Duffing Oscillator
Den Duffing ligning (eller Duffing Oscillator ), opkaldt efter Georg Duffing (1861-1944), er en anden ordens ikke-lineær differentialligning anvendes til at modellere nogle dæmpede og tvungne oscillatorer . Ligningen er skrevet
x¨+δx˙+ax+βx3=γcos(ωt){\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ delta {\ dot {x}} + \ alpha x + \ beta x ^ {3} = \ gamma \ cos (\ omega t) \,}der beskriver forskydningen x = x ( t ) som en funktion af tiden t .
Ligningen beskriver bevægelsen af en dæmpet oscillator med et mere komplekst potentiale end en simpel harmonisk bevægelse (tilfældet svarer til β = δ = 0 ); en fysisk model ville være et tungt pendul, hvor fjederens stivhed ikke ville følge Hookes lov .
Duffing-ligningen er et eksempel på et simpelt dynamisk system, der kan udvise kaotisk opførsel , som Van der Pol-oscillatoren . Endnu mere præsenterer Duffing-systemet i frekvensrespons fænomenet resonans af spring, der nærmer sig en opførsel af hysterese i frekvens.
Indstillinger
Parametrene i ligningen karakteriserer de forskellige effekter:
-
δ styrer afskrivningshastigheden,
-
α styrer den lineære stivhed ,
-
β styrer hastigheden af ikke-linearitet i genoprettende kraft; sagen β = 0 svarende til en simpel dæmpet og tvunget harmonisk oscillator ,
-
γ er amplituden af den periodiske ledende kraft,
-
ω er vinkelfrekvensen for denne kraft.
Duffings ligning kan ses som en beskrivelse af svingningerne i en masse, der er knyttet til en ikke-lineær fjeder og en lineær spjæld. Den genoprettende kraft, der tilvejebringes af foråret, skrives α x + β x 3 .
For α > 0 og β > 0 siges fjederen at være stiv ; hvis β <0 , taler vi om en fleksibel fjeder (altid for α > 0 ). De samme kvalifikatorer anvendes derefter til Duffing-ligningen, afhængigt af værdierne af β (og α ).
Antallet af parametre i Duffing-ligningen kan reduceres til 2 ved at ændre skalaen. Et eksempel er at ændre x og t til τ = t √ α og y = x α / γ under forudsætning af α > 0 (andre ændringer af variabler er mulige, afhængigt af parametrernes værdier eller den betydning, der gives til bestemte udtryk) . I det tilfælde:
d2ydτ2+2ηdydτ+y+εy3=cos(στ),{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ eta \, {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} \ tau}} + y + \ varepsilon \, y ^ {3} = \ cos (\ sigma \ tau),}med
η=δ2a,ε=βγ2a3ogσ=ωa.{\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ delta} {2 {\ sqrt {\ alpha}}}}, \, \ varepsilon = {\ frac {\ beta \ gamma ^ {2}} {\ alpha ^ {3 }}} \ quad {\ textrm {and}} \ quad \ sigma = {\ frac {\ omega} {\ sqrt {\ alpha}}}.}Ligningen afhænger nu kun af tre koefficienter og to indledende betingelser.
Opløsningsmetoder
Det er ikke muligt at give en nøjagtig løsning på Duffings ligning i symbolsk form. Flere tilnærmelsesmetoder fungerer dog godt:
- en Fourier-serieudvidelse gør det muligt at have en beskrivelse af bevægelsen for en given præcisionsrækkefølge;
- udtrykket x 3 , undertiden kaldet Duffing-udtrykket , kan nærmes så tæt som ønsket, og systemet ses som en forstyrret enkelt harmonisk oscillator ;
- den fremgangsmåde Frobenius ;
- klassiske numeriske opløsningsmetoder ( Euler-metode , Runge-Kutta ...);
- den Homotopiteori metode anvendes med gode resultater, selv i tilfælde af stærk ulinearitet.
I det specielle tilfælde af ligningen uden dæmpning ( δ = 0 ) og uden at tvinge ( γ = 0 ) kan vi skrive den nøjagtige løsning med Jacobis elliptiske funktioner .
Løsningsgrænser for den uforcerede oscillator
Ikke-dæmpet oscillator
Ved at multiplicere den uddampede og ikke-tvungne Duffing-ligning ( γ = δ = 0 ) med får vi:
x˙{\ displaystyle {\ dot {x}}}
x˙(x¨+ax+βx3)=0⇒ddt[12(x˙)2+12ax2+14βx4]=0⇒12(x˙)2+12ax2+14βx4=H,{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {x}} \ left ({\ ddot {x}} + \ alpha x + \ beta x ^ {3} \ right) = 0 \\ [4pt] & \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ frac {1} {2}} \ left ({\ dot {x}} \ right) ^ {2 } + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {2} + {\ frac {1} {4}} \ beta x ^ {4} \ right] = 0 \\ [4pt] & \ Rightarrow {\ frac {1} {2}} \ left ({\ dot {x}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {2} + {\ frac { 1} {4}} \ beta x ^ {4} = H, \ ende {justeret}}}hvor H er en konstant bestemt af startbetingelserne x (0) ogx˙(0).{\ displaystyle {\ dot {x}} (0).}
Udskiftningen i H viser, at systemet er Hamiltonian :
y=x˙{\ displaystyle y = {\ dot {x}}}
x˙=+∂H∂y,y˙=-∂H∂xmedH=12y2+12ax2+14βx4.{\ displaystyle {\ dot {x}} = + {\ frac {\ partial H} {\ partial y}}, \ quad {\ dot {y}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x }} \ quad {\ textrm {med}} \ quad \ quad H = {\ frac {1} {2}} y ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {2} + {\ frac {1} {4}} \ beta x ^ {4}.}Når α og β er positive, er opløsningen afgrænset:
|x|≤2H/aog|x˙|≤2H,{\ displaystyle | x | \ leq {\ sqrt {2H / \ alpha}} \ quad {\ textrm {et}} \ quad | {\ dot {x}} | \ leq {\ sqrt {2H}},}med Hamiltonian H positiv.
Dæmpet oscillator
Tilsvarende til den dæmpede oscillator
x˙(x¨+δx˙+ax+βx3)=0⇒ddt[12(x˙)2+12ax2+14βx4]=-δ(x˙)2⇒dHdt=-δ(x˙)2≤0,{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ dot {x}} \ left ({\ ddot {x}} + \ delta {\ dot {x}} + \ alpha x + \ beta x ^ {3} \ højre) = 0 \\ [4pt] & \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ frac {1} {2}} \ left ({\ dot {x}} \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ alpha x ^ {2} + {\ frac {1} {4}} \ beta x ^ {4} \ right] = - \ delta \, \ left ({\ dot {x}} \ right) ^ {2} \\ [4pt] & \ Rightarrow {\ frac {\ mathrm {d} H} {\ mathrm {d} t} } = - \ delta \, \ left ({\ dot {x}} \ right) ^ {2} \ leq 0, \ end {aligned}}}med δ ≥ 0 til dæmpning. Uden tvang vil den dæmpede Duffing-oscillator have tendens til et af dens punkter med stabil ligevægt . Disse ligevægtspunkter, stabile eller ej, svarer til de tilfælde, hvor α x + β x 3 = 0 . Hvis α > 0 , er det eneste punkt med stabil ligevægt ved x = 0 ; hvis α <0 og β > 0 , kan stabil ligevægt nås ved x = ± √ - α / β .
Frekvensrespons
Den tvungne Duffing-oscillator med tvungen ikke-linearitet er beskrevet af den almindelige differentialligning:
x¨+δx˙+ax+βx3=γcos(ωt).{\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ delta {\ dot {x}} + \ alpha x + \ beta x ^ {3} = \ gamma \ cos (\ omega t).}Den frekvensgang af denne oscillator beskriver amplituden z af en steady-state respons af ligningen ( x ( t ) ) ved en given frekvens for en excitation ω . For en lineær oscillator med β = 0 er frekvensresponset også lineært. For et ikke-nul-nulstillingsudtryk bliver frekvensresponset imidlertid ikke-lineært. Afhængigt af typen af ikke-linearitet kan Duffing-oscillatoren vise et stejlt, blødt eller blandet frekvensrespons. Ved analysemetoden ved homotopi eller harmonisk afbalancering kan vi udlede en ligning af formens frekvensrespons:
[(ω2-a-34βz2)2+(δω)2]z2=γ2.{\ displaystyle \ left [\ left (\ omega ^ {2} - \ alpha - {\ frac {3} {4}} \ beta z ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (\ delta \ omega \ right) ^ {2} \ right] \, z ^ {2} = \ gamma ^ {2}.}For parametrene i Duffing-ligningen giver denne algebraiske ligning svingningens amplitude z i steady state ved en given frekvens excitation.
Afledning af frekvensresponset
Ved den harmoniske afbalanceringsmetode skal en tilnærmet løsning af Duffing-ligningen søges i form:
x=påcos(ωt)+bsynd(ωt)=zcos(ωt-ϕ),medz2=på2+b2ogtanϕ=bpå.{\ displaystyle x = a \, \ cos (\ omega t) + b \, \ sin (\ omega t) = z \, \ cos (\ omega t- \ phi), \ quad {\ textrm {med}} \ quad z ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} \ quad {\ textrm {et}} \ quad \ tan \ phi = {\ frac {b} {a}}.}Anvendelse på Duffing-ligningen fører til:
(-ω2på+ωδb+apå+34βpå3+34βpåb2-γ)cos(ωt)+(-ω2b-ωδpå+34βb3+ab+34βpå2b)synd(ωt)+(14βpå3-34βpåb2)cos(3ωt)+(34βpå2b-14βb3)synd(3ωt)=0.{\ displaystyle {\ begin {align} & \ left (- \ omega ^ {2} \, a + \ omega \, \ delta \, b + \ alpha \, a + {\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \, a ^ {3} + {\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \, a \, b ^ {2} - \ gamma \ right) \, \ cos \ left (\ omega \, t \ right) \\ & + \ left (- \ omega ^ {2} \, b- \ omega \, \ delta \, a + {\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \ , b ^ {3} + \ alpha \, b + {\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \, a ^ {2} \, b \ right) \, \ sin \ left (\ omega \ , t \ højre) \\ & + \ venstre ({\ tfrac {1} {4}} \, \ beta \, a ^ {3} - {\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \, a \, b ^ {2} \ right) \, \ cos \ left (3 \, \ omega \, t \ right) + \ left ({\ tfrac {3} {4}} \, \ beta \, a ^ {2} \, b - {\ tfrac {1} {4}} \, \ beta \, b ^ {3} \ right) \, \ sin \ left (3 \, \ omega \, t \ right) = 0. \ slut {justeret}}}Hvis man overser superharmoniske termer i 3 ω , skal de to termer forud for cos ( ωt ) og sin ( ωt ) være nul. Følgelig,
-ω2på+ωδb+apå+34βpå3+34βpåb2=γ,-ω2b-ωδpå+34βb3+ab+34βpå2b=0.{\ displaystyle - \ omega ^ {2} \, a + \ omega \, \ delta \, b + \ alpha \, a + {\ frac {3} {4}} \, \ beta \, a ^ {3 } + {\ frac {3} {4}} \, \ beta \, a \, b ^ {2} = \ gamma, \ qquad - \ omega ^ {2} \, b- \ omega \, \ delta \ , a + {\ frac {3} {4}} \, \ beta \, b ^ {3} + \ alpha \, b + {\ frac {3} {4}} \, \ beta \, a ^ { 2} \, b = 0.}Ved at kvadrere de to ligheder og summere dem opnår vi frekvensresponset:
[(ω2-a-34βz2)2+(δω)2]z2=γ2.{\ displaystyle \ left [\ left (\ omega ^ {2} - \ alpha - {\ frac {3} {4}} \ beta z ^ {2} \ right) ^ {2} + \ left (\ delta \ omega \ right) ^ {2} \ right] \, z ^ {2} = \ gamma ^ {2}.}
Spring
For visse ordrer af værdier af parametrene i Duffing-ligningen er frekvensresponsen muligvis ikke længere en funktion med reelle værdier for tvangsfrekvensen ω . For en stiv fjederoscillator ( α > 0 og β c + > 0 taget stor nok) læner frekvensresponset mod høje frekvenser og mod lave frekvenser for den fleksible fjeder ( α > 0 og β < β c - <0 taget stor nok). Den udhængende side er ustabil, og det tilsvarende svar kan ikke opretholdes i lang tid. Derfor vises fænomenet med spring:
- når vinkelfrekvensen ω øges langsomt (med de andre faste parametre), falder amplitude af respons z kraftigt,
- hvis vinkelfrekvensen ω langsomt reduceres, amplituden springer op høj gren af frekvensgang.
De to spring matcher ikke, hvilket skaber en hysterese i systemet afhængigt af frekvensens udvikling.
Eksempler
Nogle typiske eksempler på tidsserier og fase portrætter af den Duffing ligning, der viser forekomsten af subharmoniske af perioden fordobling forgreninger - eller kaotisk adfærd . Den tvungne amplitude øges fra γ = 0,2 til γ = 0,65 . De andre parametre har værdierne α = –1, β = +1, δ = 0,3 og ω = 1,2 . De indledende betingelser er x (0) = 1, og de røde prikker i faseportrætterne er til tider t for et heltal multiple af perioden T = 2π / ω .
x˙(0)=0.{\ displaystyle {\ dot {x}} (0) = 0.}
Referencer
-
JMT Thompson og HB Stewart , ikke- lineær dynamik og kaos , John Wiley & Sons ,2002, 460 s. ( ISBN 978-0-471-87684-7 , online præsentation ) , s. 66.
-
R. Lifshitz og MC Cross , Anmeldelser af Nonlinear Dynamics og kompleksitet , Wiley ,2008, 8–9 s. ( ISBN 978-3-527-40729-3 , LCCN 2008459659 , læs online ) , "Ikke-lineær mekanik af nanomekaniske og mikromekaniske resonatorer".
-
M.J. Brennan , I. Kovacic , A. Carrella og TP Waters , " On the jump-up and jump-down frequences of the Duffing oscillator ", Journal of Sound and Vibration , vol. 318, nr . 4–5,2008, s. 1250-1261 ( DOI 10.1016 / j.jsv.2008.04.032 ).
-
(i) Ivana Kovacic og Michael J. Brennan, The Duffing ligning: Nonlinear oscillatorer og deres adfærd ,2011( ISBN 978-0-470-71549-9 , DOI 10.1002 / 9780470977859 ).
-
(da) F. Tajaddodianfar, MRH Yazdi og HN Pishkenari, " Ikke-lineær dynamik af MEMS / NEMS-resonatorer: analytisk løsning ved homotopianalysemetoden " , Microsystem Technologies ,2016( DOI 10.1007 / s00542-016-2947-7 ).
-
(i) HR Rand Undervisningsnoter er ikke-lineær vibrationer , Cornell University,2012, 13–17 s. ( læs online [PDF] ).
-
(da) Carl M. Bender og Steven A. Orszag, avancerede matematiske metoder for forskere og ingeniører: Asymptotiske metoder og forstyrrelsesteori , New York, Springer-Verlag ,1999, 593 s. ( ISBN 978-1-4757-3069-2 , DOI 10.1007 / 978-1-4757-3069-2 , læs online ).
-
(in) Takashi Kanamaru, " Duffing oscillator " , Scholarpedia ,2008( læs online ).
-
(i) DW Jordan og P. Smith, Nonlinear ordinære differentialligninger: En introduktion til forskere og ingeniører , Oxford University Press , 4 th ed..
Se også
Relaterede artikler
Bibliografi
- (de) G. Duffing , Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung , vol. Heft 41/42, Brunswick, Vieweg,1918, 134 s. ( OCLC 12003652 )
- PS Addison , fraktaler og kaos: Et illustreret kursus , CRC Press ,1997, 147-148 s. ( ISBN 978-0-8493-8443-1 , online præsentation )
- CM Bender og SA Orszag , avancerede matematiske metoder til forskere og ingeniører I: Asymptotiske metoder og forstyrrelsesteori , Springer,1999, 545–551 s. ( ISBN 978-0-387-98931-0 , online præsentation )
- DW Jordan og P.Smith , ikke- lineære almindelige differentialligninger - En introduktion til forskere og ingeniører , Oxford University Press ,2007, 4 th ed. , 540 s. ( ISBN 978-0-19-920824-1 )
- Duffing-ligningen: Ikke-lineære oscillatorer og deres adfærd , Wiley ,2011, 392 s. ( ISBN 978-0-470-71549-9 )
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">