M-matrix

I matematik er en M-matrix en ægte kvadratmatrix , der både er en P- matrix og en Z- matrix, hvilket betyder, at alle dens større mindreårige er strengt positive, og dens ekstra diagonale elementer er negative. Andre karakteriseringer kan bruges, hvoraf nogle er angivet nedenfor.

Disse matricer griber ind i undersøgelsen af ​​problemerne med lineær komplementaritet og i visse diskretiseringer af differentielle operatører, især dem, der adlyder et maksimumsprincip, som Laplacian.

Denne klasse af matricer synes at være indført af Alexander Ostrowski med henvisning til Hermann Minkowski .

Definitioner

Begrebet M- matrix kan defineres på forskellige måder, naturligvis ækvivalent. Begreberne Z- matrix , P- matrix og S- matrix anvendes nedenfor .

M- matrix  -  Vi siger, at en ægte kvadratmatrixer en M- matrix, hvis den er en Z- matrix, og hvis en af ​​følgende ækvivalente egenskaber holder, ækvivalent under den antagelse, at : M∈Rikke×ikke{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}M∈Z{\ displaystyle M \ in \ mathbf {Z}}

1. M∈P{\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}},
2. M∈S{\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}},
3. M{\ displaystyle M}er inverterbar og (alle elementer i dens inverse er positive),M-1⩾0{\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}
4. alle egenværdierne har en strengt positiv reel del.M{\ displaystyle M}

Vi betegner ved M sæt M- matricer af enhver rækkefølge. Kaldet M -matricité tilhører en matrix for at tilhøre M .

Ejendomme

Lineær algebra

De LU faktorer af en M -matrix findes og kan beregnes på en stabil måde, uden svingning. Denne egenskab gælder også for ufuldstændig LU-faktorisering.

Lineær komplementaritet

Et lineært komplementaritetsproblem består i at finde en vektor , der og i denne definition er transponering af og ulighederne skal forstås komponent for komponent. Dette problem bemærkes undertiden kompakt som følger x⩾0,{\ displaystyle x \ geqslant 0,}Mx+q⩾0{\ displaystyle Mx + q \ geqslant 0}x⊤(Mx+q)=0.{\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}M∈Rikke×ikke,{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n},} q∈Rikke,{\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},} x⊤{\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}x{\ displaystyle x}

CL(M,q)0⩽x⊥(Mx+q)⩾0.{\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}

Det tilladte sæt af dette problem bemærkes

Adm(M,q): ={x∈Rikke:x⩾0, Mx+q⩾0}.{\ displaystyle {\ mbox {Adm}} (M, q): = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.}

Betydningen af M- matricer i lineære komplementaritetsproblemer kommer fra følgende resultat.

M- matrix og lineært komplementaritetsproblem  -  For en matrixer følgende egenskaber ækvivalente: M∈Rikke×ikke{\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ times n}}

1. M∈M{\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}},
2. for alle , indeholder et minimum (for rækkefølgen af ) som en enestående løsning af ,q{\ displaystyle q}Adm⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {Adm} ​​(M, q)}⩽{\ displaystyle \ leqslant}Rikke{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}CL⁡(M,q){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q)}
3. for alle vektorer , de løsninger, der skal verificeres .q1⩽q2{\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}x¯jeg{\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}CL⁡(M,qjeg){\ displaystyle \ operatorname {CL} (M, q ^ {i})}x¯1⩾x¯2{\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}

Tillæg

Bemærkninger

1. (in) Sider 134, 161 (2.3 og 6.1 vurderingssætning i kapitel 6) i Bermon and Plemmons (1994).

Relaterede artikler

• Lineær komplementaritet
• Hurwitz-matrix
• P-matrix
• Z-matrix

Bibliografi

• (en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Ikke-negative matricer i de matematiske videnskaber . Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA. ( ISBN  0898713218 ) .
• (en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). Det lineære komplementaritetsproblem . Klassikere i anvendt matematik 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Emner i matrixanalyse . Cambridge University Press, New York, NY, USA.