Om numre og spil

On Numbers and Games er en matematikbog på engelsk , skrevet af John Horton Conway i 1976. Den introducerer især begrebet surrealistisk antal og lægger grundlaget for partisan- spilteori. Med vindende måder til dine matematiske skuespil betragtes denne bog som grundlæggeren af ​​det kombinerende spilteori .

Conway angiver i prologen til anden udgave (2001), at han primært skrev denne bog, fordi surrealistisk talteori begyndte at hæmme udviklingen af Winning Ways for your Mathematical Plays , som han derefter skrev sammen med Elwyn Berlekamp og Richard Guy . Da han gemte sig for de andre medforfattere, besluttede han sig for at skrive en separat bog, og efter en uges uafbrudt skrivning var On Numbers and Games klar.

Bogen er opdelt i to store dele, nummereret på en humoristisk måde nul og en del. Del nul beskæftiger sig med surrealistiske tal , derefter handler del 1 om partisan-spil . Kapitlerne i hver del er også nummereret startende fra tallet nul.

Kapitler i del nul

Del nul, med titlen On Numbers ... , består af 7 kapitler.

• Kapitel 0: Alle tal Great and Small introducerer definitioner af surrealistiske tal , additions- og multiplikationsoperationer og giver tidlige eksempler på surrealistiske tal.
• Kapitel 1: Klassenr. Er et felt viser, at klassenr . Af surrealistiske tal forsynet med additions- og multiplikationsoperationer har en fuldstændig ordnet feltstruktur .
• Kapitel 2: Det reelle og ordinære tal viser, at surrealistiske tal indeholder reelle tal og også ordinære tal .
• Kapitel 3: Strukturen af ​​det generelle surrealistiske tal giver notationer for nogle surrealistiske tal, inklusive ε 0 , ε 1, der svarer til ordinære tal, men som udvides til nye tal, såsom ε –1 . Dette kapitel introducerer også den normale form.
• Kapitel 4: Algebra og analyse af tal introducerer de uendelige summer af surrealistiske tal og No [i] med i 2 = –1, hvilket er ækvivalent for surrealistiske tal af konstruktionen af komplekse tal , viser derefter at No [i] er en algebraisk lukket felt (og at Nej er et lukket rigtigt felt ).
• Kapitel 5: Talteori i Land Oz er et kort kapitel, der definerer et begreb heltal for surrealistiske tal, omnifiques hele (engelsk: Omnific integers). Klassen af ​​omnific heltal er betegnet med Oz. Ethvert surrealistisk tal er derefter en brøkdel af to omnific heltal.
• Kapitel 6: The Curious Field On 2 introducerer nimbers (som ikke er surrealistiske tal) og viser, at med operationerne nim-addition og nim-multiplication er klassen On 2 af nimbers et kommutativt felt .

Denne del afsluttes med et appendiks ( Appendiks til del Zero ), der forsvarer ideen om, at en præcis formalisme ikke er nødvendig for at definere surrealistiske tal i forskellige sæt-type aksiomer, såsom den sædvanlige ZF, der kun accepterer sæt eller den mindre almindelige NBG, der også accepterer strenge klasser  : disse teorier, da de tillader os at definere Von Neumann-ordinaler , tillader os også at konstruere surrealistiske tal ved hjælp af transfinit gentagelse og kodninger såsom teknikken til par af Kuratowski .

Kapitel i første del

Den første del, med titlen ... og spil , består af 10 kapitler.

• Kapitel 7: At spille flere spil på én gang definerer formelt partisan-spil som en generalisering af overgivne tal. Summen af ​​sæt, det negative af et sæt og sammenligningsforholdet mellem sæt har de samme definitioner som for surrealistiske tal.
• Kapitel 8: Nogle spil er allerede Numbers studerer nogle spil, herunder Hackenbush  (en) , og viser, at et surrealistisk tal fortolkes som antallet af bevægelser fremad, som en af ​​spillerne har.
• Kapitel 9: On Games and Numbers introducerer flere koncepter til sammenligning af komplekse spil, herunder temperaturen i et spil, spillet afkølet eller opvarmet af en t-værdi og termografen i et spil.
• Kapitel 10: Forenkling af spil beskriver de mulige forenklinger i spil med forestillingerne om reversible træk og dominerede muligheder, og viser, at dette giver mulighed for at opnå den enkleste form for et spil. Slutningen af ​​kapitlet er afsat til dominerende spil og giver værdierne Af mange stillinger.
• Kapitel 11: Impartial Games and the Game of Nim behandler det specielle tilfælde af upartiske spil , beviser Sprague-Grundy-sætningen og udvider det til tilfældet med upartiske spil med et uendeligt antal positioner ved hjælp af nimbere, der er generaliseret til ordinals.
• Kapitel 12: Sådan taber du, når du skal, beskriver teorien om upartiske spil i en elendig version, det vil sige, når den spiller, der ikke længere kan spille, vinder denne gang. Dette kapitel svarer meget til kapitlet Survival in the Lost World of Winning Ways for your Mathematical Plays .
• Kapitel 13: Animationsfunktioner, Welter's Game og Hackenbush Ubegrænset dvæler i detaljer om to særlige upartiske spil , Welter's Game og Hackenbush.
• Kapitel 14: Sådan spiller du flere spil på en gang i en dusin forskellige måder tilbyder tolv kombinationer af regler for at spille spilsummer Klassisk kombinatorisk spilteori svarer til en af ​​disse tolv variationer, og den vigtigste klassiske variation er en anden. -kaldte elendighed regler , hvor spilleren, der sidst spiller taber.
• Kapitel 15: Ups, Downs and Bynumbers introducerer de funktioner, der forbinder et sæt med et andet og især det særlige tilfælde af den ordinære sum .
• Kapitel 16: Det lange og det korte og det lille vender tilbage til problemet med at sammenligne spil og tal og giver en oversigtsskala over de fleste af de numre eller spil, der blev vist i bogen.

Udgaver

• 1 st  udgave: Academic Press , 1976 ( ISBN  0-12-186350-6 )
• 2 e  udgave: AK Peters, Natick , 2001 ( ISBN  1-56881-127-6 ) ( OCLC 45024457 ) ( LCCN 00046927 ) 242 s.

Bemærkninger

1. Conway bruger det engelske ord zeroth, der generelt oversættes som nul
2. Demonstreret ligestillet med ZF, hvis vi begrænser os til sæt; se dette afsnit af NBG-artiklen for flere detaljer .