensartet til funktionen f , med yderligere for alle N ,
σIKKE(f){\ displaystyle \ sigma _ {N} (f)}
‖σIKKE(f)‖∞⩽‖f‖∞{\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {\ infty} \ leqslant \ | f \ | _ {\ infty}}
;
-
Fejér sætning, version L p , også kaldet Fejér-Lebesgue sætning:(1⩽s<+∞){\ displaystyle (1 \ leqslant p <+ \ infty)}
Hvis f hører til rummet Lp , så konvergerer funktionsserien til funktionen f i normens forstand , og derudover for alle N ,
σIKKE(f){\ displaystyle \ sigma _ {N} (f)}
‖⋅‖s{\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}
‖σIKKE(f)‖s⩽‖f‖s{\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {p} \ leqslant \ | f \ | _ {p}}
.
Ansøgninger
Mange resultater vedrørende Fourier-serien kan opnås som konsekvenser af Fejér's sætning. I de følgende propositioner er alle de betragtede funktioner 2π -periodiske.
- Den applikation, der forbinder dens Fourier-koefficienter med en integrerbar funktion, er injektionsdygtig.
Injektivitet skal forstås i rummet
L 1 , det vil sige, at to funktioner med de samme Fourier-koefficienter er lige næsten overalt. I tilfælde af to kontinuerlige funktioner er de endda ens.
- Det ensartede Fejér-sætning udgør et af de mulige beviser for den trigonometriske Weierstrass-sætning : hvis f er en kontinuerlig funktion, findes der en sekvens af trigonometriske polynomer, der konvergerer ensartet mod f . Tilsvarende sætter Fejér-Lebesgue-sætningen beviset for tætheden af trigonometriske polynomers rum i de forskellige Lp- rum .
- Hvis f er kontinuerlig, og hvis dets Fourier-serie konvergerer til et punkt x , så konvergerer det nødvendigvis til f ( x ) .
Dette skal sammenlignes med opførelsen af
Taylor-serien af en funktion, som meget vel kan konvergere mod en anden værdi end funktionens værdi.
Noter og referencer
-
Lipót Fejér, “Om integrerbare og afgrænsede funktioner”, CR Acad. Sci. Paris , 10. december 1900, s. 984-987 , læs online .
-
(de) Leopold Fejér, “Untersuchungen über Fouriersche Reihen”, Math. Annalen , vol. 58 , 1904 , s. 51-69 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">