I mængdelære den sammentrækning lemma Mostowski grund Andrzej Mostowski kombinerer en hel med et velbegrundet forhold unikt transitive sæt , således at hvis man følger med medlemskab, denne app er en morphism . Hvis desuden det velbegrundede forhold til startsættet er ekstensivt , er kortet en isomorfisme . Billedsættet kaldes kontrakt, eller Mostowskis sammenbrud af sættet forsynet med det velbegrundede forhold.
Den lemma er generaliseres til klasser , forudsat at fortilfælde af et element i klassen ved velbegrundet forhold overvejes - dette forhold er i sig selv en klasse - udgør et sæt.
Han griber ind for konstruktionen af modeller af sætteori, for eksempel i tilfælde af tvang .
Lad A være et sæt og R et forhold, der er funderet på dette sæt. Så findes der en og kun en funktion, der bekræfter
φ ( x ) = {φ ( y ) | y ∈ A og y R x }.Dette forhold gør det muligt at definere φ ved induktion på velbegrundet forhold R .
Funktionen φ er sammentrækningsfunktionen ( (en) kollapsende funktion ) for sættet ( A , R ). Dens billedsæt T er det kontraherede eller Mostowski- sammenbrud af ( A , R ). Funktionen φ er en morfisme fra ( A , R ) til ( T , ∈): det forhold, der gør det muligt at definere det ved induktion, siger nøjagtigt det for x ∈ A og y ∈ A
φ ( y ) ∈ φ ( x ) hvis og kun hvis y R x .Dette sæt er midlertidigt af konstruktion.
Funktionen φ er surjektiv på T, men er muligvis ikke injektionsdygtig: to elementer af A, der har de samme fortilfælde ved R , identificeres ved φ (det er en ekstensionel kollaps)
Et interessant særligt tilfælde er det, hvor forholdet R er ekstensionalt på A, dvs. at ( A , R ) tilfredsstiller aksiomet for ekstensionalitet , som er skrevet
∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [∀ z ∈ A ( z R x ⇔ z R y ) ⇒ x = y ].For eksempel er den strenge ordrerelation for et totalt ordnet sæt forlængelse.
Hvis forholdet R er ekstensionalt, er funktionen φ en isomorfisme fra ( A , R ) til ( I , ∈).
Faktisk er φ allerede en surjectiv morfisme på T , og vi viser ved induktion på det velbegrundede forhold R , at for alle x ∈ A
∀ y ∈ A (φ ( x ) = φ ( y ) ⇒ x = y ).Ejendommen antages at være sand for alle R- forfædre på x . Hvis φ ( x ) = φ ( y ), skyldes det, at x og y har de samme R-fortilfælde (definitioner af φ ( x ) og φ ( y )), og at de derfor er ens af ekstensionalitet. Morfismen φ er derfor injektiv, derfor bijektiv.
Sammenfattende.
Mostowskis lemma (sæt case). - Hvis ( A , R ) er et sæt udstyret med et velbegrundet forhold R , eksisterer der et unikt transitivt sæt T og en unik funktion φ sådan at φ er en overvejende morfisme af ( A , R ) til ( T , ∈). Hvis R desuden er ekstensional på A , er an en isomorfisme.
For eksempel for { a , b }, med den strenge rækkefølge defineret af a < b , φ ( a ) = ∅, φ ( b ) = {φ ( a )} = {∅}, Mostowski-sammenbruddet af ({ a , b }, <) er {∅, {∅}}, dvs. ordinal 2.
Mere generelt, hvis ( A , <) er en god streng ordre, er den tilknyttede rækkefølge total, er Mostowski-sammenbruddet den unikke ordinære isomorfe til denne gode orden.
Mostowskis sammentrækningslemma demonstreres i Zermelo-Fraenkel ZF- sætteori uden et grundlæggende aksiom . Den aksiom af magt sæt er ikke længere nødvendigt.
I nærværelse af fundamentaksiomet gælder Mostowskis lemma for et sæt A udstyret med medlemskab. Hvis medlemsforholdet er ekstensivt over A , lad ( A , ∈) tilfredsstille ekstensionalitetsudvidelsen, siger vi, at A er ekstensional .
Sættet A er forlænget, når ∀ x ∈ A ∀ y ∈ A [( x ∩ A = y ∩ A ) ⇒ x = y ].I dette særlige tilfælde bliver Mostowskis lemma derefter
Et ekstensionalt sæt er isomorf til et unikt transitivt sæt ved en unik isomorfisme.Lemmaet generaliserer til klasser , men vi må derefter antage, at "forholdet" R , som så også er en klasse, har den egenskab, at for ethvert x- element i A er klassen R- forfædre af x et sæt. “Funktionen” φ er derefter en funktionel klasse. Denne betingelse er nyttig til at bevise definitionssætningen ved induktion på relationsklassen R , i dette tilfælde for at bevise eksistensen af den funktionelle klasse φ.