Varmekerne

I matematik er varmekernen en grøn funktion (også kaldet den elementære løsning) af varmeligningen over et bestemt domæne, eventuelt med passende randbetingelser . Det er også et af de vigtigste værktøjer til at studere det laplaciske spektrum . Varmekernen repræsenterer ændringen i temperatur svarende til en varmeenhed på et tidspunkt på det indledende tidspunkt.

Varm kerne i fri plads

Kernen af varme i frit rum R d har udtrykket

K(t,x,y)=1(4πt)d/2e-|x-y|2/4t{\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}} ${\ displaystyle K (t, x, y) = {\ frac {1} {(4 \ pi t) ^ {d / 2}}} e ^ {- | xy | ^ {2} / 4t}}$

og er løsning af varme ligningen

∂K∂t(t,x,y)=ΔxK(t,x,y){\ displaystyle {\ frac {\ partial K} {\ partial t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)} ${\ displaystyle {\ frac {\ partial K} {\ partial t}} (t, x, y) = \ Delta _ {x} K (t, x, y)}$

for alle t > 0 og x , y ∈ R d , med den oprindelige tilstand

limt→0K(t,x,y)=δ(x-y)=δx(y){\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} K (t, x, y) = \ delta (xy) = \ delta _ {x} (y)}$

hvor δ er Dirac-fordelingen, og grænsen tages i betydningen af fordelingerne , dvs. for enhver testfunktion φ

limt→0∫RdK(t,x,y)φ(y)dy=φ(x).{\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).} ${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K (t, x, y) \ varphi (y) \, \ mathrm {d} y = \ varphi (x).}$

Spektral teori

Generelle definitioner

Enten et kompakt område om bord . På dette område, man ser på den positive operatør , hvor er den Laplace , forsynet med randbetingelser på kanten af feltet (Dirichlet, Neumann, blandet), som fuldstændig løse problemet. $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ delvis \ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $\ Delta$ $\ delvis \ Omega$

Den positive operator er generatoren for en kontinuerlig semigruppe i . Vi kan derefter skrive for en hvilken som helst summerbar kvadratfunktion f : ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$ $L ^ {2} (\ Omega)$

${\ displaystyle e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ f (x) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ = \ int _ {\ Omega} dy \ K (x, y, t) \ f (y)}$

Funktionen K ( x , y , t ) kaldes " varmekerne ". Faktisk er funktionen:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x)}$

er helt klart en løsning af varmeligningen :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, t)} {\ partial t}} \ = \ \ Delta \ f (x, t)}$

Desuden semi-gruppe tenderer mod identitet, når tiden t tenderer mod nul:

${\ displaystyle f (x, t) \ = \ \ e ^ {+ \; t \; \ Delta} \ f (x) \ \ til _ {t \ til 0 ^ {+}} \ f (x)}$

således at kernen af varme K skal have den asymptotiske opførsel:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ \ til _ {t \ til 0 ^ {+}} \ \ delta (xy)}$

hvor er Dirac-distributionen . Således ser kernen af varme K ( x , y , t ) ud til at være en funktion af grøn eller elementær opløsning af varme ligningen. ${\ displaystyle \ delta (x)}$

Spektral teori

Når feltet er kompakt, har den positive operator et diskret spektrum af egenværdier, hvormed et Hilbertiansk basis af egenvektorer er forbundet (man bruger her notationerne af Dirac ): $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} = - \ \ Delta}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Vi kan derefter skrive ved at introducere to gange den afsluttende relation:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ langle y | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | x \ rangle \ = \ \ sum _ {n, m = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {m} \ rangle \ \ langle \ psi _ {m} | e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle}$

hvem bliver:

${\ displaystyle K (x, y, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ langle y | \ psi _ {n} \ rangle \ \ langle \ psi _ {n} | x \ rangle \ e ^ {- \; t \; \ \ lambda _ {n}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ overline {\ psi _ {n} }} (y) \ \ psi _ {n} (x) \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Varme kerne spor

Den spor af varmen kerne er defineret ved:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Egenstaterne er ortonormale, man bemærker, at man kan skrive:

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ \ int _ {\ Omega} dx \ | \ psi _ {n} (x) | ^ {2} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ { - \; t \; \ lambda _ {n}}}$

Vi har derfor det grundlæggende forhold:

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ int _ {\ Omega} dx \ K (x, x, t)}$

Denne relation er knyttet til mange "sporformler" som Selberg i hyperbolsk geometri eller Gutzwillers i den semi-klassiske tilnærmelse.

Spektrale funktioner

Vi definerer tællefunktionen af egenværdierne:

${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ theta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ { + \ infty} \ \ theta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

hvor er fordelingen af Heaviside . Tællefunktionen er en stigende positiv trappefunktion, som giver det samlede antal egenværdier mindre end eller lig med . Dens afledte er spektral densitet af egenværdier: $\ theta (x)$ $\ lambda$

${\ displaystyle \ rho (\ lambda) \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ delta ({\ hat {H}} - \ lambda) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ delta (\ lambda _ {n} - \ lambda)}$

Sporet af varmekernen er relateret til disse funktioner ved en Laplace-transformation :

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ e ^ {- \; t \; \ lambda _ {n}} \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ \ rho (\ lambda) \ d \ lambda \ = \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- \; t \; \ lambda} \ d {\ mathcal {N}} (\ lambda)}$

Spektral zeta-funktion

Vi antager her, at det grundlæggende . I analogi med Riemann zeta-funktionen introducerer vi den spektrale zeta-funktion af Dirichlet-typen : ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ neq 0}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ {\ frac {1} {\ lambda _ {n} ^ {s}}}}$

som konvergerer for tilstrækkeligt stort. Denne zeta-funktion er forbundet med sporet af varmekernen ved en Mellin-type transformation : ${\ displaystyle \ Re \ mathrm {e} \ left [\, s \, \ right]}$

${\ displaystyle \ zeta (s) \ = \ {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ \ int _ {0} ^ {+ \ infty} dt \ t ^ {s-1} \ \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}}}$

Zeta-funktionen bruges især til at regulere determinanterne for operatorer (en), der vises under beregninger af integrerede stier i kvantefeltteori . Faktisk er determinanten for operatøren H defineret af:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n}}$

Med identiteten:

${\ displaystyle \ ln \ \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ ln \ \ left (\ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ lambda _ {n} \ højre) \ = \ \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ \ ln \ lambda _ {n} \ = \ \ mathrm {Tr} \ \ ln \ {\ hat {H}}}$

vi demonstrerer let det formelle forhold:

${\ displaystyle \ mathrm {det} \ {\ hat {H}} \ = \ \ exp \, \ left [\, - \ \ zeta '(0) \, \ right]}$

hvor afledningen af zeta-funktionen evalueres ved s = 0.

Udvidelse til kompakte Riemannian manifolds

Alle de foregående definitioner strækker sig ganske naturligt til tilfældet med Laplace-Beltrami-operatøren på en kompakt Riemannian- manifold , som derefter også har et diskret spektrum. På en kompakt manifold kan den konstante funktion normaliseres til enhed, så jordtilstanden er forbundet med nul egenværdien, som ikke er degenereret.

Det er så praktisk at spørge :, og vi har: $\ lambda _ {0} = 0$

${\ displaystyle {\ hat {H}} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ = \ \ lambda _ {n} \ | \ psi _ {n} \ rangle \ ,, \ quad 0 = \ lambda _ { 0} \ <\ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq \ dots \ leq \ lambda _ {n} \ leq \ dots \ leq + \ infty}$

Man kan også knytte en zeta-funktion til dette spektrum under forudsætning af, at nul egenværdien "fjernes manuelt".

Asymptotisk udvikling af varmekernen

Varmekernens diagonale betegnelse indrømmer en asymptotisk udvikling på kort tid.

Kompakt Riemannian-sort uden kant

For en kompakt Riemannian manifold M med dimension d uden kant har vi udviklingen af Minakshisundaram-Pleijel (1949):

${\ displaystyle K (x, x, t) \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} (x) \ t ^ {n} \ qquad (t \ til 0 ^ {+})}$

hvor koefficienterne er glatte funktioner på M , som afhænger af metricen og dens derivater i x . Ved integration på alle punkter x udleder vi, at sporet af varmekernen også indrømmer en asymptotisk udvikling på kort tid: $a_n (x)$

${\ displaystyle \ mathrm {Tr} \ e ^ {- \; t \; {\ hat {H}}} \ \ sim \ {\ frac {1} {t ^ {d / 2}}} \ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} A_ {n} \ t ^ {n} \ qquad (t \ til 0 ^ {+})}$

hvor konstanterne er defineret af: $År}$

${\ displaystyle A_ {n} \ = \ \ int _ {M} a_ {n} (x) \ d \ mu (x)}$

til måling induceret af metricen. Disse konstanter afslører visse globale geometriske egenskaber ved M ; for eksempel er konstanten proportional med hypervolumenet af manifolden:, hvor: $A_0$ ${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M)}$

${\ displaystyle \ mathrm {mes} \, (M) \ = \ \ int _ {M} \ d \ mu (x)}$

Varianter om bord

Eksistensen af en sådan asymptotisk udvikling kan udvides til at omfatte sorter med tilstrækkeligt regelmæssige kanter. Laplace-Beltrami-operatøren skal derefter have passende randbetingelser.

Spektrum og geometri

Udviklingen af varmekernespor er relateret til udviklingen af egenværditællingsfunktionen (eller dens afledte, spektraltæthed).

Relaterede artikler

Bibliografi

Referencebøger

Marcel Berger, Paul Gauduchon & Edmond Mazet; Spektret af en Riemanian manifold , Lecture Notes in Mathematics 194 , Springer-Verlag (1971).
Isaac Chavel; Eigenværdier i Riemannian geometri , ren og anvendt matematik 115 , Academic Press ( 2 e- udgave 1984) ( ISBN 0121706400 ) .

Nogle artikler

S Minakshisundaram & A Pleijel; Nogle egenskaber ved Laplace-operatørens egenfunktioner på Riemannian manifolds , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.
HP McKean & IM Singer; Krumning og egenværdier af Laplacian , Journal of Differential Geometry 1 (1) (1967), 43-69.
Peter B. Gilkey; Den spektrale geometri af en Riemannian manifold , Journal of Differential Geometry 10 (4) (1975), 601-618.
Yves Colin de Verdière; Asymptotiske egenskaber ved varmeligningen på en kompakt manifold ifølge P. Gilkey , Bourbaki Seminar (November 1973).
Yves Colin de Verdière; Laplacian spektrum og længder af periodisk geodesik (I) , Compositio Mathematica 27 (1) (1973), s. 83-106 . Numdam .
Yves Colin de Verdière; Laplacian spektrum og længder af periodisk geodesik (II) , Compositio Mathematica , 27 (2) (1973), s. 159-184 . Numdam .
Maria Teresa Arede; Geometri af varmekernen på manifolder , ph.d.-afhandling, University of Marseille (1983).
Teresa Arede; Manifoldere, for hvilke varmekernen er angivet i form af geodetiske længder , Letters in Mathematical Physics 9 (2) (1985), 121-131.
Peter B Gilkey; Heat Equation Asymptotics , Proc. Pæn. Ren og anvendt matematik. V54 (1993), 317-336.
Klaus Kirsten; Spektrale funktioner i matematik og fysik , Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2002), ( ISBN 1-58488-259-X ) .
Peter B. Gilkey; Asymptotiske formler i spektral geometri , Studies in Advanced Mathematics, vol. 43, Chapman & Hall / CRC, Boca Raton, FL (2004), ( ISBN 1-58488-358-8 )

Virtuelt bibliotek

Claude Bardos & Olivier Laffite; En syntese af gamle og nylige resultater om den asymptotiske opførsel af Laplacian egenværdier på en Riemannian manifold , (1998). PostScript .
M. van den Berg, S. Desjardins & PB Gilkey; Rymanniske manifolders asymptotiske varmeindhold , i: Differential Geometry and its Applications , O. Kowalski & D. Krupka (eds), procedure af 5. internationale konference 1992 om differentieret geometri og dens anvendelser ved Silesian University (1993), ( ISBN 80-901581 -0-2 ) , s. 61-64 . PostScript .
DV Vassilevich; Varmekerneudvidelse : brugervejledning , Physics Report 388 (2003), 279-360. ArXiv: hep-th / 0306138 .
Arlo Caine; Varmekernen på en Riemannian manifold , pdf .
Daniel Grieser; Bemærkninger om varmekerne på manifolds med grænse , pdf .

Bemærkninger

I statistisk fysik er det den kanoniske delingsfunktion Z (t) i systemet for den "inverse temperatur" t .
Subbaramiah Minakshisundaram & Åke Pleijel; Nogle egenskaber ved Laplace-operatørens egenfunktioner på Riemannian manifolds , Canadian Journal of Mathematics 1 (1949), 242-256.