M-matrix

I matematik er en M-matrix en ægte kvadratmatrix , der både er en P- matrix og en Z- matrix, hvilket betyder, at alle dens større mindreårige er strengt positive, og dens ekstra diagonale elementer er negative. Andre karakteriseringer kan bruges, hvoraf nogle er angivet nedenfor.

Disse matricer griber ind i undersøgelsen af problemerne med lineær komplementaritet og i visse diskretiseringer af differentielle operatører, især dem, der adlyder et maksimumsprincip, som Laplacian.

Denne klasse af matricer synes at være indført af Alexander Ostrowski med henvisning til Hermann Minkowski .

Definitioner

Begrebet M- matrix kan defineres på forskellige måder, naturligvis ækvivalent. Begreberne Z- matrix , P- matrix og S- matrix anvendes nedenfor .

M- matrix - Vi siger, at en ægte kvadratmatrixer en M- matrix, hvis den er en Z- matrix, og hvis en af følgende ækvivalente egenskaber holder, ækvivalent under den antagelse, at : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M$ er inverterbar og (alle elementer i dens inverse er positive), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
alle egenværdierne har en strengt positiv reel del. $M$

Vi betegner ved M sæt M- matricer af enhver rækkefølge. Kaldet M -matricité tilhører en matrix for at tilhøre M .

Ejendomme

Lineær algebra

De LU faktorer af en M -matrix findes og kan beregnes på en stabil måde, uden svingning. Denne egenskab gælder også for ufuldstændig LU-faktorisering.

Lineær komplementaritet

Et lineært komplementaritetsproblem består i at finde en vektor , der og i denne definition er transponering af og ulighederne skal forstås komponent for komponent. Dette problem bemærkes undertiden kompakt som følger ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}$ $x$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Det tilladte sæt af dette problem bemærkes

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Betydningen af M- matricer i lineære komplementaritetsproblemer kommer fra følgende resultat.

M- matrix og lineært komplementaritetsproblem - For en matrixer følgende egenskaber ækvivalente: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ times n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
for alle , indeholder et minimum (for rækkefølgen af ) som en enestående løsning af , $q$ $\ operatorname {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operatorname {CL} (M, q)$
for alle vektorer , de løsninger, der skal verificeres . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Tillæg

Bemærkninger

(in) Sider 134, 161 (2.3 og 6.1 vurderingssætning i kapitel 6) i Bermon and Plemmons (1994).

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Ikke-negative matricer i de matematiske videnskaber . Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA. ( ISBN 0898713218 ) .
(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Det lineære komplementaritetsproblem . Klassikere i anvendt matematik 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Emner i matrixanalyse . Cambridge University Press, New York, NY, USA.