Aritmetisk-geometrisk middelværdi

Det aritmetisk-geometriske gennemsnit af to positive realer er en mellemliggende værdi opnået som grænsen for to tilstødende sekvenser, der tilfredsstiller et gentagelsesforhold, der bruger formlerne af aritmetiske og geometriske midler .

Den kvadratiske konvergens af disse sekvenser muliggør en hurtig tilnærmelse af det aritmetisk-geometriske middel, som især er forbundet med længden af en ellipse som en funktion af længderne på dens akser.

Definition

Givet to positive reals og , vi definerer to positive sekvenser og , af første semestre , og opfylder recidiv relationer: $på$ $b$ $(en})$ $(v_n)$ ${\ displaystyle u_ {0} = a}$ ${\ displaystyle v_ {0} = b}$

u _ {{n + 1}} = {\ sqrt {u_ {n} v_ {n}}}

{\ displaystyle v_ {n + 1} = {\ frac {u_ {n} + v_ {n}} {2}}}

De to suiter og er tilgrænsende : ${\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ geq u_ {n}}$ for alle (fordi ), så det er stigende ( ), er faldende ( ) og så . $n \ geq 1$ ${\ displaystyle v_ {n + 1} -u_ {n + 1} = {\ frac {({\ sqrt {v_ {n}}} - {\ sqrt {u_ {n}}}) ^ {2}} { 2}}}$ ${\ displaystyle (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}$ ${\ displaystyle (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle v_ {n + 1} \ leq v_ {n}}$
${\ displaystyle 0 \ leq v_ {n + 1} -u_ {n + 1} \ leq v_ {n + 1} -u_ {n} = {\ frac {v_ {n} -u_ {n}} {2} }}$ ${\ displaystyle v_ {n} -u_ {n} \ til 0}$ Ifølge sætningen af tilstødende sekvenser, og har derfor en fælles grænse, kaldet det aritmetisk-geometriske gennemsnit af og . $(en})$ $(v_n)$ $M (a, b)$ $på$ $b$

Det aritmetisk-geometriske gennemsnit er faktisk et gennemsnit

Givet to positive realer, og vi viser, at: $på$ $b$

$M (a, b) = M \ venstre ({\ frac {a + b} 2}, {\ sqrt {ab}} \ højre)$ ;
derfor ; $M (a, b) = M (b, a)$
det direkte fra definitionen for det , . Denne egenskab, sammenføjet med den foregående, betyder, at det aritmetisk-geometriske gennemsnit er (som alle andre midler) en symmetrisk og homogen funktion af rækkefølge 1 i og ; ${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle M (ta, tb) = tM (a, b)}$ $på$ $b$
${\ displaystyle \ min (a, b) \ leq {\ sqrt {ab}} \ leq M (a, b) \ leq {\ frac {a + b} {2}} \ leq \ max (a, b) }$ , lighed forekommer kun når . $a = b$

Konvergenshastighed

Antag og antag . ${\ displaystyle 0 <b \ leq a}$ ${\ displaystyle c_ {n}: = v_ {n} -u_ {n}}$

Det følger af stigningen: at denne proces har kvadratisk konvergens . ${\ displaystyle c_ {n + 1} = {\ frac {(v_ {n} -u_ {n}) ^ {2}} {2 ({\ sqrt {v_ {n}}} + {\ sqrt {u_ { n}}}) ^ {2}}} \ leq {\ frac {c_ {n} ^ {2}} {8b}}}$

Forhold til en elliptisk integral

Gauss etablerede et forhold mellem og en elliptisk integral af den første art : $M (a, b)$

{\ displaystyle {\ begin {align} M (a, b) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg /} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {a + b} {K \ left ({\ frac {ab} {a + b}} \ right)}} \ end {aligned}}}

hvor $K ( k )$ er den elliptiske integral af den første slags:

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ sin ^ {2 } (\ theta)}}}}

Han viste faktisk, at integralen også verificerer forholdet . Derfor har vi ved induktion på n , hvor u n og v n er de aritmetisk-geometriske sekvenser relateret til a og b . Derefter ved at gå over til grænsen . ${\ displaystyle I (a, b) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2 } \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}}}$ ${\ displaystyle I (a, b) = I \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ right)}$ ${\ displaystyle I (a, b) = I (u_ {n}, v_ {n})}$ ${\ displaystyle I (a, b) = I (M (a, b), M (a, b)) = {\ frac {\ pi} {2M (a, b)}}}$

Det gaussiske forhold og hastigheden af konvergensen af de to aritmetisk-geometriske sekvenser mod middelværdien giver et hurtigt middel til præcis tilnærmelsesvis numerisk beregning af værdien af den elliptiske integral . $M (a, b)$ ${\ displaystyle I (a, b)}$

Historie

Det aritmetisk-geometriske middel blev opdaget uafhængigt af matematikerne Adrien-Marie Legendre og derefter Carl Friedrich Gauss, der brugte det til at beregne på en omtrentlig måde længden af buen på en hvilken som helst ellipse, der udtrykkes som en elliptisk integral og endda er ved oprindelsen af interessen for dette analyseområde. Analysere forholdet mellem de gennemsnitlige aritmetiske-geometriske og elliptiske integralerne for 1 st art, Gauss, i sine matematiske Cahiers gjorde opmærksom på forholdet (giver buelængde en lemniscate Bernoulli ) . ${\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {2}})}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {{\ mathrm d} t} {{\ sqrt {1 -t ^ {4}}}}}$

Noter og referencer

Bemærkninger

Se for eksempel foredraget af John Boxall , " Det aritmetisk-geometriske middelværdi: anvendelser og generaliseringer " , om Uddannelsesbibliotek .
Se artiklen Generelt gennemsnit .
Jf. Carl Friedrich Gauss , Mathematisches Tagebuch 1796–1814: med en historisk introduktion af Kurt-R. Biermann , Frankfurt am Main, Harri Deutsch, koll. "Klassiker der Ostwalds exakten Wissenschaften" ( n o 256) ( Repr. 2005, 5 th ed., Revideret og kommenteret af Hans Wussing og Olaf Neumann), "98 (Brunswick 30. maj 1798)" : “ Terminum medium arithmetico-geometricum inter 1 et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus campus in analysi certo aperietur. ${\ sqrt {2}}$ $= {\ frac {\ pi} {\ varpi}}$ " Derfra , den konstante af lemniscate undersøgt af Gauss. $\ varpi: = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dt} {{\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}$

Bibliografi

(en) ET Whittaker og GN Watson , A Course of Modern Analysis (en) , Cambridge, koll. "Cambridge Mathematical Library",2000, 4 th ed. ( 1 st ed. 1927), s. 515

Eksternt link

Antoine Chambert-Loir , " Den fabelagtige skæbne for det aritmetisk-geometriske middelværdi " på Institut for Matematik i Orsay