Diamant
En rombe er en firkant, hvis sider alle har samme længde eller et parallelogram med mindst to på hinanden følgende sider af samme længde . Det blev tidligere kaldt rombe fra græsk ρόμβος (og bærer stadig et navn taget fra denne etymologi på mange sprog, såsom rombe på engelsk eller rombo på spansk og italiensk). Adjektivet, der er relativt til det, er rhombisk.
Ejendomme
Ejendom 1
For ethvert ikke krydset (og derfor ikke fladt) firkant af et euklidisk plan er følgende forslag ækvivalente:
- denne firkant er en rombe;
- denne firkant har sine fire sider af samme længde og sine fire forskellige hjørner;
- de diagonaler af denne firkant skærer i deres midten (med andre ord: Det er et parallelogram), og de er vinkelrette .
Denne firkant har to akutte vinkler og to stumpe vinkler (undtagen i det specielle tilfælde, hvor romben også er en firkant, i hvilket tilfælde alle vinklerne er rigtige). En af dens spidse vinkler + en af dens stumpe vinkler = 180 °; eksempel: 110 ° (stump) + 70 ° (akut) = 180 °.
DemonstrationLad ABCD være en ikke-flad firkant. Lad mig være midtpunktet for [AC] og J midtpunktet for [BD].
- Lad os vise (1) antyder (2):
Vi antager, at ABCD er en rombe.
Da det er et parallelogram, har vi AB = CD, BC = AD, og da det er en rombe, har vi AB = CB. Ved transitivitet er AB = BC = CD = DA. Endelig er de fire hjørner i et ikke-fladt parallelogram forskellige.
- Lad os vise (2) antyder (3):
Vi antager, at AB = BC = CD = DA, og at de fire hjørner er forskellige.
Fra AB = BC og CD = DA konkluderer vi, at (BD) er den vinkelrette halvdel af [AC]. Så (BD) er vinkelret på (AC) og går igennem I.
Vi viser også, at (AC) passerer J.
Da (AC) og (BD) er vinkelrette, har de et enkelt punkt til fælles, og derfor er jeg = J.
- Lad os vise (3) antyder (1):
Det antages, at diagonalerne krydser hinanden (det er derfor et parallelogram), og at de er vinkelrette.
Da (BD) er vinkelret på (AC) og passerer gennem I, konkluderer vi, at (BD) er den vinkelrette bisector af [AC] og derfor AB = BC.
Illustration til sagen om en flad rombe:
Ejendom 2
Diagonalerne på en rombe er halveringspunkterne i dens vinkler.
DemonstrationLad være en romb ABCD med centrum O. Ejendom 1 indebærer, at trekanterne ABO, CBO, ADO og CDO er overliggende. Hvorfra :
= = = og
= = = .
Det vil sige: diamantens diagonaler er halveringslinjerne i dens vinkler.
Ejendom 3
Modsatte vinkler af en rombe har den samme måling to og to.
DemonstrationLad ABCD være en rombe med centrum O. Fra beviset på egenskab 2:
= = = og
= = = .
Så = og = .
Ejendom 4
En rombe har mindst to akser af symmetri : dens diagonaler.
DemonstrationLad være en rombe ABCD af centrum O. I henhold til 3. af egenskab 1 skærer diagonalerne sig i deres midte (egenskab af parallelogrammet) og er vinkelrette. Så C er billedet af A efter aksesymmetri (BD), og D er billedet af B ved aksesymmetri (AC).
Bemærkninger
Definitionen af romben som et parallelogram kræver, at en rombe er en plan figur. Der er firkanter (med fire forskellige hjørner) med de fire sider af samme længde, som ikke er romber. Det er tilstrækkeligt at placere sig selv i et euklidisk affinrum af dimension 3 og få den ene side af en "ægte rombe" til at dreje efter en af dens diagonaler.
En firkant er en bestemt rombe. Det er den eneste, der også er et rektangel , det vil sige at have fire rette vinkler.
Areal
hvor d repræsenterer længden af den lille diagonal og D repræsenterer længden af den store diagonal af romben.
Rhombohedron
En romboeder er en flerhed, hvis seks ansigter er romber.
Billedligt
"Le Losange" eller "diamantmærket" er udtryk, der regelmæssigt bruges til at betegne Renault- bilmærket , analogt med logoets form.
Noter og referencer
- Editions Larousse , " Definitioner: diamant - Ordbog for fransk Larousse " , på www.larousse.fr .
- http://www.cnrtl.fr/definition/rhombe