Bog III om Euclids elementer

Den bog III Elements Euclid trafikegenskaber cirkel ( tangent til cirkel indskrevet vinkler og centrale vinkler, power af et punkt ).

Den består af:

• 11 definitioner
• 37 forslag

Definitionerne

I indledningen til bog III definerer vi:

• Den tangent til en cirkel. En linje er tangent til en cirkel, hvis den berører den uden at skære den.
• Tangentcirkler. To cirkler er tangente, hvis de rører uden at krydse hinanden.
• Segmentet af cirklen. Dette er domænet begrænset af en linjesekant til en cirkel og denne cirkel.
• Cirkelsektoren. Dette er området begrænset af to radier og den del af omkredsen, som de definerer.

Forslag

Disse forslag vedrører følgende punkter:

• Forskellige konstruktioner. Prop. 1 beskriver, hvordan man konstruerer centrum af en cirkel. Forskellige egenskaber relateret til centrum er også angivet i rekvisitter 5 til 9. For eksempel, hvis vi er i en cirkel, tager vi et hvilket som helst punkt, og hvis mere end to linjer taget fra dette punkt til omkredsen er lig med hinanden, er punktet vi har taget vil være centrum for cirklen. Prop. 30 beskriver, hvordan man finder midtpunktet for en cirkelbue.
• Ejendomme til strenge . Forskellige egenskaber er angivet, for eksempel er en linje, der skærer en akkord, vinkelret på den, hvis og kun hvis den skærer den i to segmenter af samme længde (prop. 3). Reb af samme længde er også langt fra centrum og omvendt, det større reb er diameteren, og længden aftager, når man bevæger sig væk fra centrum (rekvisit. 14 og 15).
• Relativ position for to cirkler. En cirkel skærer ikke en anden cirkel på mere end to punkter (prop. 10). To cirkler er tangente, deres centre er justeret med tangenspunktet (prop. 11 og 12). En cirkel, der tangerer til en anden cirkel, har kun et punkt til fælles med det (prop. 13).
• Ejendom af tangenter til cirklen. Det er en lige linje vinkelret på diameteren, der passerer gennem den ene ende af sidstnævnte (prop. 16, 18, 19). I dette forslag opfatter Euclid vinklen mellem tangenten og cirklen som en krøllet vinkel, mindre end enhver retlinet vinkel. Prop. 17 giver os mulighed for at konstruere tangenten til en cirkel, der passerer gennem et givet punkt.
• Centervinkler og indskrevne vinkler . Prop. 20 beviser, at den centrale vinkel er dobbelt den tilsvarende indskrevne vinkel. Prop. 21, generaliseret i prop. 26 til 29, beviser, at indskrevne vinkler, der opfanger den samme bue, er ens og omvendt. Prop. 22 beviser, at de modsatte vinkler af en firkant, der er indskrevet i en cirkel, er lig med to rettigheder.
• Egenskab for cirkelsegmenter. Prop. 23 til 25 beskæftiger sig med segmenter af en cirkel. For eksempel, givet et segment, beskriver prop. 25 den cirkel, hvor det er segmentet. Prop. 33 og 34 giver konstruktioner, der vedrører segmenter af cirkler.
• Højre trekant indskrevet i en cirkel . Prop. 31 viser, at en trekant med en side lig med diameteren er rektangel.
• Kraften i et punkt i forhold til en cirkel . Det introduceres ved hjælp af rekvisitter. 35 til 37, idet prop. 35 er angivet som følger: hvis to linjer i en cirkel krydser hinanden, er rektanglet, der er inkluderet under segmenterne, lig med det rektangel, der er inkluderet under segmenterne, det andet.

Bibliografi

• Euclide ( overs.  Bernard Vitrac), The Elements [ detaljer af udgaver ]
• Værkerne fra Euclid , oversættelse af F. Peyrard, Paris 1819, nyt tryk af Jean Itard, Éditions Albert Blanchard 1993.
• Euclids geometriske elementer, bogstaveligt oversat og efterfulgt af en afhandling om cirklen, cylinderen, keglen og sfæren, måling af overflader og faste stoffer, med noter, af F. Peyrard , F. Louis (Paris),1804, 107-177  s. ( læs online ), plader i figur 2 og 3 (gallica BNF), se også denne digitaliserede version (remacle.org).
• De femten bøger med de geometriske elementer i den euklide oversættelse af Denis Henrion , 1632, læses online (gallica BNF).