Nullitet af det covariante derivat af den metriske tensor
Den ugyldighed af covariant derivat af den metriske tensor af en Riemannske manifold udtryk for, at den samme foranstaltning anvendes på ethvert punkt af manifolden. I matematiske termer udtrykkes det i form: hvor repræsenterer komponenterne i derivatet af tensoren. Denne egenskab kan demonstreres på to måder:
gαβ{\displaystyle g_{\alpha \beta }}gαβ;γ=0{\displaystyle g_{\alpha \beta ;\gamma }=0}gαβ;γ{\displaystyle g_{\alpha \beta ;\gamma }}
Demonstration
Lad være en lokal base, og den metriske tensor udtrykkes i denne base. Ved definition af covariant derivat, vi har for alt , og :
(eα){\displaystyle (e_{\alpha })}gαβ=g(eα,eβ){\displaystyle g_{\alpha \beta }=g(e_{\alpha },e_{\beta })}α{\displaystyle \alpha }β{\displaystyle \beta }γ{\displaystyle \gamma }
∂γgαβ=∂γg(eα,eβ)=g(∇eγeα,eβ)+g(eα,∇eγeβ){\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=\partial _{\gamma }g(e_{\alpha },e_{\beta })=g(\nabla _{e_{\gamma }}e_{\alpha },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\nabla _{e_{\gamma }}e_{\beta })}derfor ved definition af Christoffels symboler:
∂γgαβ=g(Γγαλeλ,eβ)+g(eα,Γγβλeλ)=Γγαλg(eλ,eβ)+Γγβλg(eα,eλ)=Γγαλgλβ+Γγβλgαλ{\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }=g(\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }e_{\lambda },e_{\beta })+g(e_{\alpha },\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g(e_{\lambda },e_{\beta })+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g(e_{\alpha },e_{\lambda })=\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }+\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }}eller:
∂γgαβ−Γγαλgλβ−Γγβλgαλ=0{\displaystyle \partial _{\gamma }g_{\alpha \beta }-\Gamma _{\gamma \alpha }^{\lambda }g_{\lambda \beta }-\Gamma _{\gamma \beta }^{\lambda }g_{\alpha \lambda }=0}Men ovennævnte udtryk er netop det for , covariant derivat af tensoren g.
gαβ;γ{\displaystyle g_{\alpha \beta ;\gamma }}
Detalje af fysisk ræsonnement: de Ækvivalensprincip hedder, at det altid er muligt at finde en lokal Lorentz repository, hvor de første derivater af metriske er nul, det vil sige: . Imidlertid afhænger Christoffel-koefficienterne kun af de første derivater af metricen, vi har derfor: og .
gαβ,γ=0{\displaystyle g_{\alpha \beta ,\gamma }=0}Γαβγ=0{\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta \gamma }=0}gαβ;γ=0{\displaystyle g_{\alpha \beta ;\gamma }=0}
Denne spændingsforhold er sand i enhver lokal Lorentzian referenceramme, i overensstemmelse med ækvivalensprincippet , er den også sand i enhver referenceramme.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">