Anticirkulerende matricer
I matematik er anticirkulerende matricer et specielt tilfælde af Hankel- eller Toeplitz-matricer . Ordet kan betegne flere typer matricer.
Standard anticirkulationsmidler
En standard anticirkulerende matrix af størrelse n med komplekse koefficienter er af den generelle form:
VS=(vs.0vs.1vs.2......vs.ikke-1vs.1vs.ikke-2vs.ikke-1vs.0vs.2vs.ikke-2vs.ikke-1vs.0vs.1...........................vs.ikke-1vs.0vs.1vs.2...vs.ikke-2){\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ prikker & \ ldots & c_ {n-1} \\ c_ {1} &&& c_ {n-2 } & c_ {n -1} & c_ {0} \\ c_ {2} && c_ {n-2} & c_ {n-1} & c_ {0} & c_ {1} \\\ prikker &&& \ prikker & \ prikker \\\ prikker &&& \ prikker & \ prikker \\\ prikker &&& \ prikker & \ prikker \\ c_ {n-1} & c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ prikker & c_ {n-2} \ end {pmatrix}}}
hvor koefficienterne c i er komplekser. Værdien af koefficienterne forbliver konstant på matrixens sekundære diagonaler, og deres sum i række, ligesom i kolonne, forbliver konstant.
Hankel Anticirculants
En anden definition giver de anti -cirkulerende Hankel-matricer ( g-cirkulerende eller H-skævcirkulerende ) i modsætning til de cirkulerende Hankel-matricer (eller f-cirkulerende), ligesom de "antisymmetriske" Hankel-matricer med hensyn til matrixens anden diagonal .
De er af formen:
VS=(vs.0vs.1vs.2......0vs.1vs.ikke-20-vs.ikke-2vs.2vs.ikke-20-vs.ikke-2-vs.ikke-3........................-vs.10-vs.ikke-2-vs.ikke-3...-vs.1-vs.0).{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & c_ {1} & c_ {2} & \ prikker & \ ldots & 0 \\ c_ {1} &&& c_ {n-2} & 0 & - c_ {n-2} \\ c_ {2} && c_ {n-2} & 0 & -c_ {n-2} & - c_ {n-3} \\\ prikker &&& \ prikker & \ prikker \\\ prikker &&& \ prikker & \ prikker \\ \ prikker &&& \ prikker && - c_ {1} \\ 0 & -c_ {n-2} & - c_ {n-3} & \ prikker & -c_ {1} & - c_ {0} \ end {pmatrix}}.}
Det vises, at enhver Hankel-matrix er summen af en cirkulerende matrix og en anticirkulerende matrix.
Toeplitz Anticirculant
Man kalder undertiden anticirkulerende matricer af Toeplitz, formenes matricer:
VS=(vs.0-vs.1-vs.2...-vs.ikke-1vs.ikke-1vs.0-vs.1-vs.ikke-2vs.ikke-2vs.ikke-1vs.0-vs.ikke-3⋮⋱⋮vs.1vs.2vs.3...vs.0).{\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} c_ {0} & - c_ {1} & - c_ {2} & \ dots & -c_ {n-1} \\ c_ {n-1} & c_ {0 } & -c_ {1} && - c_ {n-2} \\ c_ {n-2} & c_ {n-1} & c_ {0} && - c_ {n-3} \\\ vdots &&& \ ddots & \ vdots \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} & \ dots & c_ {0} \ end {pmatrix}}.}
De kaldes også venstre cirkulerende matricer ( skæv på engelsk) og indgår i nedbrydningen af Toeplitz-matricer.
Nogle egenskaber af anticirkulationsmidler af standardtype
De danner et vektorunderrum af magiske firkanter .
De danner ikke en subalgebra af algebraen af firkantede matricer af størrelse n .
De er diagonaliserbare i ℂ (se Hankel-matrix ).
Specielt tilfælde af dimension 3
Vi viser, at enhver magisk firkant er skrevet som summen af en cirkulerende matrix og en anticirkulerende matrix.
Denne nedbrydning er ikke unik og finder ikke længere sted i de højere dimensioner.
Noter og referencer
-
(i) Ivan Oseledets , " Optimale Karatsuba-lignende formler til nogle bilineære former i GF (2) " , Linear Algebra Appl. , Vol. 429, nr . 8,2008, s. 2052-2066, s. 17 i fortrykket
-
(es) Circulantes Matriciales , på webstedet Matemáticas y Poesía
-
(i) Vadim Olshevsky , Hurtig algoritmer for strukturerede Matricer: Teori og anvendelser , AMS ,2001( ISBN 978-0-8218-1921-0 , læs online )
-
(i) Dario Bini og Victor Pan , polynomial og matrix beregninger , vol. 1, Birkhäuser ,1994, 415 s. ( ISBN 978-3-7643-3786-5 )
-
(i) Raymond Chang og Michael K. Ng , " Conjugate Gradient Metoder til Toeplitz Systems " , SIAM Rev. , Vol. 38, nr . 3,1996, s. 427-482 ( læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">