Descartes metode

Den fremgangsmåde til Descartes kendt som ved ubestemte koefficienter gør det muligt at løse ligninger af anden, men også og især af den fjerde grad .

René Descartes bruger til dette faktoriseringen af polynomer af grad $n$ i form med de n reelle eller komplekse rødder (se d'Alembert-Gauss sætning ), som han derefter er en af de første matematikere til at mestre. ${\ displaystyle a (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) \ cdots (x-x_ {n})}$ $x_ {1}, \ ldots, x_ {n}$

Kvadratisk ligning

At løse

økse ^ {2} + bx + c = 0

vi starter ud fra de to forhold mellem koefficienter og rødder :

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}}

;

x_ {1} x_ {2} = {\ frac ca}

Den første relation svarer til

{\ displaystyle x_ {1} = - {\ frac {b} {2a}} + p \ quad {\ text {et}} \ quad x_ {2} = - {\ frac {b} {2a}} - p }

hvor $p$ er en parameter bestemt af det andet forhold.

Dette trick er meget almindeligt: når vi kender summen C af to tal A og B, kan vi altid skrive A som summen af halvdelen af C og en bestemt størrelse p; B, for at opretholde ligestillingen A + B = C, vil nødvendigvis være halvdelen af C minus p værd.

Vi ankommer derefter kl

{\ displaystyle \ left (- {\ frac {b} {2a}} + p \ right) \ left (- {\ frac {b} {2a}} - p \ right) = {\ frac {c} {a }}}

og vi udleder af det $\pm p$ , så de to rødder.

Ligning af grad 4

I sit arbejde La Géométrie (1637) anvender Descartes denne metode til at løse ligningerne i den fjerde grad :

Vi reducerer først ligningen (ved at dividere med den dominerende koefficient og derefter ved at oversætte variablen for at eliminere termen for grad 3 ) til en ligning af formen

{\ displaystyle z ^ {4} + pz ^ {2} + qz + r = 0}

Vi antager, at denne ligning ikke er bicarled , det vil sige, at $q \neq 0$ .

Målet er kun at skulle løse to ligninger i anden grad for at finde de fire rødder, man søger derefter at nedbryde polynomet til et produkt af to enhedspolynomer i anden grad, hvoraf det vil være nødvendigt at bestemme koefficienterne. Vi sætter derfor a priori ${\ displaystyle X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r}$

{\ displaystyle (X ^ {2} + aX + b) (X ^ {2} + a'X + c) = X ^ {4} + pX ^ {2} + qX + r}

hvilket svarer til ved at udvikle og identificere koefficienterne til:

{\ displaystyle {\ begin {cases} a '+ a & = 0 & \\ c + aa' + b & = p \\ ac + ba '& = q \\ bc & = r, \ end {cases}} }

eller til

{\ displaystyle {\ begin {cases} a '& = - a \\ c + b & = p + a ^ {2} \\ cb & = q / a \\ bc & = r \ end {cases}}}

så ved

{\ displaystyle {\ begin {cases} a '= - a \\ c = {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} \\ b = {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} \\ (p + a ^ {2} -q / a) (p + a ^ {2} + q / a) = 4r. \ Afslut {cases}}}

Den fjerde ligning omskrives:

{\ displaystyle (p + a ^ {2}) ^ {2} - {\ frac {q ^ {2}} {a ^ {2}}} = 4r}

eller:

{\ displaystyle {\ begin {cases} a ^ {2} = A \\ (A + p) ^ {2} A-4rA = q ^ {2}. \ end {cases}}}

Vi finder en løsning $A 0$ af den sidste ligning - kaldet løse kubisk (en) - ved en af de standardmetoder , så vi vælger til $en$ af de to kvadratrødder af $et 0$ , og vi udlede $en "$ , $c$ og $b$ ved de foregående ligninger.

De to opnåede ligninger:

{\ displaystyle z ^ {2} + az + {\ frac {p + a ^ {2} -q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {eller}} \ quad z ^ {2} - az + {\ frac {p + a ^ {2} + q / a} {2}} = 0 \ quad {\ text {med}} \ quad a ^ {2} = A_ {0}}

er identiske med Ferrari (1540):

{\ displaystyle z ^ {2} + az + y_ {0} - {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {eller}} \ quad z ^ {2} -az + y_ {0 } + {\ frac {q} {2a}} = 0 \ quad {\ text {med}} \ quad a ^ {2} = 2y_ {0} -p}

fordi parameterændringen vender den resolutte kubiske Descartes i forhold til Ferrari . ${\ displaystyle A = 2y-p}$ ${\ displaystyle 4 (y ^ {2} -r) (2y-p) = q ^ {2}}$

Descartes 'resolvent, og udtrykket af de fire løsninger som en funktion af en rod af dette resolvent, er identiske med dem i Lagrange's metode (1770).

For eksempler, se lektionen om Wikiversity ( link nedenfor ) og dens øvelser.

Bemærk

For en generalisering af metoden uden denne indledende skridt, se Joseph-Alfred Serret , Cours d'Algèbre Supérieur ,1854, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1849) ( læst linje ) , s. 242eller slutningen af Wikiversity- kapitlet ( link nedenfor ).

Se også