Cocycliske punkter
I geometri siges planetens punkter at være cocykliske, hvis de hører til den samme cirkel .
Tre ikke-justerede punkter på planet er cocycliske. Faktisk har enhver trekant en afgrænset cirkel .
Fire cocycliske punkter
Ejendom - Lad , , og
fire forskellige punkter i planen. Så , , ,
er cyklisk eller collinear hvis og kun hvis vi har lige orienterede vinkler
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
(VSPÅ→,VSB→)=(DPÅ→,DB→)modπ.{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {CA}}, {\ overrightarrow {CB}} \ right) = \ left ({\ overrightarrow {DA}}, {\ overrightarrow {DB}} \ right) \ mod \ pi .}
Den tidligere egenskab er en følge af den indskrevne vinkelsætning .
Hvis de respektive anbringelser er , er den tidligere betingelse også skrevet
på,b,vs.,d{\ displaystyle a, b, c, d}
PÅ,B,VS,D{\ displaystyle A, B, C, D}![A, B, C, D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684d01c09b12e5a28987c6127567daef29ee3b44)
arg(vs.-bvs.-på)=arg(d-bd-på)modπ{\ displaystyle \ arg \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right) = \ arg \ left ({\ frac {db} {da}} \ right) \ mod \ pi}
Derfor, ved hjælp af krydsforholdet , den ækvivalente tilstand:
[på,b,vs.,d]=(vs.-bvs.-på):(d-bd-på){\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}![{\ displaystyle [a, b, c, d] = \ left ({\ frac {cb} {ca}} \ right): \ left ({\ frac {db} {da}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc63112aba109f3f62c7d2901d806cc473be54e3)
ægte
Den Ptolemæus sætning giver en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for cocyclicity fire point fra deres afstand.
Sætning - Lad , , og
fire forskellige punkter i planen. Disse punkter er cocykliske, hvis og kun hvis en af de følgende fire ligheder er verificeret:
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
VS{\ displaystyle C}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
PÅB.VSD±PÅVS.DB±PÅD.BVS=0{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}![{\ displaystyle AB.CD \ pm AC.DB \ pm AD.BC = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4510b9ab2b7b5f39d2138f162d5d452ce949fd)
.
Erklæringen giver "fire ligheder", fordi ± skal læse enten + eller -.
Reference
-
Givet i denne form af Marcel Berger , Living Geometry: or Jacobs skala , Cassini, koll. "Nyt matematisk bibliotek",2009( ISBN 9782842250355 ), s. 154 .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">